Í N D I C E Introdução Função Constante Função Linear... 02

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1 UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL Conhecendo a teoria III Curso: Pós-graduação / MBA Campus Virtual Cruzeiro do Sul Professor Responsável: Carlos Henrique de Jesus Costa Professores Conteudistas: Carlos Henrique e Douglas Mandaji Disciplina: Métodos Quantitativos Aplicados à Gestão Professores Tutores: Carlos Henrique e Douglas Mandaji INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE DEMANDA DE MERCADO. Í N D I C E Introdução Função Constante... 0 Função Linear... 0 Função Linear Afim Aplicações de Funções Lineares ou do º Grau Construção de Modelos Lineares Função Quadrática Aplicações de Funções Quadráticas ou do º Grau Construção de Modelos Funcionais com Funções Quadráticas Atividades Práticas... 0 Resoluções de Atividades Práticas... Atividades Complementares... 4 Resoluções de Atividades Complementares... 5 Bibliografia... 9 INTRODUÇÃO A DEMANDA DE MERCADO FUNÇÃO CONSTANTE = k ou f() = k Seja k um número real qualquer. A função f definida em R e tal que = f() = k, recebe o nome de função constante, portanto, o valor de não varia com o aumento de.

2 A representação gráfica de uma função constante é sempre uma reta paralela ou coincidente com o eio (abscissas), passando pelo ponto (0, ). EXEMPLO : = 3 ou f() = = - 3 EXEMPLO : 5 = 5 =, se 0 5, se 5 = 0 5 Nota: E importante observarmos que temos (funções) constantes e cada uma delas é delimitada em cima do eio de acordo com seu Domínio, ou seja, a primeira função =, está em cima do eio sobre o intervalo de 0 (zero) até (dois) e a segunda função = 5, está em cima do eio sobre o intervalo de (dois) até 5 (cinco). Esses intervalos que delimitam as funções, estabelecendo fronteiras, são chamados de Domínio da função. FUNÇÃO LINEAR = A. ou f() = A. É a função f dada por = A., com Є R e A um número real qualquer não nulo (zero). A representação gráfica de uma função linear é uma reta que contém a origem (0, 0) do sistema de eios (plano cartesiano, ), ou seja, a reta dessa função sempre irá passar pela

3 origem do plano cartesiano (, ). Sendo assim, necessitamos, portanto, de apenas mais um ponto para construir a reta. No eemplo a seguir, além do número 0 (zero), estamos atribuindo aleatoriamente o valor 4 (quatro) para e substituindo-os na função = 4.. Lembrando que poderíamos atribuir qualquer valor para para obtermos o gráfico, assim: EXEMPLO: = 4. = 4. (,) 0 0 (0, 0) 4 (, 4) 4 = 4. 0 FUNÇÃO LINEAR AFIM = A. + B ou f() = A. + B É a função f dada por = A. + B, com Є R e A e B números reais não nulos (zero). A representação gráfica da função linear afim é uma reta pelo ponto (=0, =B), ou seja, o valor do número real B, sempre será um ponto, que deverá ser marcado em cima da reta do. Sendo assim, necessitamos de mais um ponto para a construção da reta. EXEMPLO: =. + =. + (,) 0 (0,) 5 (,5) 5 =

4 APLICAÇÕES DE FUNÇÕES LINEARES OU DO º GRAU: CONSTRUÇÃO DE MODELOS LINEARES EXEMPLO : Um comerciante comprou 00 unidades de um produto por R$ 0,00 a unidade. Acrescenta 50% ao custo e passa a vender o produto para seus clientes. Construir um modelo linear que descreva: a. A receita do comerciante em função das unidades vendidas do produto; b. O lucro do comerciante em função das unidades vendidas; c. O domínio da variável quantidade, nesse caso; d. Construa o gráfico da receita R em função da quantidade q vendidas. Solução a.) Cálculo do preço de venda: Custo por unidade: R$ 0,00 Acréscimo: 50% R$ 0,00 = R$ 0,00 Preço de venda: R$ 0,00 + R$ 0,00 = R$ 30,00 A receita R por unidade vendida é R$ 30,00 e, portanto, para q unidades devemos ter: R = 30.q. b.) O lucro L por unidade vendida corresponde ao acréscimo de 0%, ou seja, R$ 0,00. O lucro L para q unidades vendidas será, portanto: L = 0.q c.) A quantidade pode variar de 0 a 00 unidades ou 0 q 00, pois é a disponibilidade do comerciante para venda do produto. d.) R = 30.q, onde 0 q 00 Substituindo o valor de q, de 0 até 00: q R = 30.q R (q, R) (0, 0) (, 30) (, 60) R R = 30.q L = 0.q 00 q 4

5 (00, 3000) EXEMPLO : Uma máquina de bordar tem cabeças, isto é, é capaz de bordar um desenho em camisetas ao mesmo tempo. A máquina é comandada por um computador. O operador demora 30 minutos para inicializar a máquina (ligar a máquina, ligar o computador, carregar o programa etc.). A cada 0 minutos a máquina completa uma operação com os desenhos. a. Descrever a produção de peças desenhadas pela máquina a partir das 8 horas da manhã, até as horas, em função do tempo. b. Qual o domínio da variável tempo? c. Qual é a quantidade de bordados produzidos até as horas? d. Construa o gráfico da quantidade q produzida em função do tempo t. Solução a.) Começando a contar o tempo, a partir das 8 horas, a cada 0 minutos a máquina produz bordados. Para t minutos após as 8 horas temos: 30 tempo de preparação da máquina t 30 tempo de operação da máquina t 30 número de operações da máquina 0 t 30. número de bordados produzidos no tempo t 0 Chamando q a quantidade de bordados produzidos num tempo t teremos: q = t 30. ou q =.t 360 ou q =,.t b.) Como a produção começa às 8 horas e 30 minutos, quando t = 30 min, e vai até as horas, quando t = 40 min, então o intervalo que faz sentido para o cálculo da quantidade produzida, isto é, 30 t 40. c.) Das 8 horas às horas temos 3 horas ou 80 minutos. Substituindo esse valor na equação de produção, obtém-se: q =,.t 36 Substituindo t por 80 minutos: 5

6 q =,.(80) 36 Q = 80 bordados Obs: Realmente, o tempo de operação da máquina é de horas e 30 minutos ou 50 minutos. O número de operações da máquina é: 50 : 0 = 5. Portanto, o número de bordados eecutados nessas 5 operações é: 5 = 80. d.) Descrevendo a produção de peças desenhadas pela máquina a partir das 8 horas da manhã, até as horas, em função t do tempo e q para o bordado. q =,.t 36, onde 60 minutos t 40 minutos Substituindo o valor de t, de hora até 4 horas: t h min q =,.t 36 q (t, q) q =, (, 36) q =, (, 08) q =, (3, 80) q =, (4, 5) q q =,.t t FUNÇÃO QUADRÁTICA = A. + B. + C ou f() = A. + B. + C É a função f definida por = A. + B. + C, com Є R e onde A, B e C são números reais quaisquer, com A 0. O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima, caso A seja positivo, e concavidade voltada para baio, caso A seja negativo. Eemplos: = ou =. + 8 Construção da parábola: A parábola fica bem caracterizada quando conhecemos seu cruzamento com os eios e, e seu vértice. O vértice da parábola posiciona seu eio de simetria vertical. Os pontos principais são: 6

7 a. Cruzamento com o eio O São as raízes (soluções e ) da equação do º Grau A. + B. + C = 0 B 4. A. C B. A b. Cruzamento com o eio O É o ponto correspondente a = 0, onde = C. c. Vértice, corresponde ao ponto X v = B ; Y v =.A 4.A Eio de Simetria Ponto C X X Vértice EXEMPLO: Construir a representação gráfica da função quadrática = a. Cruzamento com eio é o resultado da equação do º grau = 0 Então: A =, B = 5 e C = 6 = B 4.A.C ( 5) = B ( 5) A. X 7

8 5 6 X 3 A parábola cruza o eio nos pontos (, 0 ) e ( 3, 0 ). b. Cruzamento com o eio é o ponto (0, C), ou seja: A parábola cruza o eio no ponto ( 0, 6 ) c. Vértice da parábola Xv = - B - ( - 5) 5,5.A. Yv = ,5 4.A 4. 4 O vértice da parábola tem coordenadas PV = (,5 ; 0,5 ). Eio de Simetria Ponto C (0, 6) 6 4,5 0,5 3 X (, 0) X (3, 0) Ponto Vértice (,5 ; - 0,5) APLICAÇÕES DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS OU DO º GRAU: CONSTRUÇÃO DE MODELOS FUNCIONAIS COM FUNÇÕES QUADRÁTICAS 8

9 EXEMPLO: Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita (R) pela venda de uma quantidade q de um bem é dada pela equação R = 0.q.q² e que o modelo que descreve o custo total do bem em função da quantidade produzida é C =.q +,5, determinar: a. Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, em função da quantidade produzida e comercializada. b. A quantidade vendida que torna o lucro máimo, e o correspondente valor do lucro. Construa também o gráfico do Lucro L em função da quantidade q. Solução a.) Neste caso, precisamos substituir as equações acima na seguinte fórmula: Lucro é igual a Receita total menos o Custo total ou Lucro = Receita Custo : L = R C L = 0.q.q² (.q +,5) L = 0.q.q².q,5 L =.q² + 8.q,5 com q 0 b.) Após substituirmos os valores no eercício a obtivemos uma função do º grau como resposta, para resolvermos a parte b calcularemos o ponto vértice dessa função. Lembrando que o ponto vértice tem a seguinte fórmula: X v = B ; Y v =.A 4.A Então: A =, B = + 8 e C =,5 = B 4.A.C (+ 8) 4.., = 44 B ( 8) , ,63... q 0, A. 4 4 A parábola cruza o eio nos pontos ( 0,34... ; 0 ) e ( 3,66... ; 0 ). Cruzamento com o eio é o ponto (0, C), ou seja: A parábola cruza o eio no ponto ( 0 ; -,5 ) 8 6,63... q 4 3,

10 Vértice da Parábola X v = B ; Y v =.A 4.A X v = - (+8) + Y v = - (+44) + 5,5. 4. O vértice da parábola tem coordenadas PV = ( ; 5,5 ). O gráfico da função quadrática L =.q² + 8.q,5 com q 0: L Lucro Máimo de 5, 5 quando a quantidade é 5,5 0, ,66... q -,5 Ponto C (0, -,5) X (0,34, 0) X (3,66, 0) Resposta: O valor do Lucro Máimo é de 5,5 quando a quantidade vendida for igual a. 0

11 ATIVIDADES PRÁTICAS 0) Uma construtora tem um terreno e calculou que gastará um total de tijolos para construir o muro que o cercará. Após construí-lo, acredita que precisará de tijolos por semana para a construção de casas no terreno. a. Construir um modelo linear que descreva o número de tijolos necessários para as obras, inclusive os do muro, em função do número de semanas decorridas a partir do término do muro. b. Após quatro semanas, qual é a quantidade utilizada de tijolos? c. Se estiver prevista a construção de 0 casas no terreno, e cada casa consumir tijolos, qual o domínio da função construída no item (a)? d. Construa o gráfico da quantidade q de tijolos em função da semana s para construção de casa no terreno. 0) O modelo funcional que descreve a receita em função da quantidade comercializada é R =.q² +.q. Se o custo desse produto pode ser descrito pela equação C = 3.q + 0, determine: a. O modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, em função da quantidade produzida e comercializada. Obs.: Lucro = Receita Custo ou L = R C b. A quantidade vendida que torna o lucro máimo, e o correspondente valor do lucro. Construa também o gráfico do Lucro L em função da quantidade q. RESOLUÇÕES DE ATIVIDADES PRÁTICAS 0) a. s = número de semanas após o término do muro q = número de tijolos Modelo funcional: q = s b. Cálculo da quantidade de tijolos após 4 semanas: q = s

12 q = q = q = tijolos c. Domínio: 0 s 40 ou de 0 a 40 semanas para construir as 0 casas. d.) Descrevendo a quantidade de tijolos gastos por semana para construção de 0 casas. Substituindo o valor de s, de semana até 40 semanas: s q = s q (t, q) q = (, 0.000) q = (, 0.000) 39 q = (, ) 40 q = (, ) q q = s s 0) a. Modelo funcional: L = R C L =.q² +.q (3.q + 0) L =.q² +.q 3.q 0 L =.q² + 9.q 0 com q 0

13 b. Após substituirmos os valores no eercício a obtivemos uma função do º grau como resposta, para resolvermos a parte b calcularemos o ponto vértice dessa função. Lembrando que o ponto vértice tem a seguinte fórmula: X v = B ; Y v =.A 4.A Então: A =, B = + 9 e C = 0 = B 4.A.C (+ 9) = B ( 9) 9 9 q. A q 4,5 A parábola cruza o eio nos pontos ( ; 0 ) e (,5 ; 0 ). Cruzamento com o eio é o ponto (0, C), ou seja: A parábola cruza o eio no ponto ( 0 ; - 0 ) Vértice da Parábola X v = B ; Y v =.A 4.A X v = - (+9) +,5 Y v = - ( + ) + 0,5. 4. O vértice da parábola tem coordenadas PV = (,5 ; 0,5 ). O gráfico da função quadrática L =.q² + 9.q 0 com q 0: 3

14 L Lucro Máimo de 0,5 quando a quantidade é,5 0,5,5,5 q Ponto C (0, -0) -0 Resposta: O valor do Lucro Máimo é de 0,5 quando a quantidade vendida for igual a,5. 4

15 ATIVIDADES COMPLEMENTARES COM FUNÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS Represente graficamente as funções constantes, lineares e afins, dadas por: 0) =. 4 0) = 0. 03) = 6,. 04) = 0, ) = 06) Construir o gráfico da função constante = +., se 07) Construir o gráfico da função =, se < 3 6, se > 3 Represente graficamente as funções quadráticas, dadas por: 08) = ) =

16 RESOLUÇÕES ATIVIDADES COMPLEMENTARES FUNÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS 0) =. 4 =. - 4 = ) = 0. = = ) = 6,. = 6,. = 6, , 6, 04) = 0,6. 3 = 0, = 0, ,4 -,4-3 6

17 05) = = 0 0 0,5 = 0,5 06) Construir o gráfico da função constante = = +, se 07) Construir o gráfico da função =, se < 3 6, se > 3 6 = 6, > 3 =, se - =, se < 3-3 7

18 08) = Então: A =, B = 4 e C = 3 = B 4.A.C (- 4) = 4 = - B ± - (- 4) ± 4 4 ± 4 + = X = 3.A. 4 - = X = A parábola cruza o eio nos pontos ( 3, 0 ) e (, 0 ). Cruzamento com o eio é o ponto (0, C), ou seja: A parábola cruza o eio no ponto (0, 3) Vértice da parábola: Xv = - B - ( - 4) 4.A. Yv = A 4. 4 O vértice da parábola tem coordenadas: PV = ( ; - ). Eio de Simetria 6 6 Ponto C 3 3 X Ponto Vértice ou Ponto de Mínimo X 8

19 09) = Então: A =, B = +0 e C = 6 = B 4.A.C (+ 0) = 36 = - B ± (+ 0) ± 36 0 ± = X =.A. 0 6 = X = 8 A parábola cruza o eio nos pontos (, 0 ) e ( 8, 0 ). Cruzamento com o eio é o ponto (0, C), ou seja: A parábola cruza o eio no ponto (0, 6) Vértice da parábola: Xv = - B ( +0) 0 5.A. Yv = A 4. 4 O vértice da parábola tem coordenadas: PV = ( 5 ; 9 ). 9 Ponto Vértice ou Ponto de Máimo 5 X X 8 Ponto C Eio de Simetria 6 9

20 BIBLIOGRAFIA: MORETTIN, L.G., Estatística Básica, 7ª Edição, São Paulo, PEARSON, 000. NEUFELD, J.L., Estatística Aplicada a Administração Usando o Ecel, São Paulo, PEARSON, 003. SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, 007. SPIEGEL, M.R., Estatística, 3ª Edição, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 994. SPIEGEL, M.R., Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 977. COMPLEMENTAR: GIOVANNI, J.R., Matemática Fundamental: º Grau Volume Único. São Paulo: FTD, 994. SILVA, Ermes Medeiros, Estatística para os Cursos de: Economia, Administração e Ciências Contábeis, 3ª ed., São Paulo: Atlas, 999. OBS: Caso tenha dúvidas, quanto ao conteúdo e/ou eemplos resolvidos, coloque-as diretamente no item SANANDO DÚVIDAS, desta Unidade. NÃO ESQUEÇA DE ACESSAR OS ITENS PRATICANDO e COOPERANDO E COLABORANDO DESTA UNIDADE... VOCÊ ENCONTRARÁ NOSSAS ATIVIDADES AVALIATÓRIAS... REALIZAMOS UMA INTERPRETAÇÃO GRÁFICA SOBRE DEMANDA DE MERCADO E QUEREMOS SABER SUA OPINIÃO A RESPEITO!!! 0