CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

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1 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em ou uma função transcendente. Em raros casos é possível obter as raízes eatas de f()= 0, como ocorre, por eemplo, supondo-se f() um polinômio fatorável. Resolver a equação f() = 0 consiste em determinar a solução (ou soluções) real ou complea,, tal que f( ) = 0. Por eemplo, na equação f() = cos =0, devemos determinar a solução tal que f( ) = cos = 0. Dado f: R R com f definida e contínua em [a, b], são denominadas raízes de f os valores de tais que f() = 0. Graficamente, as raízes reais são representadas pelas abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eio O. Como obter as raízes de uma equação qualquer? Métodos numéricos iterativos são utilizados para determinar aproimadamente a solução real. Nestes métodos, para determinar uma solução quando esta é um valor real, necessitamos de uma solução inicial. A partir desta solução, geramos uma sequência de soluções aproimadas que, sob determinadas condições teóricas, convergem para a solução desejada. Portanto, para o problema de calcular uma raiz pode ser dividido em dois passos: Passo 1: Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo [a,b] que contém a raiz. Passo : Refinamento da raiz, que consiste em escolhida as aproimações iniciais no intervalo encontrado no Passo 1, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproimação para a raiz, dentre de uma precisão pré-fiada. Passo 1: Isolamento das raízes Nesse passo é necessário que consigamos determinar um intervalo finito [a,b], de tal forma que [a, b]. Para tal faz-se uma análise teórica e gráfica da função f(), em que utilizase o seguinte teorema:

2 16 Teorema: Seja f() uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 (ou seja, f(a) e f(b) tem sinais contrários), então eiste pelo menos uma raiz real de f no intervalo [a,b]. Observações: 1) Se a função não for contínua o teorema não é válido. f(a) f(b) < 0, mas [a, b]tal que f() = 0 f(b) a b ) O teorema não é suficiente!!!! Não vale a volta: Se a raiz em [a,b] eiste, então f(a) e f(b) tem sinais contrários.(falso) f(a) > 0 e f(b) > 0, mas [a, b]tal que f() = 0 a b 3) Levando em consideração o teorema anterior e afirmando que f () eiste e não muda de sinal no intervalo, podemos afirmar que o zero é único (não eiste ponto de infleão). a b a b f () > 0, [a, b] f () < 0, [a, b]

3 Se f é contínua e diferenciável em seja, f > 0 ou f a, b, f a f b < 0 e se f () não troca de sinal em a, b < 0, então f possui uma única raiz em [a,b]. A análise gráfica da função f() ou da equação f() = 0 é fundamental para obter boas aproimações para a raiz. Uma forma prática de investigar intervalos a, b que contém a raiz da função f consiste em epressar f em uma forma equivalente como segue: em, f f f f 1 Nesse caso, f 0 se f1 f 0 f1 e f se interceptam. Portanto a partir da intersecção do gráfico f1. 17, ou, ou seja, é a raiz da f se, e somente se, com podemos determinar geometricamente um intervalo que contenha a raiz de f() (ou uma raiz aproimada). Eemplos: a) f 5 e b) f e c) f ln e d) f sen 1 e) f ln 1 Passo : Refinamento O refinamento da solução pode ser feito utilizando vários métodos numéricos. A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os métodos. Todos eles pertencem à classe dos métodos iterativos. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são eecutadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos (laços) até que um critério de parada seja satisfeito. Critério de Parada O critério de parada interrompe a sequência de aproimantes gerada pelos métodos iterativos. Este deve avaliar quando um aproimante está suficientemente próimo da raiz eata. Assim, o processo iterativo é interrompido quando pelo menos um dos seguintes critérios é satisfeito: I) k k 1 ma 1, k II) k 1 k 1 k III) ) f( k sendo k o valor aproimado da raiz na k-ésima iteração e, a precisão desejada. Os métodos numéricos são, em geral, desenvolvidos de forma a satisfazer um dos critérios de parada.

4 18 MÉTODOS PARA RESOLUÇÃO DE ZEROS DE FUNÇÃO 1 Método da Bissecção Seja f() uma função contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0. O Método da Bissecção consiste em, a partir de um intervalo [a, b] que contenha a raiz, determinar uma sequência de intervalos [ai, bi], i = 0, 1,..., em que a0 =a e b0=b, de modo que a amplitude do intervalo numa iteração é a metade da amplitude do intervalo anterior e que ele sempre contem a raiz. A sequência de intervalos será calculada até que a amplitude do intervalo seja menor que a precisão ε requerida, isto é, (b k a k ) < ε. Graficamente tem-se: As sequências ai, bi e i são construídas da seguinte maneira: 1. Determinar um intervalo inicial [a0, b0] tal que f(a0)f(b0) < 0;. Calcular k k k 3. Se 1 ou f(k ) k ak bk (ponto médio do intervalo); 4. Se f(ak)f(k) < 0, então ak+1 = ak e bk+1 = k; 5. Se f(ak)f(k) > 0, então ak+1 = k e bk+1 = bk; PARE, k é uma raiz de f(); Terminado o processo, tem-se um intervalo [a, b] que contém a raiz e uma aproimação para a raiz eata é obtida. Convergência: O Método da Bissecção converge sempre que a função f() for contínua no intervalo [a,b] e f(a)f(b) < 0. Entretanto, a convergência do Método da Bissecção é muito lenta, pois se o intervalo inicial é tal que (b0 a0) >> ε e se ε for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande.

5 19 Estimativa do Número de Iterações: Dada uma precisão e um intervalo inicial [a,b], é possível saber quantas iterações serão efetuadas pelo método até que obtenha b a, com b > a. Estimativa para o número de iterações: k > log(b 0 a 0 ) log (ε) log () Deve-se então obter k tal que b, 0. k a k Observações: O método converge sempre e pode ser aplicado para obter a raiz de qualquer equação; As iterações não envolvem cálculos trabalhosos; Eemplo: Utilizando o Método da Bissecção, determine a raiz da função f() = ln() sen(), com ε = 0.01.

6 0 Eercícios: 1- Utilizando o Método da Bissecção, resolva a equação 3 sen() = 0, com ε = Sol.: Utilizando o Método da Bissecção, resolva a equação + ln() = 0, com ε = Sol.: Algoritmo 1 Dados f(), a e b, tais que f(a)f(b) < 0 e ε uma precisão. Faça = a+b 3 Enquanto f() > ε, faça início Se f(a)f() < 0, então b = senão a = = a+b fim 4 Escreva ( = a+b )

7 1 Método da Posição Falsa (Método das Cordas ou das Secantes) Seja f() uma função contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0. O Método da Posição Falsa utiliza a mesma idéia do Método da Bissecção, mas calcula a média aritmética ponderada entre a e b com pesos f ( a ) e f (b ), respectivamente. Desta forma, temos: a f ( b ) b f ( a ) f ( b ) f ( a ) Como f(a) e f(b) tem sinais opostos, tem-se: a f ( b ) b f ( a ) f ( b ) f ( a ) Graficamente, o valor de é o ponto de intersecção entre o eio O e a reta r() que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)): As iterações são realizadas da seguinte forma: Convergência:

8 Se f() for contínua no intervalo [a, b] com f(a)f(b) < 0, então o Método da Posição Falsa converge. Critério de parada: O método iterativo da posição falsa para quando: k 1 k 1 k, sendo ε um valor pré-estabelecido para a precisão. Observações: Se uma função é côncava ou convea em [a, b], então no Método da Posição Falsa uma das etremidades permanece fia. a 0 b 0 a 0 b 0

9 3 Geralmente, o Método da Posição Falsa obtém como raiz aproimada um ponto, no qual f( ) < ε, sem que o intervalo [a,b] seja pequeno o suficiente. Portanto, se for eigido que os dois critérios de parada (isto é, f( ) < ε e b a < ε ) sejam satisfeitos simultaneamente, o método pode não convergir. Eemplo: Utilizando o Método da Posição Falsa, determine a primeira raiz positiva da função f() = com ε = Eercício: Utilizando o Método da Posição Falsa, resolva a equação 3 sen() = 0, com ε = Sol.: 0.987

10 4 3 Método do Ponto Fio (Método Iterativo Linear Método das Aproimações Sucessivas) Seja f() uma função contínua em [a,b], intervalo que contém uma raiz da equação f() = 0. O Método do Ponto Fio (MPF) consiste em transformar a equação f() = 0 em uma equação equivalente = φ() e a partir de uma aproimação inicial 0, gerar uma sequência {k} de aproimações para pela relação k+1 = φ( k ), k = 0,1,, (f( ) = 0 se, e somente se, φ( ) = ). Assim, transformamos o problema de encontrar um zero de f() no problema de encontrar um ponto fio de φ(). Eistem muitas maneiras de transformar f() em = φ(). Eemplo: Para a equação = 0, tem-se várias funções de iteração: a. = c. = b. = 1 + d. 1 OBS: A forma geral das funções de iteração () é () = + A() f(), com a condição de que em, ponto fio de (), se tenha A( ) 0. Desta forma, vamos verificar que: f( ) = 0 se, e somente, se φ( ) =. Seja tal que f( ) = 0. Daí φ( ) = + A( )f( ) e portanto φ( ) =. Se φ( ) =, então + A( )f( ) =. Logo A( )f( ) = 0 e temos f( ) = 0, pois A( ) 0. Eemplo: = m, m 0, (A() = 1 m ). Graficamente, uma raiz da equação = φ() é a abcissa do ponto de intersecção da reta = e da curva = (). = f() = f() φ() k e { k } k e { k } não tende a

11 5 = f() φ() k e { k } Portanto, para certas φ(), o processo pode gerar uma sequência que diverge de. Convergência Dada uma função f() = 0, eiste mais que uma função φ() tal que f() = 0 = φ(), entretanto, não é para qualquer escolha de φ() que o processo recursivo gera uma sequência convergente para. Eemplo: Seja + 6 = 0, cujas raízes são 1 = 3 e =. Considere a raiz = e φ 1 () = 6. Tomando 0 = 1.5 temos: Podemos observar que {k} não está convergindo para =. Porém, se = e φ () = 6, começando com 0 = 1.5, temos: e podemos observar que {k} está convergindo para =.

12 6 Teorema: (Condições necessárias e suficientes para convergência do MPF) Seja uma raiz da equação f() = 0, isolada num intervalo I centrado em. Seja φ() uma função de iteração para a equação f() = 0. Se i. φ() e φ () são contínuas em I; ii. φ () M < 1, I; iii. 0 I; então, a sequência {k} gerada pelo processo iterativo k+1 = φ( k ), k = 0,1,, converge para. Eemplo: Seja + 6 = 0, cujas raízes são 1 = 3 e =. Analisar φ 1 () = 6 e φ () = 6 com 0 = 1.5. Critério de parada: O método iterativo do ponto fio pára quando: k 1 k 1 sendo ε um valor pré-estabelecido para a precisão. k

13 7 Eemplo: Utilizando o MIL, determine a raiz da equação sen () = 0, com ε = Eercício: Utilizando o MIL, determine a raiz da equação f()=-ln() 4 com = Sol.: Algoritmo 1 Supondo as hipóteses do teorema válidas, 0 uma solução inicial, φ() a função de iteração e ε uma precisão pré-estabelecida Erro = 1 3 Enquanto Erro > ε faça início 1 = φ( 0 ) Erro = =1 fim 4 Escreva (A solução é 0)

14 8 4 Método de Newton (Método das Tangentes) O Método de Newton tenta garantir a aceleração do Método do Ponto Fio escolhendo uma função de iteração φ(), tal que φ () = 0. Desta forma, dada a equação f() = 0 e, partindo da forma geral φ(), queremos obter a função A() tal que φ ( ) = 0. Logo, dada a função de iteração φ() = + A()f() temos que: φ () = 1 + A ()f() + A()f () = φ ( ) = 1 + A ( )f( ) + A( )f ( ) Como f( ) = 0, temos; φ ( ) = 1 + A( )f ( ) Assim φ ( ) = 0 se, e somente se, 1 + A( )f ( ) = 0 e daí A( ) = 1 Então, dada f(), a função de iteração φ() = f() f () será tal que φ ( ) = 0, pois como podemos verificar: f () φ () = 1 (f ()) f()f () (f ()) que f ( ) 0. = f()f () (f ()) e como f( ) = 0, φ ( ) = 0, desde Assim, escolhido 0, a sequência {k} será determinada por: O qual é denominado Método de Newton. k+1 = k f( k) f ( k ), k=0,1,... Uma outra maneira de deduzir o método de Newton é utilizar a ideia de aproimantes da seguinte maneira: Seja a raiz da equação f() = 0, tal que [a, b], finito e que f () e f () sejam funções contínuas que preservam o sinal em [a,b]. Seja k, tal que k, k [a, b] e hk uma pequena tolerância positiva tal que: = k + h k (I). Aplicando-se a fórmula de Talor em torno de temos: f( ) = f( k + h k ) = f( k ) + h k f ( k ) + (h k) f (! k ) + + Erro

15 9 f( ): Truncando-se a série no termo de ordem obtemos uma aproimação linear para f( ) f( k ) + h k f ( k ) Como f( ) = 0, temos que f( k ) + h k f ( k ) 0 e daí h n f( k) f ( k ). Ao usarmos (I) temos que: k f( k) f ( k ). Se substituirmos por um novo valor k+1 temos: o qual é denominado Método de Newton. Interpretação geométrica k+1 = k f( k), k = 0,1,,..., f ( k ) Dado k, o valor de k+1 pode ser obtido graficamente traçando-se pelo ponto (k, f(k)) a tangente à curva = f(). O ponto de intersecção da tangente com o eio dos determina k+1. Tomamos como uma primeira aproimação da raiz 0 = b e traçamos a reta tangente à curva no ponto ( 0, f( 0 )). Então temos: Logo: e portanto: E assim sucessivamente. tgα = f( 0) 0 1 e tg α = f ( 0 ) f( 0 ) 0 1 = f ( 0 ) 1 = 0 f( 0) f ( 0 )

16 30 OBS: Devido a sua interpretação geométrica, o método de Newton também é conhecido como Método das Tangentes. Convergência Se f(), f () e f () são contínuas num intervalo I que contém a raiz = de f() e se f ( ) 0, então o Método de Newton converge, sendo sua convergência de ordem quadrática. Critério de parada: O método iterativo de Newton para quando: k 1 k 1 k, sendo ε um valor pré-estabelecido para a precisão. Eemplo: Utilizando o método de Newton, determine a raiz positiva da função f() = 4 cos () e = 0 com ε = Eercício 1 - Utilizando o método de Newton, determine a raiz da equação f() = + 1 sen() com = Determine a raiz positiva aproimada de f() = 7 = 0 com ε = 10-6.

17 31 Eercícios: 1 Determine geometricamente as raízes: a) f() = 1- ln = 0 ( [1,] ) b) f() = 3 = 0 (1 [0,1] e [3,4]) c) f() = 3 3 sen = 0 (1 [-,-1] e [1,]) d) f() = 9 log = 0 (1 [,3] e [0,1]) 1 e) f() = ln - e = 0 ( não eiste raízes reais) f) f() = - 5 e = 0 Usando o Método da Bissecção, determine uma raiz das funções a seguir com a precisão = 10-3 a) f ( ) 3 sen b) f ( ) 3 cos 1 c) f ( ) ln sen 3 Determine a raiz de f ( ) cos ln 0 com = 10 - e [ 0. 1, 0. 5], utilizando os seguintes métodos numéricos: a) Método da Bissecção; b) Método da Posição Falsa; c) Método do Ponto Fio. 4 Aplique o Método do Ponto Fio para calcular a raiz de 5 0 com = a) partindo do intervalo inicial [,.5]; b) partindo do intervalo inicial [,3]. 5 Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaio, com = 10-3, usando o Método de Newton. 3 a) cos 0 3 b) e 3 0 c) e cos 5 d) e) tan 0 f) cos 5 g) Determine todas as raízes de f ( ) com = 10-4, utilizando o Método de Newton. 7 O polinômio p( ) tem seus cinco zeros reais, todos no 9 1 intervalo (-1;1).Determine-os, pelo respectivo método, usando = a) 1 : Método de Newton (0=-0.8) b) : Método da Bissecção ([a,b]=[-0.75,-0.5]) c) 3 : Método da Posição Falsa ([a,b]=[-0.5,0.5]) d) 4 : Método do Ponto Fio ([a,b]=[0.,0.6]) e) 5 : Método de Newton (0=0.8) e

18 3 8 Seja a equação ( ) 3 f e e. a) Verifique gráfica e analiticamente que f() possui um zero no intervalo [0,1]; b) Determine a raiz de f() em [0,1], usando o Método de Newton com 0=0.9 e precisão = Seja a equação f ( ) e 4 e sua raiz no intervalo (0,1). Determine com = 10-5 utilizando o Método de Newton (0=0.5). 10 Aplique o Método de Newton à equação com 0=1.9. Justifique o que acontece. 11 O valor de pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: a) sen = 0 b) cos 1 0 Aplique o método de Newton com 0=3 e precisão = 10-7 em cada caso e, compare os resultados obtidos. Justifique. 1 Aplique o Método das Aproimações Sucessivas com decimais: a) f() = 9 log = 0 (1= ; = ) b) f() = 3 1 = 0 ( = 1.35) c) f() = (0,5) + 3 = 0 (1= ; = ) d) f() = 6 = 0 ( = 1.765) e) f() = cos = 0 ( = 0.739) 4 10 e seis casas 13 Aplique o Método de Newton para determinar as raízes das equações dado 4 10 e seis casas decimais: a) f() = 7 log = 0 (1=1.893 e =4.7133) b) f() = (-) e = 0 ( = 1.594) c) f() = sen + 5 = 0 ( =.058) d) f() = e (-1) 1 = 0 ( = 1.785) e) f() = 3 3 = 0 ( = ) 14 Seja f() = e 4 e sua raiz * [0,10]. Tomando 0=0.5, encontre com 4 10 e seis casas decimais, usando: 1 a) Método das Aproimações sucessivas com F() = e ; b) Método de Newton; c) Método das Cordas. Compare a convergência.