4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.

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1 4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em = Considere a função f : R R definida por f () = 2, para racional, e f () =0para irracional. Mostre que f é diferenciável em =0eencontref 0 (0). 4.4 Considere um número natural n edefina f : R R por f () = n, para 0, e f () =0para <0. Para que valores de n a função f 0 écontínuaem =0?Para que valores de n a função f 0 é diferenciável em =0? 4.5 Se uma função f : R R é diferenciável em c e f (c) =0, mostre que a função 7 f () é diferenciável em c se, e somente se, f 0 (c) = Determine onde cada uma das seguintes funções de R R é diferenciável e encontre a derivada. (a) f () = + + (b) g () = (c) h () = sen. 4.7 Mostrequeseumafunção par f : R R (f ser par significa que f () =f ( ), ) tem derivada em todo ponto, então a derivada f 0 éumafunção ímpar, isto é, f 0 ( ) = f 0 (). 4.8 Mostre que a função f : R R definida por f () = 2 sen / 2 para 6= 0e f (0) = 0 é diferenciável em todo ponto R equeaderivadaf 0 não é itada no intervalo compacto [, ]? 4.9 Admitindo que eista uma função L :(0, + ) R tal que L 0 () =/, > 0, calcule, onde eistir, a derivada de cada uma das funções f () =L (2 +3),g() = L 2 3 e h () =L (L ()). 4.0 Sejam f,g,h : X R tais que f () g () h (), X. Suponha que em um ponto a X X 0 se tenha f (a) =h (a) e f 0 (a) =h 0 (a). Mostrequeg é derivável em a e g 0 (a) =f 0 (a). 4. Seja f :[a, b] R uma função contínua e derivável em (a, b). Sek é um número real, mostre que eiste c em (a, b) tal que f 0 (c) =kf (c). (sug. aplique o Teorema de Rolle à função g () =f ()ep( k))

2 4.2 Se uma função f : R R étalquef ( + y) =f ()+f,, y, mostre que f é derivável se, e só se, o for em = Um número a éumaraiz dupla do polinômio p () quando p () =( a) 2 q (), paraalgum polinômio q (). Provequea é raiz dupla de p se, e somente se, p (a) =p 0 (a) = Seja f : R R derivável e suponha que f (0) = 0 e f 0 () f (), R. Mostrequef Seja f : R + R uma função derivável e suponha que f () = 0 e f 0 () =/, >0. Mostre que f (y) =f ()+f (y),, y R +. (sug. derive a função 7 f (y) ) 4.6 O que se pode afirmar sobre uma função f de classe C em (a, b) tal que f 0 () ésempreracional? 4.7 Seja f : R R diferenciável na origem tal que f (t) = t f (), t, R. Mostrequef Com respeito a uma função f : R R mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) eiste k R tal que f (t) =t k f (), para todo R e t>0; (b) eiste k R tal que kf () =f 0 (), R. 4.9 Seja r>0 um número racional e seja f : R R definida por f () = r sen (/) para 6= 0e f (0) = 0. Determine os valores de r para os quais f 0 (0) eiste Se f : R R é diferenciável em = c, mostrequef 0 (c) = n [f (c +/n) f (c)]. n 4.2 Dado que a função f () = , R, tem uma inversa f em R, encontre o valor de f 0 (y) nos pontos correspondentes a =0,, e Mostre que a função uniformemente contínua f () =, 0, é diferenciável em (0, ), mas a derivada não é itada Sejam a>b>0 e n um número natural. Mostre que a /n b n < (a b) /n (sugestão: mostre que a função f () = /n ( ) /n é decrescente em [, + ) ecalculef em =e = a/b) Use o TVM para provar que sen sen y y,, y R Usando o TVM e mais o fato que D (log ) =/, > 0, mostre que: < log <, para >. 2

3 4.26 Seja f :[a, b] R uma função contínua e suponha que f é derivável em (a, b). Se a f 0 () =A, mostre que f é derivável à direita em = a equef 0 + (a) =A. (use o TVM e a definição de derivada) 4.27 Mostre que a função f : R R definida por f () = sen (/), para 6= 0, e f (0) = 0 tem um valor mínimo em =0, mas sua derivada muda de sinal em qualquer vizinhança da origem Paraafunçãof : R R definida por f () = +2 2 sen (/), para 6= 0, e f (0) = 0 mostre que f 0 (0) =, mas sua derivada muda de sinal em qualquer vizinhança da origem. Conclua que f não é monotônica em vizinhança alguma da origem Seja I umintervalodaretarealesejaf : I R uma função diferenciável. (a) Se f 0 é positiva em I, mostrequef é estritamente crescente em I; (b) Se f 0 () 6= 0, I, mostre que f 0 não muda de sinal em I; (c) Se f 0 éitadaemi, mostrequef é lipschitziana em I Mostre que uma função real f : R R satisfazendo f () f (y) y 2,, y, é constante. 4.3 Seja f : I R duas vêzes diferenciável no ponto c interior ao intervalo I. Mostreque: f 0 (c) = h 0 f (c + h)+f (c h) 2h () f 00 f (c + h)+f (c h) 2f (c) (c) = h 0 h 2. (2) Dê eemplo para mostrar que o ite em () pode eistir, sem que a função tenha derivada no ponto c Considere as constantes reais C 0,C,C 2,,C n tais que: C 0 + C 2 + C C n n + =0. Mostre que a equação C 0 + C + C C n n =0possuiaomenosumaraizrealnointervalo[0, ] Considere uma função definida e derivável para >0 e suponha que f 0 () 0, quando +. Mostre que a função g () =f ( +) f (),>0, tem ite quando A Regra de l Hôpital. J. Bernoulli descobriu uma regra para o cálculo de ites de frações cujos numeradores e denominadores tendem para zero. A regra é conhecida atualmente como Regra de l Hôpital, em homenagem ao marqês de St. Mesme, Guillaume François Antoine de l Hôpital (66-704), 3

4 um nobre francês que escreveu o primeiro teto introdutório de cálculo diferencial, em que a regra foi impressa pela primeira vez. Forma Indeterminada 0/0 Se as funções contínuas f () e g () sãozeroem = a, então f () a g () não pode ser calculado com a substituição = a. A substituição gera a epressão 0/0, sem significado algum. Recorde-se dos argumentos que utilizamos em sala de aula para calcular 0 (sen ) /, emque a substituição =0produziu a forma indeterminada 0/0. Por outro lado, fomos bem sucedidos com o ite f () f (a) a a com o qual calculamos a derivada f 0 (a) e que sempre resulta na forma 0/0 com a substituição = a. A Regra de l Hôpital nos permite usar derivadas para calcular lites que, abordados de outra forma, conduzem a formas indeterminadas. Teorema (Regra de l Hôpital) Suponha que f (a) =g (a) =0,quef e g sejam deriváveis em um intervalo aberto contendo a equeg 0 () 6= 0nesse intervalo eceto, possivelmente, em = a. Então: desde que eista o ite do lado direito de (3). f () a g () = f 0 () a g 0 (), (3) Atenção Ao aplicar a Regra de l Hôpital não caia na armadilha de usar a derivada de f/g. O quociente a ser usado é f 0 /g 0 enão(f/g) 0. Eemplo Aplicando a Regra de l Hôpital Aepressão cos + 2 com =0produz a indeterminação 0/0 e aplicando a regra (5.3), encontramos: cos sen = 0 +2 = 0 =0 Formas indeterminadas /, 0, Uma versão da Regra de l Hôpital também se aplica a quocientes que produzem as formas indeterminadas /, 0,. Por eemplo, se f () e g () tendem ao infinito quando a, então a fórmula (3) continua válida, desde que o ite do lado direito eista. Aqui, como também na forma indeterminada 0/0, oponto a onde investigamos o ite pode ser finito ou ±. 4

5 Eemplo (a) π/2 Solução Calcule sec +tg ln (b) 2 (a) Note que o numerador e o denominador são descontínuos em = π/2, então investigaremos os ites laterais nesse ponto. Temos: (π/2) sec +tg = sec tg = (l Hôpital) = (π/2) sec 2 = sen =. (π/2) O ite lateral à direita também é, e a forma indeterminada nesse caso é. Logo, o ite é. (b) Eemplo Calcule µ (a) sen Solução ln 2 = = (l Hôpital) = / / = Trabalhando com as Formas Indeterminadas 0 e µ (b) 0 sen =0. (a) µ sen µ = 0 = (fazer t =/) = t 0 + t sen t =. (b) Se 0 +,entãosen 0 + e, portanto, sen. De maneira similar, se 0, então sen +. Nenhuma das duas formas revela o que acontece com o ite. A saída é combinarmos as frações: sen = sen sen e, então, aplicamos a Regra de l Hôpital ao resultado: µ 0 sen = 0 sen sen = 0 0 sen = 0 2cos sen = 0 2 =0. cos = (l Hôpital) = 0 sen + cos = 0 0 = (l Hôpital) = Formas Indeterminadas, 0 0 e 0 Os ites que produzem essas formas indeterminadas podem às vezes ser tratados utilizando-se logarítmos. De fato, da relação f () =ep[lnf ()] deduzimos que: h i ln [f ()] = L = ep [ln f ()] = ep ln f () = e L. (4) a a a 5

6 Em (4) o ponto a pode ser finito ou ±. Eemplo Calcule µ (a) + (b) 0 + Solução (c) / (a) Trata-se de uma indeterminação do tipo, a qual será convertida em 0/0 por aplicação do logarítimo. Considerando f () =(+/), temos: e, portanto: µ ln f () =ln + µ = ln + ln ( + /) ln ( + /) = = f () =ep / / f () = ep [ln f ()] = ep = ep = e = e. +/ ln ( + /) =ep( 0 / 0 )=(l Hôpital) = (b) Trata-se de uma indeterminação do tipo 0 0 e procederemos como no ítem (a). Temos: 0 = 0 0 = ep [ln + 0 ]=ep ln ln =ep =ep( / )= / = (l Hôpital) =ep 0 + / 2 =ep ( ) = e 0 =. 0 + (c) Temos agora uma indeterminação do tipo 0 e procederemos como no ítem (a). Temos: h / = 0 = ep ln /i =ep = (l Hôpital) =ep / =ep ln =ep( )= = e 0 =. Escrevendo para aprender Demonstrando a Regra de l Hôpital Vamos demonstrar a Regra de l Hôpital (3), no caso em que o ite é finito, isto é, quando a for um número real. A demonstração é na verdade uma aplicação do Teorema do Valor Médio de Cauchy, queé umaversãoumpouquinhomaisgeral doteoremado Valor Médio apresentado em sala de aula. Teorema do Valor Médio de Cauchy Suponha que as funções f e g sejam contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto (a, b) e suponha, ainda, que g 0 () 6= 0em qualquer do intervalo (a, b). Então eiste um número c em (a, b) tal que: f (b) f (a) g (b) g (a) = f 0 (c) g 0 (c). (5) 6

7 Prova do TVM de Cauchy Daremos o roteiro e deiaremos os detalhes da demonstração para você preencher. Não deie de fazê-lo. (i) Aplique o Teorema de Rolle à função g em [a, b] e deduza que g (b) 6= g (a);essa condição é necessária em (5). (ii) Aplique o Teorema de Rolle à função F () =f () f (a) f (b) f (a) [g () g (a)] g (b) g (a) para deduzir que eiste c em (a, b) tal que F 0 (c) =0e a partir dessa igualdade obtenha (5) Prova da Regra de l Hôpital Comece revendo as condições eigidas na regra. Suponha que esteja à direita de a e aplique o TVM de Cauchy ao intervalo [a, ]. Eiste c entre a e tal que: f 0 (c) g 0 (c) f () f (a) = g () g (a) = f () g () (lembre-se que f (a) =g (a) =0). Logo, f 0 (c) g 0 (c) = f () g (). Conforme tende para a,onúmeroc também se aproima de a,porqueestáentre e a. Conseqüentemente, tomando o ite na última igualdade, com a +, obtemos: f () a + g () = f 0 (c) a + g 0 (c) = f 0 () a + g 0 (), que estabelece a Regra de l Hôpital. O caso em que estáàesquerdadea o TVM de Cauchy é aplicado ao intervalo [, a] e o ite obtido é o ite lateral à esquerda Considere a função f : R R definida por: ep / f () = 2,se 6= 0 0, se =0. (a) Mostre por indução que f (n) (0) = 0, n =, 2, 3,...; (b) Qual a classe de diferenciabilidade de f? A função f é analítica em =0? (c) Determine o resto infinitesimal de Taylor para f Seja f uma função duas vêzes diferenciável em (0, + ) esejamm 0,M e M 2 os supremos de f (), f 0 () e f 00 (), respectivamente, em (0, + ). Usando a relação f 0 () = 2h {f ( +2h) f ()} hf 00 (ξ), 7

8 que é conseqüência da fórmula de Taylor, prove que f 0 hm 2 + M 0 /h e daí deduza que M 2 4M 0M Seja f uma função duas vêzes diferenciável em (0, + ) e suponha que f 00 seja aí itada e que f () 0, quando +. Usando o eercício precedente em (a, + ), proveque + f 0 () =0. Dê um eemplo para mostrar que a hipótese de ser f 00 itada não pode ser omitida Seja f uma função derivável em [a, b] tal que f (a) =0e suponha que eista um número positivo M tal que f 0 () M f () em [a, b]. Mostre que f 0 em [a, b]. (sugestão: fie c em [a, b] everifique que f () M (c a) M (c a) M 0, onde M 0 e M são, respectivamente, o supremo de f () e f 0 () em [a, c] e daí deduza que M 0 =0, se M (c a) <.) 4.39 Seja 0 <a< e considere a função f : R R definida por a + f () = 2 sen (/), se 6= 0 0, se =0. Mostre que f é derivável em R, masf 0 não é contínua em =0. Mostre que f não é invertível em vizinhança alguma da origem, embora f 0 (0) 6= 0. Por que isto não contradiz o Teorema da Função Inversa? 4.40 Se f : R R é uma função de classe C, mostre que o conjunto dos pontos críticos de f éum conjunto fechado. Dê eemplo de uma função derivável f : R R e de uma seqüência { n } de pontos críticos de f tais que: n 0 e f 0 (0) > Função Convea. Uma função duas vêzes derivável é dita convea quando f 00 () 0,. Mostre que uma função f : R R é convea se, e somente se, dados, y R e r, s [0, ], comr + s = tem-se f (r + sy) rf ()+sf (y) Seja f :[a, b] [a, b] uma função contínua e convea tal que f (a) 6= a e f (b) 6= b Mostre que f tem um único ponto fio em [a, b] Seja f :[a, b] R contínua e convea tal que f (a) < 0 <f(b). Prove que eiste um único c em (a, b) tal que f (c) = Seja X R um subconjunto conveo. Mostre que f : X R é convea se, e somente se, o conjunto A (f) ={(, y) X R; y f ()} é conveo Mostre que o conjunto X = {(, y) R + R; ln + y 0} é conveo. 8