Teorema de Green no Plano

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Ana Beatriz Wagner Esteves
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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Teorema de Green no Plano O teorema de Green permite relacionar o integral de linha ao longo de uma curva fechada com um integral duplo na região limitada pela linha em R 2. Veremos que esta relação será determinante no cálculo do integral de linha de um campo vectorial fechado. Neste teto, iremos usar a seguinte notação para o integral de linha de um campo vectorial F = (P,Q) ao longo de uma linha : F dγ = Pd+Qdy Note-se que, sendo γ(t) = ((t), y(t)), temos e, portanto, γ (t) = ( (t),y (t)) = ( d dt, dy dt ) F(γ(t)) γ (t) = P d dt +Qdy dt dando sentido à notação que usaremos para o integral de linha de um campo vectorial. Ao integral de linha de um campo vectorial F sobre um caminho simples e fechado chamaremos circulação de F ao longo de. 1 Domínio Elementar. Domínio Regular Definição 1 Seja D R 2 um aberto e limitado. Diz-se que D é um domínio elementar se for descrito, simultaneamente, nas duas formas seguintes (c.f. [1]): a) D = {(,y) R 2 : f() < y < g() ; a < < b} em que f,g : [a,b] R são duas funções de classe C 1. b) D = {(,y) R 2 : φ(y) < < ψ(y) ; c < y < d} em que φ,ψ : [c,d] R são duas funções de classe C 1. Eemplo 1.1 Um intervalo em R 2 é um domínio elementar tal como se ilustra na figura 1. Eemplo 1.2 Um círculo em R 2 é um domínio elementar. Na figura 2 encontra-se um círculo de raio R e centrado na origem. Para este caso temos: 1

Veremos que esta relação será determinante no cálculo do integral de linha de um campo vectorial fechado.

2 y d y = g() = d = φ(y) = a = ψ(y) = b c a y = f() = c b Figura 1: Um intervalo é um domínio elementar y y = g() = φ(y) = ψ(y) R y = f() Figura 2: Um círculo é um domínio elementar 2

3 f() = R 2 2 ; R < < R g() = R 2 2 ; R < < R φ(y) = R 2 y 2 ; R < < R ψ(y) = R 2 y 2 ; R < < R Eemplo 1.3 Um quarto de uma coroa circular no primeiro quadrante de R 2 não é um domínio elementar mas é a união de seis domínios elementares como se ilustra na figura 3. y Figura 3: Uma coroa circular é a união de quatro domínios elementares Eemplo 1.4 Umlosangoéauniãodequatrodomínioselementares, D 1,D 2,D 3,D 4,como se pode constatar na figura 4. y D 1 D 2 D 3 D 4 Figura 4: Um losango é a união de quatro domínios elementares 3

elementares como se ilustra na figura 3. y Figura 3: Uma coroa circular é a união de quatro domínios elementares Eemplo 1.

4 Dos eemplos fica claro que há muitos conjuntos que são uniões finitas de conjuntos elementares. Definição 2 Seja D R 2 um aberto e limitado. Diz-se que D é um domínio regular se for uma união finita de domínios elementares. 2 Teorema de Green Teorema 2.1 Seja D R 2 um domínio regular e D a sua fronteira. Seja F(,y) = (P(,y),Q(,y)) um campo vectorial de classe C 1 cujo domínio contém D. Então, ( Q D P ) ddy = Pd+Qdy y em que a linha D é percorrida no sentido positivo. Suponhamos que D é um domínio elementar. Dado que F = (P,Q) = (P,0) + (0,Q) e sendo o integral linear, supomos que D é descrito na forma e que F = (P,0). Assim, temos D = {(,y) R 2 : f() < y < g() ; a < < b}, D P y ddy = = b a b a ( g() f() ) P y dy d (P(,g()) P(,f()))d Por outro lado, a fronteira D é a união de quatro linhas definidas por D = = {(,y) : a b;y = f()} 2 = {(,y) : = b;f(b) y g(b)} 3 = {(,y) : a b;y = g()} 4 = {(,y) : = a;f(a) y g(a)} 4

Seja F(,y) = (P(,y),Q(,y)) um campo vectorial de classe C 1 cujo domínio contém D. Então, ( Q D P ) ddy = Pd+Qdy y em que a linha D é percorrida no sentido positivo.

5 e percorridas no sentido positivo. Portanto, F dγ = 1 a F dγ = 0 2 F dγ = 3 F dγ = 0 4 ou seja, D Pd = D F dγ = b a b P(,f())d b a P(,f())d P(,g())d b a P P(,g())d = D y ddy Do mesmo modo, considerando F = (0,Q) e D descrito na forma obtemos D = {(,y) R 2 : φ(y) < < ψ(y) ; c < y < d}, D Qdy = D F dγ = D Q ddy, e, portanto, ( Q D P ) ddy = Pd+Qdy. y D Assim, o teorema de Green é válido para domínios elementares. Suponhamos agora que D é uma união finita de domínios elementares. Sem perda de generalidade, seja D a união de dois domínios elementares, D 1,D 2, tal como, a título ilustrativo, se apresenta na figura 5. Seja L a linha comum às fronteiras de D 1 e D 2, ou seja, D 1 = 1 L, D 2 = 2 L Note-se que D = 1 2. Aplicando o teorema de Green a ambos os domínios, obtemos ( Q D 1 P ) ddy = Pd+Qdy + Pd+Qdy y 1 L ( Q P ) ddy = Pd+Qdy Pd+Qdy y 2 L D 2 Note-se que o integral de linha de um campo vectorial F ao longo de um caminho tem o sinal contrário ao do integral de F ao longo da mesma linha mas percorrida no sentido contrário. Portanto, adicionando ambas as equações, obtemos D ( Q P y ) ddy = 5 D Pd+Qdy

obtemos D = {(,y) R 2 : φ(y) < < ψ(y) ; c < y < d}, D Qdy = D F dγ = D Q ddy, e, portanto, ( Q D P ) ddy = Pd+Qdy. y D Assim, o teorema de Green é válido para domínios elementares.

6 y D 1 D 2 L Figura 5: União de dois domínios elementares É claro que este procedimento é válido para uma união finita de domínios elementares, ou seja, para um domínio regular. Corolário 2.1 Seja F(,y) = (P(,y),Q(,y)) um campo vectorial de classe C 1, fechado e definido num subconjunto aberto de R 2. Seja uma linha fechada que limita um domínio regular. Então, a circulação de F ao longo de é nula, ou seja, F dγ = Pd+Qdy = 0. Sendo F = (P,Q) um campo fechado, temos Q = P e, aplicando o teorema de Green y ao conjunto limitado por, obtemos imediatamente F dγ = Pd+Qdy = 0. Eemplo 2.1 Seja D a coroa circular D = {(,y) R 2 : r 2 < 2 +y 2 < R 2 }, de raios r e R e representada na figura 6. Seja F = (P,Q) um campo vectorial de classe C 1, definido num subconjunto aberto de R 2. A fronteira D é a união da circunferência 2, de raio r, percorrida no sentido positivo, e da circunferência 1, de raio R e percorrida no sentido negativo. Do eemplo 1.3, fica claro que a coroa circular D é um domínio regular. 6

Então, a circulação de F ao longo de é nula, ou seja, F dγ = Pd+Qdy = 0.

7 y 1 2 r R Figura 6: Coroa circular Aplicando o teorema de Green, obtemos ( Q D P ) ddy = Pd+Qdy + y 2 Para o caso em que o campo F é fechado, obtemos Pd+Qdy = Pd+Qdy Pd+Qdy Se as duas linhas 1 e 2 forem percorridas no mesmo sentido, então Pd+Qdy = Pd+Qdy. 1 2 Éclaroqueomesmoraciocínioéválidoparaqualquer domínioregulard R 2,limitado por duas linhas 1 e 2. Corolário 2.2 Seja F(,y) = (P(,y),Q(,y)) um campo vectorial de classe C 1 e fechado. Seja D R 2 um domínio regular limitado por duas linhas fechadas 1 e 2, percorridas no mesmo sentido. Então, Pd+Qdy = Pd+Qdy. 1 2 Eemplo 2.2 Consideremos o campo vectorial definido por F(,y) = ( y 2 +y 2, 2 +y 2). 7

1 2 Éclaroqueomesmoraciocínioéválidoparaqualquer domínioregulard R 2,limitado por duas linhas 1 e 2. Corolário 2.

8 y C R Figura 7: É fácil verificar que F é um campo fechado. Seja C uma circunferência de raio R e centro na origem, tal como se representa na figura 7. Usando a parametrização a circulação de F em C será F dγ = C γ(t) = (Rcost,Rsent) ; 0 < t < 2π, 2π 0 ( sent,cost) ( sent,cost)dt = 2π. Note-sequeacirculação def nãodependedoraiodacircunferência. Será queointegral numa outra linha, fechada em torno da origem, terá o mesmo valor? Vamos supor que as linhas C e limitam um domínio regular e são percorridas no mesmo sentido, tal como se representa na figura 7. Aplicando o corolário 2.2 do teorema de Green a esse domínio, teremos Pd+Qdy = Pd+Qdy = 2π. C Se a linha limitar um domínio regular que não contenha a origem no seu interior então, pelo corolário 2.1 do teorema de Green, teremos Pd+Qdy = 0. Eemplo 2.3 Consideremos o campo vectorial F : R 2 R 2 e definido por F(,y) = ( y,) e seja D um domínio regular cuja fronteira é a linha percorrida no sentido positivo. 8

Será queointegral numa outra linha, fechada em torno da origem, terá o mesmo valor?

9 Sendo do teorema de Green obtemos D Q P y = 2 2ddy = yd+dy ouseja, temosuma relaçãoentre aáreaded eointegral delinhadef aolongoda fronteira vol 2 (D) = 1 F dγ 2 Seja S o conjunto limitado por uma elipse, definido por cuja fronteira é descrita pelo caminho Então a área de S é dada por vol 2 (S) = 1 2 S = {(,y) R 2 : y2 9 < 1} γ(t) = (2cost,3sent) ; 0 t 2π = 1 2 = 1 2 = 6π 2π 0 2π 0 yd+dy ( 3sent,2cost) ( 2sent,3cost)dt 6dt Eemplo 2.4 Consideremos o campo vectorial F : R 2 \{(0,1)} R 2, definido por ( ) y 1 F(,y) = 2 +(y 1) 2,, 2 +(y 1) 2 e seja a fronteira do quadrilátero com vértices nos pontos (3,0),(0,3),( 3,0),(0, 3) percorrida no sentido positivo e descrita por um caminho γ : [0,1] R 2. Para calcular o integral de linha F dγ, consideremos a região limitada por e pela circunferência C de raio igual a um e centro no ponto (0,1) percorrida no sentido positivo e descrita pelo caminho γ(t) = (cost,sent+1) ; 0 t 2π 9

$4 Consideremos o campo vectorial F : R 2 \{(0,1)} R 2, definido por ( ) y 1 F(,y) = 2 +(y 1) 2,, 2 +(y 1) 2 e seja a fronteira do quadrilátero com vértices nos pontos (3,0),(0,3),( 3,0),(0, 3)$

10 y 1 C Figura 8: como se mostra na figura 8. Facilmente se verifica que o campo F éfechado eque a região considerada éum domínio regular. Portanto, do teorema de Green obtemos, F dγ = F dγ Por outro lado, C F dγ = 2π e, portanto, 0 C ( sent,cost) ( sent,cost) = 2π F dγ = 2π Note-se que o cálculo directo do integral F dγ, pela definição, seria bastante mais complicado. Eemplo 2.5 Consideremos o campo vectorial F : R 2 \ {( 2,0),(2,0)} R 2 definido por ( ) ( ) y 2 y +2 F(,y) = ( 2) 2 +y 2, + ( 2) 2 +y 2 (+2) 2 +y 2, (+2) 2 +y 2 e seja uma linha regular tal como se representa na figura 9. Para calcular o integral de linha F dγ, consideremos a região limitada por, pela circunferência C 1 de raio igual a um e centro no ponto (2,0) e pela circunferência C 2 de raio igual a um e centro no ponto ( 2,0) como se mostra na figura 9. Facilmente se verifica que o campo F éfechado eque a região considerada éum domínio regular. 10

$5 Consideremos o campo vectorial F : R 2 \ {( 2,0),(2,0)} R 2 definido por ( ) ( ) y 2 y +2 F(,y) = ( 2) 2 +y 2, + ( 2) 2 +y 2 (+2) 2 +y 2, (+2) 2 +y 2 e seja uma linha regular tal como se representa$

11 y C 2 C Figura 9: Portanto, do teorema de Green obtemos, F dγ = F dγ + F dγ. C 1 C 2 e Note-se que temos F(,y) = G(,y)+H(,y), em que ( ) y 2 G(,y) = ( 2) 2 +y 2, ( 2) 2 +y 2 ( ) y +2 H(,y) = (+2) 2 +y 2,. (+2) 2 +y 2 Usando a parametrização γ(t) = (2+cost,sent) ; 0 < t < 2π para C 1, obtemos C 1 G dγ = 2π 0 ( sent,cost) ( sent,cost) = 2π. Usando a parametrização γ(t) = ( 2+cost,sent) ; 0 < t < 2π para C 2, obtemos C 2 H dγ = 2π 0 ( sent,cost) ( sent,cost) = 2π. Dado que o campo G é de classe C 1 no círculo limitado por C 2, pelo corolário 2.1 do teorema de Green, teremos C 2 G dγ = 0. Do mesmo modo, sendo H de classe C 1 no círculo limitado por C 1, teremos C 1 H dγ = 0. 11

(+2) 2 +y 2 Usando a parametrização γ(t) = (2+cost,sent) ; 0 < t < 2π para C 1, obtemos C 1 G dγ = 2π 0 ( sent,cost) ( sent,cost) = 2π.

12 Portanto, F dγ = G dγ + G dγ + H dγ + H dγ = 2π +2π = 4π. C 1 C 2 C 1 C 2 *** Referências [1] J. E. Marsden and A. J. Tromba. Vector Calculus. W. H. Freeman and Company,

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