Esboço de Gráficos (resumo)

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Elias Fernando Palma Diegues
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1 Esboço de Gráficos (resumo) 1 Máximos e Mínimos Definição: Diz-se que uma função tem um valor máximo relativo (máximo local) em c se existe um intervalo ( a, b) aberto contendo c tal que f ( c) f ( x) para todo x neste intervalo. Definição: Diz-se que uma função tem um valor mínimo relativo (máximo local) em c se existe um intervalo ( a, b) contendo c tal que f ( c) f ( x) para todo x neste intervalo. Função crescente e decrescente Uma função f é crescente em ( a, b ) se x1, x2 ( a, b ) com x1 < x2, f( x1) f( x2). Uma função f é decrescente em ( a, b ) se x1, x2 ( a, b ) com x1 < x2, f( x1) f( x2). Exemplo: f é crescente em (d, e) e decrescente em (c, d), por exemplo. Concavidade Definição (convexidade): Diz-se que uma curva é convexa ou tem concavidade voltada para cima, num intervalo (a, b) se, e somente se, a curva estiver sempre acima das retas tangentes à curva, x em (a, b). A concavidade para cima será indicada por. Definição (concavidade): Diz-se que uma curva é côncava ou tem concavidade voltada para baixo, num intervalo (a, b) se, e somente se, a curva estiver sempre abaixo de suas retas tangentes, x em (a, b). A concavidade para baixo será indicada por.

Definição: Diz-se que uma função tem um valor mínimo relativo (máximo local) em c se existe um intervalo ( a, b) contendo c tal que f ( c) f ( Função crescente e decrescente Uma função f é crescente

2 Ponto de inflexão 2 É importante determinar também os pontos onde a tangente corta ou cruza a curva. Nestes pontos a concavidade muda de sentido. Nos pontos de abcissas c 1, c 2, c 3 e c 4 a concavidade muda de sentido. c 2 e c 3 são pontos de extremos de f e f não é derivável nestes pontos. Em c 1 e c 4, existem as derivadas f '( c 1) e f '( c 4) e nos correspondentes pontos ( c1, f ( c 1)) e ( c4, f( c 4)), a reta tangente corta o gráfico de f. DEFINIÇÃO: Um ponto ( x o, f ( x ) ) do gráfico f é dito PONTO DE INFLEXÃO de f se: f for contínua em x o. f troca de concavidade em x o. o Para traçar o gráfico de uma função Domínio D(f) = {x : f(x) } Interseções com os eixos coordenados {x D(f) / f(x) = 0} e f(0) Assíntotas Verticais Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a. Se lim f ( x) =± ou lim f( x) =±, diz-se que a reta x = a é chamada x a+ x a x assíntota vertical do gráfico de f. Assíntotas Horizontais Seja f uma função definida em um intervalo aberto. Se lim f ( x) = b ou lim f ( x) = b, dizse que a reta y = b é chamada assíntota horizontal do gráfico de f. Intervalos onde a função é crescente( ) e decrescentes( ) Máximos e Mínimos Intervalos onde a função é côncava( ) e convexa( ) Pontos de Inflexão x

Em c 1 e c 4, existem as derivadas f '( c 1) e f '( c 4) e nos correspondentes pontos ( c1, f ( c 1)) e ( c4, f( c 4)), a reta tangente corta o gráfico de f.

3 Exemplos: com os dados abaixo, construa um gráfico que satisfaça as condições dadas. 3 Domínio e interseção com os eixos D( f ) = R f (0) = 1 Intervalo crescimento concavidade x < -2 ( ) ( ) -2 < x < -1 ( ) ( ) -1< x < 1 ( ) ( ) x >1 ( ) ( ) Extremos relativos e ponto de inflexão Máximo Mínimo (-2, -5) PI (-1, -2) Assíntotas e limites Vertical lim f ( x) = horizontal - - x ± Domínio e interseção com os eixos D(f) = - {-2,0} f(-1) = -2 Intervalo crescimento concavidade x < -2 ( ) ( ) -2 < x < -1 ( ) ( ) -1 < x < 0 ( ) ( ) x >0 ( ) ( ) Extremos relativos e ponto de inflexão Máximo (-1, - 2 ) Mínimo PI Assíntotas e limites Vertical x = 0 e x = - 2 lim f ( x) = 0 x ± horizontal y = 0 Domínio e interseção com os eixos D(f) = f(0) = 0 Intervalo crescimento concavidade x < -2 ( ) ( ) -2< x < -1 ( ) ( ) -1 < x < 0 ( ) ( ) 0 < x < 1 ( ) ( ) 1 < x < 2 ( ) ( ) x > 2 ( ) ( ) Extremos relativos e ponto de inflexão Máximo (1, 2) Mínimo (-1, -2) PI (0, 0), (-2, -1) e (2, 1) lim f ( x) = 0 Assíntota Vertical: não tem Assíntota horizontal: y = 0 x ±

Máximo Mínimo (-2, -5) PI (-1, -2) Assíntotas e limites Vertical lim f ( x) = horizontal - - x ± Domínio e interseção com os eixos D(f) = - {-2,0} f(-1) = -2 Intervalo crescimento concavidade x < -2

4 Para traçar o gráfico de uma função (principais resultados) 4 Domínio D(f) = {x : f(x) } Interseções com os eixos coordenados {x D(f) / f(x) = 0} e f(0) Assíntotas Verticais Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a. Se lim f ( x) =± ou lim f( x) =±, diz-se que a reta x = a é chamada x a+ x a x x assíntota vertical do gráfico de f. Assíntotas Horizontais Seja f uma função definida em um intervalo aberto. Se lim f ( x) = b ou lim f ( x) = b, dizse que a reta y = b é chamada assíntota horizontal do gráfico de f. Pontos Críticos Definição: Se c for um número no domínio de f e se f '(c) = 0 ou f '(c) não existir, então c será chamado de ponto crítico de f. Intervalos onde a função é crescente( ) e decrescentes( ) Teorema: Seja f uma função diferenciável no intervalo (a, b). 1- Se f ' (x) > 0 para todo x em (a, b), então f é crescente em (a, b). 2- Se f ' (x) < 0 para todo x em (a, b), então f é decrescente em (a, b). 3- Se f ' (x) = 0 para todo x em (a, b), então f é constante em (a, b). Máximos e Mínimos Teorema: Seja c um ponto crítico de uma função f contínua em um intervalo aberto I que contém c. Suponha que f é diferenciável em I, exceto possivelmente em c. Então: (i) Se o sinal de f ' muda no ponto c, passando de negativo a positivo, (c, f(c)) é um mínimo relativo de f; (ii) Se o sinal de f ' muda no ponto c, passando de positivo a negativo, f(c) é um máximo relativo de f; (iii) Se f ' não muda de sinal no ponto c, então, f(c) não é um máximo relativo nem mínimo relativo de f. Intervalos onde a função é côncava( ) e convexa( ) Seja f uma função cuja derivada existe em um intervalo aberto (a,b). (i) Se f "(x) > 0 para todo x em (a,b), então o gráfico de f é convexo em (a,b). (ii) Se f "(x) < 0 para todo x em (a,b), então o gráfico de f é côncavo em (a,b). Pontos de Inflexão Seja f uma função cujo gráfico tem reta tangente no ponto (c,f(c)). O ponto (c,f(c)) é um ponto de inflexão se o gráfico muda de concavidade neste ponto. Teorema: Seja c D(f) e (c,f(c)) um ponto de inflexão. Então f "(c) = 0, ou f"(c).

Assíntotas Horizontais Seja f uma função definida em um intervalo aberto. Se lim f ( x) = b ou lim f ( x) = b, dizse que a reta y = b é chamada assíntota horizontal do gráfico de f.

5 5 f '( x ) f "( x ) f f '( x ) f "( x ) f > 0 > 0 > 0 < 0 > 0 = 0 < 0 > 0 < 0 < 0 < 0 = 0 = 0 = 0 Extremos absolutos em um intervalo fechado Definição: Diz-se que uma função tem um valor máximo absoluto em um intervalo se existe um número c intervalo, tal que f () c f ( x) para todo x no intervalo. Neste caso, f(c) será o valor máximo absoluto de f no intervalo. Análogo para mínimo absoluto num intervalo. Definição: Diz-se f(c) é o valor máximo absoluto (máximo global) da função f se c pertence ao D(f) e f(c) f(x) para todo x no domínio de f. Análogo para mínimo absoluto.

no intervalo. Neste caso, f(c) será o valor máximo absoluto de f no intervalo. Análogo para mínimo absoluto num intervalo.

6 Teorema 2 (Teorema do valor extremo): Se a função f é contínua no intervalo fechado [a, b] então f tem um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [a, b]. Observação: Se a função não for contínua e/ou o intervalo não for fechado, não temos garantia da existência dos extremos. Procedimento para determinar os extremos de f, contínua, em um intervalo fechado [a, b]: (i) Encontre os pontos críticos de f em [a, b] (f (x) = 0 ou não f (x)) (ii) Encontre f(a) e f(b) (iii) O maior dos valores de (i) e (ii) é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto. 6 Encontre os extremos absolutos de 3 2 f ( x) = x + 3x 9x em [-4, 4]. Como f é contínua em [-4, 4], pelo teorema anterior, existe máximo e mínimo absoluto. f (x) = 0 x = 1 e x = -3 e f (x), x. f(1) = -5, f(-3) = 27, f(-4) = 172 e f(4) = 268 Logo, tem mínimo absoluto em x = -5 e máximo absoluto em x = 4 Teste da derivada segunda para extremos relativos Teorema (teste da derivada segunda para extremos relativos): seja c um ponto crítico de f no qual f (c) = 0 e f é derivável em (a, b) contendo c. Então, se f (c) existe e: (i) se f (c) < 0 f tem um máximo relativo em c. (ii) se f (c) > 0 f tem um mínimo relativo em c. Observação: O teste falha quando f (x) = 0. Por exemplo, para f(x) = x 2, f(x) = -x 2 e f(x) = x 3, f (0) = 0 Em x = 0, f(x) = x 2 tem mínimo relativo, f(x) = -x 2 tem máximo relativo e f(x) = -x 3 não tem máximo nem mínimo. Conclusão: se f (x) = 0 ou se f (x) não existe, nada se pode concluir quanto a máximos e mínimos e deve-se usar o teste da derivada primeira. Exemplos - determine os extremos relativos da função f dada por: (1) f(x) = x 3 + x 2-8x - 1 f (x) = 3x 2 + 2x - 8 = 0 x = 4/3 ou x = 2 f (x) = 6x +2, f (-2) < 0 máximo relativo e f (4/3) > 0 mínimo relativo (2) f(x) = x(x - 1) 3 f (x) = 0 em x = 1 e x = ¼ f (1/4) = 9/4 > 0 mínimo relativo e f (1) = 0 Nada se pode concluir pelo teste da derivada segunda.

Procedimento para determinar os extremos de f, contínua, em um intervalo fechado [a, b]: (i) Encontre os pontos críticos de f em [a, b] (f (x) = 0 ou não f (x)) (ii) Encontre f(a) e f(b) (iii) O

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