1.5 O oscilador harmónico unidimensional

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1 1.5 O oscilador harmónico unidimensional A energia potencial do oscilador harmónico é da forma U = 2 2, (1.29) onde é a constante de elasticidade e a deformação da mola. Substituindo (1.29) em (1.24) obtemos t t 0 = t 1 t 0 = Efectuando a mudança de variáveis temos y = t t 0 = 1 m 0 0 d, m m m, d = y y 0 d. 1 2 dy dy 1 y 2 = m arcsin(y) y y 0, (1.30) visto que dy/ 1 y 2 = arcsin(y). Supondo que arcsin(y 0 ) = 0, e invertendo (1.30) obtemos arcsin(y) = m (t t 0), [ ] = sin m (t t 0). (1.31) A equação (1.31) define a lei de movimento do oscilador harmónico. A frequência das oscilações é dada por ω = m e a amplitude de oscilação A = é proporcional à raiz quadrada da energia do oscilador. Este mesmo facto vamos encontrar frequentemente nos diferentes ramos da Física, por eemplo, no estudo de todos os fenómenos ondulatórios. 10

2 A escolha y 0 = 0 está relacionada com a escolha das condições iniciais: y 0 0 implicaria o aparecimento de uma fase δ 0 = arcsin(y 0 ) na equação (1.31), = [ ] sin m (t t 0) + δ Movimento unidimensional de um sistema conservativo: energia versus posição A energia de uma partícula que se move ao longo de uma linha rectilínea sujeita à força f(), conservativa, é dada por E = m U(). (1.32) Seja U() uma função contínua representada na figura 1.3 em função de. Representamos pela linha paralela ao eio dos a energia mecânica da partícula. V() E Figure 1.3: Energia potencial U() em função de Da equação (1.32) e do gráfico podemos tirar as seguintes conclusões: De (1.32) temos que a energia cinética da partícula é dada por T = 1 2 m2 = E U(). (1.33) A energia cinética nunca poderá ser negativa o que implica que E U(). (1.34) 11

3 No gráfico eistem dois intervalos para os quais a condição (1.34) não é satisfeita [ 1, 2 ] e [ 3, [. Estas zonas são zonas proibidas e a partícula nunca será encontrada nestes intervalos. A distância da recta E à curva U() representa a energia cinética. Nos pontos 1, 2 e 3 ela é nula, no ponto 0 ela é máima. Os pontos 1, 2 e 3 são chamados pontos de retorno. Nestes pontos a velocidade da partícula anula-se, invertendo-se o sentido de acordo com a sua posição. Uma partícula sujeita à energia potencial representada por U() e com energia E pode ter dois tipos de movimentos de acordo com a sua posição: Pode deslocar-se entre ], 1 ]. Este movimento só é limitado num lado. A partícula pode aproimar-se do ponto = 1 vinda do infinito =. No ponto 1 a sua velocidade anula-se e muda de sentido. A partícula então afasta-se indefinidamente. Este movimento é ilimitado. A partícula move-se no intervalo [ 2, 3 ]. Este movimento é limitado em ambos os lados. Consideremos uma partícula que parte da posição = 2 no sentido dos crescentes. A sua velocidade no sentido positivo do eio dos aumenta até ao ponto = 0 seguidamente diminui até = 4, volta a aumentar até = 5 e a partir de 5 diminui até 3 onde se anula e passa a ser negativa (movimento no sentido dos decrescentes) passando a partícula pelos pontos 5, 4, 0 até voltar a atingir 2. É um movimento limitado, periódico com período 3 T(E) = 2 2 d. (1.35) 2 (E U()) m O período T é função de energia da partícula e é igual ao dobro do tempo que a partícula demora a percorrer a distância entre 2 e 3. Na Fig. 1.2 identificamos várias posições para as quais du d = 0, nomeadamente = 0, 0, 4, 5. Nestes pontos a força eercida sobre a partícula é nula, F = (du/d)î = 0. Se a partícula tiver velocidade nula nestas posições ela vai manter-se nessa posição indefinidadmente. Dizemos que estes pontos são pontos de equilíbrio. No entanto, é importante distinguir entre pontos como 0, onde a segunda derivada da função é positiva d 2 U d 2 > 0, equilíbrio estável =0 12

4 e pontos como 4, onde a segunda derivada da função é negativa d 2 U d 2 < 0, equilíbrio instável. =4 Aos primeiros chamamos pontos de equilíbrio estável e aos segundos pontos de equilíbrio instável. No caso de um ponto de equilíbrio estável, quando a partícula é desviada da posição de equilíbrio a força eercida sobre ela vai obrigá-la a voltar à posição de equilíbrio. No caso de um ponto de equilíbrio instável, quando a partícula é desviada da posição de equilíbrio a força eercida sobre ela vai afastála desse ponto. 1.7 Movimento de um electrão sob o efeito de um campo eléctrico e magnético constantes Bibliografia: French-Newtonian Mechanics-pg. 467 Vamos fazer o estudo do movimento de um electrão sob o efeito de um campo eléctrico e um campo magnético constantes. Supomos que temos um par de placas paralelas à distância d uma da outra, montadas dentro de um tubo onde eiste o vácuo e ligadas a uma bateria de modo a eistir um campo eléctrico uniforme de intensidade E = V/d entre as placas, de acordo com a figura 1.4. As y V B d 0 Figure 1.4: Tubo catódico com condensador placas estão colocadas entre os polos de um magnete que cria um campo uniforme perpendicular ao plano do papel. Supomos que os electrões, de carga q = e, começam o seu movimento a partir da placa debaio com uma velocidade muito pequena. Os electrões poderão ser libertados por um processo foto-eléctrico. A força magnética, sendo perpendicular à direcção do movimento do electrão, F B = ev B, 13

5 não realiza trabalho e a energia do electrão é dada por E = m 2 v2 e V d y = m 2 (v2 + vy) 2 e V y. (1.36) d A última parcela representa a energia do electrão no campo eléctrico. A energia mecânica (1.36) é epressa em termos de v, v y e y, e, devido à escolha da origem da energia potencial, é nula visto que para y = 0, v = 0. Podemos transformar este problema num problema unidimensional eliminando v em função de y. O campo eléctrico só pode acelerar o electrão na direcção do eio dos y. O movimento na direcção do eio dos é apenas devido ao campo magnético B. Assim, a componente da lei de Newton segundo o eio dos é dada por ou ainda, visto que B = Bˆ, m d2 dt 2 = e (v B), m d2 dt 2 = ev yb. Integrando a última equação com a condição v = 0 no ponto y = 0, obtemos d dt = eb m y = ω 0y. (1.37) Finalmente, substituindo a última equação na epressão (1.36), determinamos a energia mecânica do electrão apenas em função de y e v y, E = 0 = m 2 (v2 y + ω 2 0y 2 ) e V d y. Tudo se passa como se a partícula eecutasse um movimento unidimensional sujeita a um potencial efectcivo U ef = m 2 ω2 0 y2 e V y. (1.38) d Seja y a = ev/(mdω 2 0) = V m/(edb 2 ). Na figura 1.5 representamos a função U ef em função de y, correspondendo a uma parábola de vértice no ponto (U ef = m 2 ω2 0 y2 a, y = y a ), como é fácil de concluir se reescrevermos (1.38) na forma U ef = m 2 ω2 0 (y y a ) 2 m 2 ω2 0y 2 a,. (1.39) Substituindo E = 0 e U = U ef (y) na equação (1.24) obtemos 14

6 Uef 0 y a 2y a y 2 2 -m ω y 0 a /2 Figure 1.5: Energia potencial U ef (y) t t 0 = y y 0 dy ω 20 y2a ω20 (y y a) 2, = 1 ω 0 z z 0 dz 1 z 2, z = y/y a 1, = 1 ω 0 (arcsin(y/y a 1) arcsin(y 0 /y a 1)) Finalmente, sabendo que para t = 0, y 0 = 0, e que arcsin( 1) = 3π/2, obtemos y(t) = y a (1 + sin(ω 0 t + 3π/2)) = y a (1 cos(ω 0 t)). (1.40) Determinamos (t) integrando (1.37) (t) = y a (ω 0 t sin(ω 0 t)). (1.41) As equações (1.41) e (1.40) determinam a trajectória do electrão, representando um cicloíde na sua forma paramétrica, ver figura 1.6. É de notar que o valor máimo de y é y ma = 2y a, e, que se 2y a d o electrão é absorvido pela placa de cima não se obtendo a trajectória representada em 1.6. O valor de y ma = 2V m/(edb 2 ) poderá ser alterado variando B ou V. y 2y a 0 π 2 π 3π 4 π 5π 6 π / ω 0 Figure 1.6: Movimento do electrão no plano y 15

7 Chapter 2 Campo de forças centrais 2.1 Campo de forças centrais Um campo de forças centrais é caracterizado por linhas de força com a direcção da linha que une o corpo, no qual a força actua, e o corpo que produz o campo de forças. Considerando uma partícula num campo de forças eterno, o campo de forças centrais é um campo de forças no qual a força que actua sobre a partícula tem a direcção da linha que une a partícula a um ponto fio, o centro do campo de forças. A força F que actua na partícula será da forma F = f(, y, z) r r. Este campo de forças é conservativo se o módulo de F apenas depender da distância r ao centro de forças, i.e. F = f(r) r r. (2.1) Teorema: Um campo de forças central é conservativo se uma das duas condições é verificada: 1. a direcção da força é ao longo da linha que une a partícula a um ponto fio e a grandeza só depende da distância do ponto fio à partícula. 2. a força deriva de uma função potencial que apenas depende da distância do ponto fio à partícula. 16

8 Estas duas condições são equivalentes. Consideremos a condição 2 ( U F = U(r) = ê 1 + U ê 2 + U ) ê = = 3 i=1 3 i=1 U i ê i du dr r i ê i, onde considerámos que U é apenas função de r. Substituindo r = 2 1 i = 2 i i = i ; i = 1, 2, 3, 2 r 3 obtemos F = U(r) = 1 r du dr 3 i=1 i ê i = du dr considerando que 1 r du dr não é afectado pelo somatório no índice i e que 3 i ê i = 1 ê ê ê 3 = r. i=1 Finalmente temos F = du(r) r dr r = f(r)r r. F é uma força com a direcção do raio vector r que une a partícula ao centro do campo de forças e cujo módulo apenas depende da distância r ao centro de forças. Provámos que a condição 2 é equivalente à condição 1. O inverso também é verdadeiro. Seja F da forma F = f(r) r r. O trabalho elementar realizado por esta força durante o deslocamento dr é dado por dw = F dr = f(r) r r dr. Substituindo r dr por rdr, r.dr = 1 2 d(r r) = 1 2 dr2 = rdr, r r, obtemos dw = f(r)dr. 17

9 O trabalho elementar dw apenas depende do valor inicial e final da variável r, a distância ao centro de forças, e, portanto, F é uma força conservativa. Então eiste uma função potencial U(r) tal que dw = du = f(r)dr ou F = U, visto que du = U dr. 1 Provámos que as condições 1 e 2 do teorema são equivalentes. Falta agora provar que se F é conservativo o módulo de F apenas depende de r ou que U = U(r). Supomos que nada é conhecido acerca da dependência de F de r. Partimos do facto que F é uma força central F = f r r, (2.2) e F deriva de um potencial F = U. (2.3) Multiplicando escalarmente (2.2) e (2.3) por dr e igualando ambas as epressões obtemos U.dr = f r dr. (2.4) r Vimos anteriormente que e r dr = rdr U dr = du. Substituindo as últimas relações em (2.4) temos du = fdr, ou a função potencial U varia apenas quando a variável r varia. Então U é função de r, U = U(r). Mas U = U(r) implica que como queríamos demonstrar. F = f(r)ˆr, 1 du = U d + U y U U dy + z dz = ( ê1 + U y ê2 + U z ê3).(dê 1 + dyê 2 + dzê 3 ) = U dr. 18