PROGRAMAÇÃO LINEAR. Resolução de problemas de programação linear usando o comando Solver, no Excel.

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1 PROGRAMAÇÃO LINEAR Resolução de problemas de programação linear usando o comando Solver, no Excel. Para além da resolução pelo método gráfico e/ou outros métodos, é possível resolver um problema de PL utilizando um comando na folha de cálculo do Microsoft Excel. Existem também outras folhas de cálculo, que podem ser utilizadas, com comandos semelhantes. Como o Excel existe na maior parte das escolas, poderá até ser utilizado num trabalho conjunto com outras disciplinas. Como trabalhar no Excel. O que aqui apresentamos baseia-se na versão Microsoft Office O exemplo utilizado é o que se encontra no documento com o nome: Texto de apoio n.º 1 Programação Linear. Comece por verificar se a opção Solver está visível no menu Ferramentas. Se não estiver, tem de o adicionar através do mesmo menu, escolhendo Suplementos e aí seleccionando Suplemento Solver e clicando ok. Comecemos por colocar os valores, na folha de cálculo, como se apresenta, por exemplo, na figura seguinte: Criemos agora o seguinte: Atribuamos um valor qualquer a x e a y, por exemplo 1 para ambos (nas células E6 e E7). Estes valores são os chamados valores iniciais, que depois vão ser alterados (ou não, se acertarmos na solução!) consoante o problema. x e y são as variáveis de decisão. Agora, supomos que os valores iniciais, introduzidos para as variáveis de decisão, estão correctos e vamos calcular, numa outra célula, o valor da função objectivo e as restrições. Vamos fazê-lo através de uma fórmula do Excel. Por exemplo, neste caso, vamos introduzir na célula H12 a fórmula:

2 =D12*$E$6+E12*$E$7 Nota: Colocamos o $ para podermos utilizar um recurso do Excel que é poderemos copiar a fórmula para as células H14 e H15, adaptando-se elas automaticamente (pois precisamos de efectuar os mesmos cálculos para as restrições). Se não utilizarmos este recurso podemos fazer manualmente o seguinte: colocamos em H14: =D14*E6+E14*E7 colocamos em H15 =D15*E6+E15*E7 O resultado tem este aspecto: Usemos a ferramenta Solver. Acedemos ao menu Ferramentas Solver. Surge a janela:

3 Inicialmente pede-se para especificar a célula de destino. Neste caso, é o resultado da função objectivo, que se encontra na célula H12. De seguida, temos de escolher se se trata de um problema para determinar um máximo ou um mínimo (os mais usuais). Neste caso, seleccionamos máximo. Indiquemos as células para o campo Por alteração das células que são as células onde se encontram os valores das variáveis de decisão, neste caso em E6 e E7. Tratemos as restrições. Indiquemos as restrições através do comando adicionar. Indicamos que as restrições estão nas células H14 e H15. Ao adicionar a célula H14 indicamos essa referência de célula e dizemos se a restrição é <=, = ou >=, sendo estas as mais utilizadas. Indicamos de seguida a restrição, neste caso a célula F14. Analogamente fazemos para as restantes restrições, caso as haja. Indicamos também as restrições das variáveis que são não negativas. Neste caso adicionamos as células E6 e E7 e indicamos que são >= 0. Temos assim: Resta então solucionar o problema. Cliquemos em Solucionar. Temos então a solução procurada: o lucro máximo que se consegue é de 3420 euros para a produção de 18 unidades do produto A e de 6 unidades do produto B.

4 Nota: Claro que por defeito o Solve resolve o problema, no entanto podemos nas opções do Solver escolher a opção de que se trata de um modelo linear, pois é destes tipo de problema que estamos a resolver. Quando clica em Solucionar pode ainda pedir para que o Excel lhe crie três tipos de relatórios diferentes. Eles aparecerão no mesmo documento em que está a trabalhar, mas cria três novas folhas com o nome de cada relatório. Pode explorar estes relatórios. O comando Solver no Excel (PL). Ver ficheiro auxiliar.

5 FICHA DE TRABALHO 11º ANO Programação Linear Soluções 1. Seja x a quantidade, em quilos, a comprar de Laranja e y a quantidade, em quilos, a comprar de Manga. Antes de mais passemos para uma tabela os valores que necessitamos e como vamos trabalhar, em quilos, adaptando as unidades: Vitamina C Calorias Preço em euros Laranja Manga Consumir no mínimo ,80 2,50 Naturalmente x e y são quantidades positivas. Para que o Manuel consuma as doses mínimas que lhe foram receitadas, teremos as seguintes desigualdades: 450 x y x y 550 O objectivo é fazer o menor gasto em compras nestes dois produtos, assim temos de minimizar o custo: mín. C = 0,8 x + 2,5 y Temos então de resolver mín. C = 0,8 x + 2,5 y sujeito a: 9x + 5y 1 10x + 13y 11 x 0 y 0 Graficamente temos o seguinte:

6 Das várias rectas de declive -3,2 (y= - 3,2x + C/2,5) a que tem menor ordenada na origem e tem pontos de contacto com o domínio, é a que passa no vértice (1,1; 0). Este ponto é a solução do sistema. Assim o que fica mais barato ao Manuel, para cumprir o estabelecido pelo Naturopata, é comprar 1100 gramas de Laranjas e não comprar Mangas. Podemos também utilizar o Solver e rapidamente chegamos à mesma solução. 2. Este exercício serve essencialmente para realçar o seguinte facto importante: quando temos uma região de admissibilidade limitada podemos aplicar o teorema que nos garante que neste caso o valor óptimo se encontra num dos

7 vértices, mas também realçar o facto de procurarmos um máximo e ele não se encontrar no vértice que se encontra mais acima. Podemos assim determinar o máximo que como se vê está numa região limitada. Temos 5 vértices, candidatos a solução óptima. Façamos uma tabela para procurar o valor máximo. x y L= 2x+y A B C 2/3 10/3 14/3 4,(6) D E Observando o quadro, rapidamente se obtém o valor máximo 7, para x=3 e y=1. Através do método gráfico. Das várias rectas de declive -2 a que tem maior ordenada na origem e tem pontos de contacto com o domínio, é a que passa no vértice (3, 1). Mais uma vez sugere-se a utilização do Solver.

8 Mais uma vez sugere-se a utilização do Solver.