ANÁLISE MATEMÁTICA II

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Isabel Carvalhal Antunes
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1 ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Noções Básicas de Funções em R n Topologia DMAT

2 Noções Básicas sobre funções em n Introdução Vamos generalizar os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade, dados para funções reais de variável real, a funções definidas em subconjuntos do espaço vectorial n e com valores em m, com n e m números naturais. Isto é f : D n m x 1,...,x n fx 1,...,x n Notação: As características vectoriais da função e/ou do seu argumento são frequentemente indicadas escrevendo em letra carregada ( bold ) esses símbolos. Exemplos: fx caso os argumentos e as imagens sejam vectores; fx caso os argumentos sejam escalares e as imagens sejam vectores; fx caso os argumentos sejam vectores e as imagens sejam escalares. Muitos autores utilizam a notação fx ou f x. Se nenhuma notação em especial for utilizada é o contexto que permite averiguar das características escalares ou vectoriais dos objectos e das imagens. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 1

..,x n Notação: As características vectoriais da função e/ou do seu argumento são frequentemente indicadas escrevendo em letra carregada ( bold ) esses símbolos.

3 Campos Escalares e Campos Vectoriais Definição: Chama-se campo escalar a uma função f : D n x fx Exemplos: A distribuição espacial da temperatura numa sala e a distribuição da pressão na atmosfera são exemplos de campos escalares. Definição: Chama-se campo vectorial a uma função f : D n x m fx (Se m 1, a função é um campo escalar). Exemplos: Os campos da velocidade de escoamento de um fluido e da sua aceleração são exemplos de campos vectoriais. Sendo f : D n m um campo vectorial, chamamos componentes escalares associadas a f aos campos escalares f 1,, f m tais que Para cada 1 i m, fx f 1 x,, f m x. f i : D n x a i -ésima componente da imagem fx Deste modo, grande parte do estudo de campos vectoriais vai reduzir-se ao estudo das suas componentes escalares. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 2

Exemplos: Os campos da velocidade de escoamento de um fluido e da sua aceleração são exemplos de campos vectoriais.

4 Observação: Chama-se projecção de ordem j em n a j : n x 1,...,x j,,x n x j que a cada vector de n associa a sua componente de ordem j. Noções de Domínio e de Contradomínio Definição: Sendo f um campo vectorial ou escalar, chama-se domínio de f ao conjunto D dos elementos de n para os quais a função está definida. Em geral consideramos D o maior conjunto para o qual a função pode ser definida. Observação: Sendo f um campo vectorial, de n em m, tem-se que D f D f1 D f2 D fm. Definição: Sendo f : D f n m um campo vectorial ou escalar, chama-se contradomínio de f ao conjunto dos elementos de m que são imagem por meio de f de algum x D f, isto é, a fd f y m : y fx para algum x D f fx : com x D f. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 3

Em geral consideramos D o maior conjunto para o qual a função pode ser definida. Observação: Sendo f um campo vectorial, de n em m, tem-se que D f D f1 D f2 D fm.

5 Composição de Funções Consideremos duas funções f : D f n m e g : D g p n. A função h : D h p x m hx fgx designa-se por composição da função g com a função f e representa-se por f g [lê-se f após g]. A função f g está definida se a intersecção do contradomínio de g com o domínio de f for não vazia, isto é, se Neste caso gd g D f. D fg x p : x D g e gx D f. Nota: Se gd g D f, então D fg D g. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 4

6 Representação Gráfica de Funções Considerando um sistema de eixos ortogonais OXYZ, o gráfico de uma função f : D 2 é o conjunto x, y,z 3 : z fx, y e x, y D f. Para campos escalares definidos em n, com n 2, definimos de modo análogo o gráfico, mas não o podemos representar geometricamente. Como auxílio no esboço de um gráfico, frequentemente fazemos a sua intersecção com planos simples de 3 (obtendo o seu corte por esses planos). Geralmente usamos planos paralelos aos planos coordenados, isto é, da forma x C 1, y C 2 e z C 3. Conjuntos de Nível Constituem outra forma de perceber o comportamento de um campo escalar. No caso de duas variáveis também são úteis para o esboço do seu gráfico; no caso de três variáveis poderem ainda ser visualizados geometricamente. Definição: Seja f : D n um campo escalar e c um real. Ao conjunto Lc x n : x D e fx c. chama-se conjunto de nível associado a c. Em 2 designa-se por curva de nível, linha de nível ou linha de contorno; em 3 designa-se por superfície de nível. Exemplos: Linhas (ou superfícies) isotérmicas, isobáricas ou equipotênciais. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 5

Como auxílio no esboço de um gráfico, frequentemente fazemos a sua intersecção com planos simples de 3 (obtendo o seu corte por esses planos).

7 Noções Topológicas em n Revisão - norma e distância em n Chama-se norma Euclideana em n à função definida por : n x x x x x x n 2 e chama-se distância (ou métrica) associada à norma Euclideana em n à função d : n n x, y dx,y xy Portanto, dx,y x 1 y x n y n 2. Definição: Sejam a n e. Chama-se bola aberta de centro a e raio (ouvizinhança em torno de a) ao conjunto B a x n : dx, a, também representado por Ba,. Nota: Em, as bolas abertas são intervalos abertos. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 6

8 Noções Topológicas Elementares Definição: Sejam S um subconjunto de n e a n. a diz-se um ponto interior de S se existe uma bola aberta de centro em a totalmente contida em S, isto é, se 0 : B a S; a diz-se um ponto exterior de S se for interior ao seu complementar; a diz-se um ponto fronteiro de S se não for interior nem exterior ao conjunto S. Nota: da definição resulta imediatamente que: a é um ponto exterior de S sse existe uma bola de centro em a totalmente contida no complementar de S; a é um ponto fronteiro de S sse qualquer bola de centro em a tem pontos de S e do seu complementar. Notação: Sendo S um subconjunto de n, interior de S ints conjunto dos pontos interiores de S; exterior de S exts conjunto dos pontos exteriores de S; fronteira de S frs conjunto dos pontos fronteiros de S. (A fronteira de S representa-se também por S.) Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 7

um ponto fronteiro de S se não for interior nem exterior ao conjunto S.

9 Proposição: Sendo S um subconjunto de n, ints S; exts n \S; n ints exts frs ( união disjunta de conjuntos). Definição: Um subconjunto de n diz-se aberto se todos os seus pontos forem pontos interiores. Portanto, S n é um conjunto aberto sse ints S. Definição: Um subconjunto de n diz-se fechado se o seu complementar for aberto. Proposição: S n é um conjunto fechado sse frs S. Nota: Um dado conjunto pode ser aberto, fechado, nem aberto nem fechado e simultaneamente aberto e fechado. Definição: Chama-se fecho ou aderência do conjunto S à união de S com a sua fronteira que se representa por S. Portanto S ints frs. Um ponto a diz-se aderente a S se pertencer S. Nota: O fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado. Nota: S é fechado sse S S. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 8

Definição: Um subconjunto de n diz-se fechado se o seu complementar for aberto. Proposição: S n é um conjunto fechado sse frs S.

10 Definição: Diz-se que o ponto a n é ponto de acumulação de S n se em toda a bola aberta de centro em a existe uma infinidade de pontos de S. Um elemento de S que não é um ponto de acumulação de S diz-se um ponto isolado de S. Nota: Prova-se que a é ponto de acumulação de S sse toda a bola aberta de centro em a tem pelo menos um ponto de S diferente de a. Chama-se derivado de S ao conjunto de todos os pontos de acumulação de S e denota-se por S. Nota: Um conjunto finito não tem pontos de acumulação. Definição: Um conjunto S diz-se limitado se existir alguma bola que o contenha. Definição: Um subconjunto de n diz-se compacto se for limitado e fechado. Nota: Os intervalos a, b, com a, b, são compactos de. Definição: Seja C um subconjunto de n. Diz-se que C é separável por dois abertos se existem A e B, subconjuntos abertos de n, tais que C A B, A B, CA e CB. Se C não é separável por dois abertos, diz-se que C é conexo. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 9

Nota: Prova-se que a é ponto de acumulação de S sse toda a bola aberta de centro em a tem pelo menos um ponto de S diferente de a.

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