MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação. Aula 04. Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano

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1 MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação Aula 04 Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano

2 Guia de Estudo para Aula 04 Aplicação de Produto Escalar - Interpretação do produto escalar - utilização para ajuste de funções. - Reforçar a noção de programar com for Aplicação de Matrizes em Tabela - Determinação do método dos múltiplos quadrados Eercícios - Comando FOR - Produto escalar - Método dos Mínimos Quadrados - Gráficos Objetivos da Aula - Compreender vetores em matlab. - Ligar a idéia do For com a notação do Matlab para vetores - Aprender a usar matrizes em matlab - Método dos Mínimos Quadrados.

3 Transposta da Matriz no Comando FOR Dada a matriz A (i,j) a transposta é AT(j,i) Linhas viram colunas. Colunas viram linhas. Eercício Fazer um programa em Matlab usando FOR onde o usuário entra com uma matriz quadrada n n e o programa devolve a matriz transposta. 3

4 O Programa 4

5 Eercício Fazer um programa usando comando FOR do Matlab para transformar uma matriz linha em matriz coluna. MATRIZ LINHA ( a a ) A L a n MATRIZ COLUNA a a A M a n 5

6 A(,j) B(j,) 6

7 7 Resolvendo Sistema Linear Observar o seguinte sistema linear: Para resolver seguem-se duas maneiras diferentes: () Isolar da primeira equação e substituir na segunda. () Transformar o sistema em matrizes e vetores.

8 8 Primeira Resolução (a) Isolando na primeira equação: (b) Substituindo na segunda equação: (c) Substituindo em isolado em (a): 3 Solução: 3 3

9 9 Segunda Resolução (a) Transformar o sistema em representação matricial: 4 5 A B (b) Resolve-se agora o sistema : AX B (c) A solução deve envolver a inversa da matriz A, ou seja, A - B A AX A (d) Como A -.A é matriz identidade a solução será: X A - B (e) No matlab basta : inv(a)*b

10 No Matlab B tem que ser transposto! Ou B [ 4 ; ] 0

11 Problema com dimensão de matrizes Resolver sistema linear com mesmo número de linhas e colunas é fácil usando matlab. Mas quando se tem MAIS equação que incógnita a inversa da matriz não é possível equações incógnitas (,)????

12 Método dos Mínimos Quadrados A solução para o problema anterior é encontrar o vetor mais próimo possível tal que o sistema AX B seja o mais verdadeiro possível! Deve-se encontrar o vetor cujo erro do sistema seja o menor possível ao quadrado. Por isso o método se chama MÍNIMOS QUADRADOS. Eemplo: reta de regressão linear Reta que mais se aproima dos pontos amostrados Y a angulo X btangente(angulo) Os resíduos dessa diferença são os menores possíveis quando elevados ao quadrado.

13 A Estimativa do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) Seja r A B T r A A A T B T ( A A) T r T T.( A A). ( A A). A B identidade Logo, para encontrar o vetor mais próimo possível da solução: r ( T ) T A A A B 3

14 Aplicação dos MMQ à preço de ações Imaginar que duas ações foram acompanhadas por 3 dias e tiveram seus valores de fechamento relacionados na tabela a seguir: Ação 0,0 0,8 0,8 Ação 3 36 Suponha que eista a seguinte relação entre as ações: Qual o valor de k? acão k acão 4

15 Solução via MMQ 0,0k 0,8k 0,8k 3 36 Sistema com 3 equações e incógnita Neste caso as matrizes A e B serão: 0,0 3 A 0,8 B 0,8 36 Então, lembrando que o nesse problema é o valor de k e: Qual a solução? r ( T ) T A A A B 5

16 Solução (a) A T A 0, 0,8 ( 0, 0,8 0,8) 0,8 0, 08 (b) A T B 0, 0,8 ( 0, 0,8 0,8) 0,8 5, 34 Assim, k 5,34 0,08 7 6

17 A Solução Numérica r ( T ) T A A A B 7

18 Eercício Dados N pontos pelo usuário, fazer um programa usando comando FOR para alimentar um vetor do tipo a(i) i e um vetor b(i) i. Supondo que: a. b Encontrar o valor de pelo MMQ 00 Eemplo: n a 3 4 ::::::: b ::::::: b i a i

19 Solução Matrizes Coluna MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 9

20 0 Eercício Fazer um programa usando FOR para pedir ao usuário as matrizes A de ordem n m e B de ordem n para resolver um sistema linear genérico pelo MMQ. Eemplo: n 3 e m B A Então:

21 Solução Solução do Eemplo

22 Ajuste de Função Dada uma tabela de dados 3 3 : : y y y Y X Deseja-se encontrar a melhor função linear que ajuste y aos valores de : c c y 0 + Observando que os dados são inseridos na função da seguinte forma: ) ( ) ( 0 i c c i y + O sistema a ser resolvido é: n y n y y c c M M M 0. A X B

23 Eercício Fazer um programa para entrar com n valores de e de y e no final o programa deve ajustar a função linear pelo método dos mínimos quadrados. Use como eemplo a tabela a seguir: X Y 4 5 Solução 3

24 Eercício Modificar o programa anterior para fazer o gráfico dos pontos da Tabela e dos pontos da reta ajustada y(i) c0 + c* (i) 4

25 Solução pontos da tabela RETA AJUSTADA

26 6 Questão Como seria a formulação matemática e a programação se fosse desejado ao invés de ajuste linear o ajuste quadrático do tipo e use a tabela: 0 c c y + O sistema a ser resolvido é: n y n y y c c M M M 0. A X B 40 0 Y X

27 Programa Aqui se lê o valor de Aqui se eleva ao quadrado Aqui é a equação 7

28 PROBLEMA DESAFIO: Como melhorar esse gráfico para uma parábola? ISSO É UMA PARÁBOLA?

29 Dica O gráfico deve ter mais pontos no eio. Os pontos devem ter espaçamentos em números reais. E: de 0,5 em 0,5; de 0, em 0,; 3. Com o contador sendo um número real, um NOVO contador para o índice do vetor deve ser criado. Tem que ser número inteiro. 9

30 Refinamento do plot Novo vetor para o eio Novo índice (deve ser INTEIRO) 30

31