Estrutura de Dados Básica

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1 Estrutura de Dados Básica Professor: Osvaldo Kotaro Takai. Aula 7: Recursividade O objetivo desta aula é apresentar o conceito de recursão para solução de problemas. A recursão é uma técnica de programação em que uma rotina (função) chama a si mesma. A recursão é uma das técnicas mais interessantes e surpreendentemente eficazes em programação. Ela não só funciona, mas também oferece um quadro conceitual única para resolver muitos problemas. Demonstrando a recursão com números triangulares Diz-se que os pitagóricos, um bando de matemáticos da Grécia antiga que trabalhavam com o Pitágoras (do famoso teorema de Pitágoras), sentiram uma conexão mística com a seguinte seqüência de números: 1, 3, 6, 10, 15, 21,... O termo da n-ésima seqüência é obtido acrescentando-se n ao termo anterior. Dessa forma, o segundo termo é encontrado adicionando-se 2 ao primeiro termo (que é 1), dando 3. O terceiro é 3 adicionando ao segundo termo (que é 3) dando 6, etc. Os números da seqüência são chamados números triangulares porque eles podem ser visualizados como uma organização triangular de objetos, ilustrados como pequenos quadrados como na figura a seguir: Suponha que você quisesse encontrar o valor de algum termo na seqüência; digamos o quarto termo (cujo valor é 10). Você poderá perceber que o valor de qualquer termo pode ser obtido somando todas as colunas verticais de quadrados. Veja a figura abaixo: No quarto termo, a primeira coluna tem quatro pequenos quadrados, a segunda coluna tem três, etc. Adicionando, , temos 10. A seguinte função triangular() utiliza esta técnica, baseada em colunas, para encontrar um número triangular. Ela soma todas as colunas, da altura de n até a altura 1. 1

2 É claro que você poderia resolver o problema da seguinte forma: A abordagem anterior pode parecer direta, mas há outra forma de ver este problema. O valor do n-ésimo termo pode ser pensado como uma soma de duas coisas, em vez de uma seqüência. São elas: 1. A primeira coluna (mais alta), que tem n quadrados. 2. A soma de todos os quadrados das colunas restantes. Isto é: Se conhecêssemos uma função que descobrisse a soma de todas as colunas restantes, poderíamos escrever nossa função triangulo(), que retorna o valor do n-ésimo número triangular, da seguinte forma: Note que a função somadascolunasrestantes() fará exatamente a mesma coisa que a função triangulo(). Ou seja, somando todas as colunas para algum número n passado como argumento. Então, por que não usar a própria função triangulo(), em vez de alguma outra função? Isso se pareceria com: Pode parecer surpreendente que uma função possa chamar a si mesma, mas por que ela não deveria ser capaz de fazê-lo? Uma chamada da função é (entre outras coisas) uma transferência de controle para o início da função. Tudo isso se parece como uma transferência de responsabilidade para outro, só que reduzindo o tamanho do problema. Alguém me diz para encontrar o nono número triangular. Sei que ele é 9 mais o oitavo número triangular; então eu chamo o João e lhe peço para encontrar o oitavo número triangular. Quando o João me devolver o oitavo número triangular, acrescento 9 a esse valor e devolvo o resultado. 2

3 O João sabe que o oitavo número triangular é 8 mais o sétimo número triangular; então ele chama a Maria e pede para encontrar o sétimo número triangular. Esse processo continua com cada pessoa passando a responsabilidade para o outro. Onde este processo de transferência de responsabilidade acaba? Alguém em algum ponto deve ser capaz de descobrir uma resposta sem precisar pedir a uma outra pessoa para ajudálo. Se isso não ocorresse, haveria uma cadeia infinita de pessoas transferindo responsabilidades uma para as outras. Para evitar isso, a pessoa que receber a incumbência de encontrar o primeiro número triangular da seqüência (quando n é igual a 1), deve saber, sem perguntar a qualquer pessoa, que a resposta é 1. Não há números menores para perguntar a outras pessoas, não há nada para adicionar a qualquer outra coisa, então a transferência pára aqui. A condição que leva à função recursiva retornar sem fazer outra chamada recursiva é conhecida como caso base. É importante que cada função recursiva tenha um caso base para evitar recursão infinita e a conseqüente finalização da função. Método para solução de problemas de estrutura recursiva Muitos problemas têm a seguinte propriedade: cada instância ou seja, cada exemplo concreto do problema contém uma instância menor do mesmo problema. Dizemos que esses problemas têm estrutura recursiva. Para resolver tais problemas podemos aplicar o seguinte método: 1) Se o problema é pequeno (caso base). a) Resolva-o diretamente (use força bruta se necessário); 2) Se o problema é grande, a) Reduza-o a uma versão menor do mesmo problema, b) Aplique o método ao problema menor e c) Volte ao problema original. A aplicação desse método produz um algoritmo recursivo. Para mostrar como isso funciona, considere o seguinte problema: Determinar o valor do maior elemento de um vetor v que tem n elementos. É claro que o problema só faz sentido se o vetor não é vazio, ou seja, se n > 1. Para preparar o terreno, examine uma tradicional solução iterativa do problema: 3

4 Agora vamos usar o método para encontrar soluções recursivas. Imagine que n = 8 e o vetor v contenha os seguintes valores {5, 10, 3, 7, 2, 1, 30, 25 1) Se o problema é pequeno (caso base) a) Resolva-o diretamente (use força bruta se necessário). O problema pequeno para o problema de encontrar o maior elemento de um vetor de n posições é quando o vetor tem apenas um único número (n==1). Neste caso, o máximo é v[0]. 2) Se o problema é grande, a) Reduza-o a uma versão menor do mesmo problema. Como n é grande (n==8), reduzimos o problema dividindo o vetor em duas partes. Ultima posição do vetor: v[n-1] Vetor sem a última posição (possui n-1 posições) Assim, o máximo será o maior entre o v[n-1] e o máximo do vetor que possuir n-1 posições. b) Aplique o método ao problema menor. Se n-1 == 1, então aplicamos 1a. e retornamos v[0]. Se n-1 > 1 aplicamos novamente 2a. ao vetor com n-2 posições. Esse processo é aplicado sucessivamente até que o vetor tenha apenas uma posição. maximo (8, v) maior entre 25 e maximo(7, v) maximo (7, v) maior entre 30 e maximo(6, v) maximo (6, v) maior entre 1 e maximo(5, v) maximo (5, v) maior entre 2 e maximo(4, v) maximo (4, v) maior entre 7 e maximo(3, v) maximo (3, v) maior entre 3 e maximo(2, v) maximo (2, v) maior entre 10 e maximo(1, v) maximo (1, v) 5 c) Volte ao problema original. maximo(1, v) 5 maximo(2, v) maior entre 10 e 5 maximo(3, v) maior entre 3 e 10 maximo(4, v) maior entre 7 e 10 maximo(5, v) maior entre 2 e 10 maximo(6, v) maior entre 1 e 10 maximo(7, v) maior entre 30 e 10 maximo(8, v) maior entre 25 e 30 Logo maximo(8, v) 30. 4

5 A implementação dessa solução recursiva é a seguinte: Nota: Algumas pessoas acham que funções recursivas consomem muito tempo. Mas isso é apenas uma lenda propagada por programadores que não sabem usar a recursão. As função maximo recursiva discutida acima "puxa para a esquerda" o fim do vetor, ou seja, troca v[0..n-1] pelo vetor v[0..n-2]. É possível escrever uma versão que "empurre para a direita" o início do vetor. Observe que essa nova versão da função maximo é apenas uma "embalagem": o serviço pesado é executado pela função recursiva mx. A função mx resolve um problema mais geral que o original. Isso ocorre freqüentemente na construção de algoritmos recursivos: é preciso generalizar o problema para que uma solução recursiva se torne possível. 5

6 Exercícios 1. Faça um trabalho sobre As Torres de Hanói. Apresente o problema, a análise do algoritmo que soluciona o problema e implemente a solução. 2. Considere a função iterativa maximo exemplificado anteriormente. Faz sentido trocar "x = v[0]" por "x = 0", como fazem alguns programadores descuidados? Faz sentido trocar "x = v[0]" por "x = INT_MIN"? Faz sentido trocar "x < v[j]" por "x <= v[j]"? 3. A função abaixo promete encontrar o valor de um elemento máximo de v[0..n-1]. A função cumpre a promessa? int maxi (int n, int v[]) { int j, m = v[0]; for (j = 1; j < n; j++) if (v[j-1] < v[j]) m = v[j]; return m; 4. Critique a seguinte função recursiva; ela promete encontrar o valor de um elemento máximo de v[0..n-1]. int maximo1a (int n, int v[]) { int x; if (n == 1) return v[0]; if (n == 2) { if (v[0] < v[1]) return v[1]; else return v[0]; x = maximo1a (n-1, v); if (x < v[n-1]) return v[n-1]; else return x; 5. Critique a seguinte função recursiva; ela promete encontrar o valor de um elemento máximo de v[0..n-1]. int maximo1b (int n, int v[]) { if (n == 1) return v[0]; if (maximo1b (n-1, v) < v[n-1]) return v[n-1]; else return maximo1b (n-1, v); 6. Escreva uma função recursiva maxmin que calcule o valor de um elemento máximo e o valor de um elemento mínimo de um vetor v[0..n-1]. Quantas comparações envolvendo os elementos do vetor a sua função faz? 7. Escreva uma função recursiva que calcule a soma dos elementos positivos do vetor de inteiros v[0..n-1]. O problema faz sentido quando n é igual a 0? Quanto deve valer a soma nesse caso? 8. Escreva uma função recursiva que calcule a soma dos dígitos de um inteiro positivo n. A soma dos dígitos de 132, por exemplo, é Qual o valor de X (4)? int X (int n) { if (n == 1 n == 2) return n; else return X(n-1) + n * X(n-2); 10. Qual é o valor de f (1,10)? Escreva uma função equivalente que seja mais simples. double f(double x, double y) { if (x >= y) return (x + y)/2; else return f(f(x+2, y-1), f(x+1, y-2)); 6

7 11. Qual o resultado da execução do programa abaixo? int main (void) { printf ("%d", ff(7)); return 0; int ff(int n) { if (n == 1) return 1; if (n % 2 == 0) return ff(n/2); return ff((n-1)/2) + ff((n+1)/2); 12. Execute fusc(7,0). int fusc (int n, int profund) { int i; for (i = 0; i < profund; i++) printf (" "); printf ("fusc (%d,%d)\n", n, profund); if (n <= 1) return 1; if (n % 2 == 0) return fusc (n/2, profund+1); return fusc((n-1)/2, profund+1) + fusc((n+1)/2, profund+1); 13. A função de Fibonacci é definida assim: F (0) = 0, F (1) = 1 e F (n) = F(n-1) + F(n-2) para n > 1. Descreva a função F em linguagem C. Faça uma versão iterativa e uma recursiva. 14. A seguinte função calcula o maior divisor comum dos inteiros positivos m e n. Escreva uma função recursiva equivalente. int Euclides(int m, int n) { int r; do { r = m % n; m = n; n = r; while (r!= 0); return m; 15. Escreva uma função recursiva eficiente que receba inteiros positivos k e n e calcule k n. (Suponha que k n cabe em um int.) Quantas multiplicações sua função executa aproximadamente? 16. Faça um programa recursivo, em C, que calcule o n-ésimo número: Quadrado. Fatorial. 7