Dificuldades de Modelos de PNL. Onde está a solução ótima? Outro exemplo: Condição ótima Local vs. Global Quinta-feira, 25 de abril

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1 Quinta-feira, 25 de abril Teoria de Programação Não-Linear Programação Separável Dificuldades de Modelos de PNL Programa Linear: Apostilas: Notas de Aula Programas Não-Lineares 1 2 Análise gráfica de programas nãolineares em duas dimensões: Exemplo Minimize sujeito a Onde está a solução ótima? Obs.: a solução ótima não está em ponto do vértice. Ele está onde o isocontorno atinge pela primeira vez a região viável. 3 4 Outro exemplo: Minimize (x-8)2 + (y-8)2 Então, o mínimo global não restrito também é viável. A solução ótima não está no delimitador da região viável. Condição ótima Local vs. Global Definição: Deixe x ser uma solução viável, então x é uma máx global se f(x) = f(y) para cada y viável. x é uma máx local se f(x) = f(y) para cada y viável suficientemente prsximo de x (ou seja, x j -e = y j = xj + e para todos os j e alguns pequenos e). 5 Pode haver várias soluções ótimas locais. 6 1

2 Quando uma solução ótima local também é uma solução ótima global? Estamos minimizando. A função objetiva é convexa. A região viável é convexa. Pontos Extremo e de Convexidade Dizemos que um conjunto S é convexo se para cada dois pontos x e y em S e para cada número real? em [0,1],?x + (1-?)y es. A região viável de um programa linear é convexa. Dizemos que um elemento w e S é um ponto extremo (vértice) se w não for o ponto médio de algum segmento da linha contido em S. 7 8 Reconhecendo regiões viáveis convexas Se todas as restrições forem lineares, a região viável é convexa A intersecção das regiões convexas é convexa Se para todos os x e y viáveis o ponto médio de x e de y for viável, então a região será convexa (exceto em exemplos totalmente não realistas) Quais são convexos? 9 10 Funções convexas Funções convexas: para cada y e z e para 0=? =1. por exemplo: Dizemos que é uma convexidade "rígida" se o sinal for "<" para 0<? <1. Funções Côncavas Funções Côncavas: para cada y e z e para 0=? =1. por exemplo: Dizemos que é uma convexidade "rígida" se o sinal for ">" para 0<? <1. A linha juntando quaisquer pontos está acima da curva A linha juntando quaisquer pontos está abaixo da curva

3 Classifique como convexo, côncavo, ambos ou nenhum. Quais funções são convexas? todas funções lineares algumas funções quadráticas. para x > 0. para x > 0 Condição suficiente: f" (x) > 0 para todos os x Quais funções são convexas? Se f(x) for convexo e g(x) for convexo, Então, também é h(x) = a f(x) + b g(x) para a>0, b>0. Se y = f(x) for convexo, então é um conjunto convexo Propriedade Máxima (Mínima) Local Uma máx. local de uma função côncava em uma região convexa viável é também uma máx. global. Uma mín. local de uma função convexa em uma região convexa viável é também uma mín. global. A convexidade ou concavidade rígida implica que o ótimo global é único. Dado isso, podemos resolver com exatidão: Problemas de Maximização com uma função objetiva côncava e restrições lineares Problemas de Minimização com uma função objetiva convexa e restrições lineares Quais são as regiões convexas viáveis? Mais sobre as condições de otimalidade locais As técnicas para a otimização não-linear normalmente encontram o ótimo local. Isso é útil quando uma solução ótima locar for uma solução ótima global. Não é tão útil em várias situações. Conclusão: se você solucionar um PNL, tente descobrir se as soluções ótimas locais são mesmo boas

4 Solucionando PNL pelo Excel Solver Descobrindo um ótimo local para uma única variável de PNL Solucionando PNLs de variável única: máx. f(?) de forma que a =? = b A solução ótima é ou um ponto limitador ou satisfaz f' (?) = 0 e f"(?*) < Solucionando PNL de Variável Única (continuação) Se f(?) for côncavo (ou simplesmente unimodal) e diferenciável máx f(?) de forma que a =? = b Busca por Bisecção (ou Bolzano): Passo 1. Comece com a região de incerteza para? como [a, b]. Avalie f' (?) no ponto mediano? M =(a+b)/2. Passo 2. Se f' (? M ) > 0, então elimine o intervalo até? M. Se f' (? M ) < 0, então elimine o intervalo além de? M. Passo 3. Avalie f' (?) no ponto mediano do novo intervalo. Volte para o Passo 2 até que o intervalo de incerteza seja suficientemente pequeno. Funções Unimodais A função de variável única f é unimodal se houver no máximo uma máxima local (ou no máximo uma mínima local) Outras Técnicas de Busca Em vez de pegar derivados (que pode exigir muito do computador), use duas funções de avaliação para determinar o intervalo atualizado. Busca de Fibonacci Passo 1. Comece com a região de incerteza para? como [a, b]. Avalie f (? 1 ) e f (? 2 ) quanto a dois pontos simétricos? 1 <? 2. Passo 2. Se f (? 1 ) = f (? 2 ), então elimine o intervalo até? 1. Se f (? 1 ) > f (? 2 ), então elimine o intervalo além de? 2. Passo 3. Selecione um segundo ponto simétrico ao ponto já no novo intervalo, renomeie esses pontos? 1 e? 2 de modo que? 1 <? 2 e avalie f (? 1 ) e f (? 2 ). Volte ao Passo 2 até que o intervalo seja suficientemente pequeno. 23 Na busca de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 Na iteração 1, a extensão do intervalo de busca é o kº número fibonacci para algum k Na iteração j, a extensão do intervalo de busca é o número fibonacci k-j+1. A técnica converge para o ótimo quando a função for unimodal. 24 4

5 Encontrando um máximo local usando a Busca de Fibonacci. A busca encontra um máximo local, mas não necessariamente um máximo global. Extensão do intervalo Onde o máximo pode ser A busca encontra um máximo local, mas não necessariamente um máximo global. Número das avaliações de função na Busca de Fibonacci Como o novo ponto é escolhido simetricamente, a extensão l k dos intervalos de busca sucessivos é dada por: l k = l k+1 + l k+2. Solucionando essas extensões determinada a extensão do intervalo final de 1, l n = 1, dá os números de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Assim, se o intervalo inicial tiver a extensão 34, ele leva 8 cálculos de função para reduzir a extensão do intervalo em 1. Observação: Se a função for convexa ou unimodal, então Busca de Fibonacci convergirá para o máximo global Programação Separável Exemplos de Programas Separáveis Os programas separáveis têm a forma: Máx. de forma que Cada variável xj aparece separadamente, uma em cada função gij e uma em cada função fj no objetivo. Cada função não-linear é de uma única variável

6 Aproximando uma função não-linear com uma função de emenda linear. Aspecto 1. Escolhendo a aproximação. Aspecto 2. Quando a aproximação da emenda linear é um programa linear disfarçado? Aproximação de uma função nãolinear de variável única Aproximação de uma função nãolinear de variável única: o método? Mais sobre o método? Escolha valores diferentes de x para aproximar o eixo x Aproximação usando segmentos de emenda linear Suponha que para 3 = x = -1 representemos que x tem? 1 (-3) +? 2 (-1) onde? 1 +? 2 = 1 e? 1,? 2 = 0 Então, aproximamos f(x) como? 1 (-20) +? 2 (-7 1/3) Mais sobre o método? Suponha que para -1 = x = 1, representemos que x tem? 2 (-3) +? 3 (-1) onde? 2 +? 3 = 1 e? 2,? 3 = 0 Quase o método? Problema Original: mín x 3 /3 + 2x 5 + mais termos de forma que -3 = x = 3 + muito mais restrições Como aproximamos f( ) nesse intervalo? E se 3 = x = 1? 35 Problema aproximado: mín? 1 f(a1) +? 2 f(a 2 ) +? 3 f(a 3 ) +? 4 f(a 4 ) Mais termos lineares de forma que? 1 +? 2 +? 3 +? 4 = 1 ;? = 0 + muito mais restrições 36 6

7 Por que a aproximação é incorreta? Condição de Adjacência Problema aproximado: mín? 1 f(a1) +? 2 f(a 2 ) +? 3 f(a 3 ) +? 4 f(a 4 ) mais termos lineares de forma que? 1 +? 2 +? 3 +? 4 = 1 ;? = 0 Considere? 1 = ½ ;? 2 = 0 ;? 3 = ½ ;? 4 = 0; 1. No máximo dois pesos (?s) são positivos 2. Se exatamente dois pesos (?s) forem positivos, então eles são? j e? j+1 para algum j 3. A mesma condição se aplica a toda função aproximada. O método dá a aproximação correta se apenas dois?s consecutivos forem positivos Aproximando uma função objetiva não-linear para a PNL de minimização. Problema original: minimizar Para minimizar uma função convexa, o método? automaticamente satisfaz a propriedade de adjacência adicional. mín z =? 1 f(a1) +? 2 f(a 2 ) +? 3 f(a 3 ) +? 4 f(a 4 ) +? 5 f(a 5 ) Suponha que onde Aproxime f(y). minimize {S j? j f(a j ): S j? j a j? P} e de forma que? 1 +? 2 +? 3 +? 4 +? 5 = 1 ;? = 0 + condição de adjacência + outras restrições Obs.: quando determinada uma escolha de representar y de maneiras alternativa, a PL escolherá uma que leve ao menor valor objetivo para a aproximação Funções objetivas aproximadas viáveis sem as condições de adjacência Mas um mínimo neste caso sempre ocorre na curva da emenda linear. mín z =? 1 f(a1) +? 2 f(a 2 ) +? 3 f(a 3 ) +? 4 f(a 4 ) +? 5 f(a 5 ) de forma que? 1 +? 2 +? 3 +? 4 +? 5 = 1 ;? = 0 + outras restrições mín z =? 1 f(a1) +? 2 f(a 2 ) +? 3 f(a 3 ) +? 4 f(a 4 ) +? 5 f(a 5 ) de forma que? 1 +? 2 +? 3 +? 4 +? 5 = 1 ;? = 0 + outras restrições

8 Programação Separável (no caso de restrições lineares) Aproximação Re-expresse em termos de variáveis?: Comece com uma PNL: Transforme para Separável: para todos os j, k Aproxime usando o Método?: e as condições de adjacência Se o problema original for côncavo, você pode esquecer as condições de adjacência (elas são automaticamente satisfeitas) Como se pode construir funções separáveis? Exemplos de transformação Ex.: Termo Substituição Restrições Limitações Substitua e deixe y = x 1 + x 2 + x 3 Nenhum Nenhum Ex.: Deixe e e adicione a restrição Nenhum Resumo de PNL As funções convexa e côncava, assim como os conjuntos convexos, são propriedades importantes Técnicas de Busca de Fibonacci e Bolzano usadas para solucionar funções unimodais de variável única Programação Separável Objetivo não-linear e restrições não-lineares que são separáveis Técnica de aproximação geral 47 8