PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/

2 SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO..... RESPOSTAS.... APLICAÇÕES DE FUNÇÕES.... DERIVADAS PROBLEMA DA RETA TANGENTE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA REGRAS DE DERIVAÇÃO APLICAÇÕES DE DERIVADAS RESPOSTAS.... ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO..... PONTO CRÍTICO..... FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE..... DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO..... DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO..... RESPOSTAS INTEGRAL INDEFINIDA PRIMITIVA REGRAS DE INTEGRAÇÃO RESPOSTAS INTEGRAL DEFINIDA PROPRIEDADES BÁSICAS INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS RESPOSTAS BIBLIOGRAFIA... 6

3 .. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE E) Considere a função f() = +. a) Qual é o domínio de f? b) Represente o gráfico de f. c) Observe o gráfico de f e responda: y. LIMITES E CONTINUIDADE 0 O que você pode dizer sobre o valor de f(), quando está próimo de? E) Substitua a função do eemplo anterior por f() = y. 0 E)Considere agora a seguinte função f() = y, se, se = 0

4 E) Repita para a função f() = y,, se se < 0 lim f () = L se e somente se lim f () a + a = lim f () = L. a Se lim f () a + lim f (), então lim f () a a não eiste... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO Uma função f é contínua no ponto a se forem satisfeitas as seguintes condições: a)f(a) eiste b) lim f () eiste c) lim f () a a = f(a) Observações: a) Se uma ou mais destas três condições não for satisfeita, dizemos que a função f é descontínua em a, ou que a é uma descontinuidade de f. b) As funções polinomial f() = a 0 n + a n- +a n a n e racional f() = cada ponto de seus domínios. p() q() são continuas em f () lim a = f(a) E) Calcule os limites abaio, se eistirem: ) lim ( + ) ) lim + ) lim + ) lim, se < E6) Se f() = +, se > encontre lim f (). A função f é continua em -? Justifique., se = -

5 E7) Seja f a função cujo gráfico aparece abaio. y -0-0 Determine: ) Dom f ) Im f ) lim lim f() ) 0 f() ) lim f() 6) lim f() 7) lim f() 8) 0 + lim f() E8) Seja f a função cujo gráfico aparece abaio. y Determine: ) Dom f ) Im f ) lim f() ) lim f() 0 8 ) lim f() 6) lim f() 7) + lim f() 8) lim f() E9) Use limites laterais para verificar se eiste +, ) f() =, se se < lim f() para as funções:, se ) f() = +, se <.. RESPOSTAS E) ) ) - ) ) E6) NÃO, lim f (). = - e f(-) = E7) ) R { } ) R ) ) + ) NE 6) 7) 8) E8) ) R {,} ) (-, + ) ) 6 ) ) NE 6) 6 7) + 8) 6 E9) ) NE )

6 . APLICAÇÕES DE FUNÇÕES.. FUNÇÃO OFERTA : q = f(p) Epressa a relação entre o preço e a quantidade oferecida de uma mercadoria, descrevendo desta forma o comportamento do produtor... FUNÇÃO DEMANDA : q = f(p) Epressa a relação entre o preço e a quantidade demandada de uma mercadoria, descrevendo desta forma o comportamento do consumidor. Observação: Seja P 0 (p 0,q 0 ) o ponto de intersecção dos gráficos das funções oferta e demanda, observe que, neste ponto, a oferta é igual a demanda. Então: a) P 0 é denominado ponto de equilíbrio de mercado ; b) p 0 é denominado preço de equilíbrio de mercado; c) q 0 é denominado quantidade de equilíbrio de mercado. E) Dadas as funções q = p - e q = -p +, respectivamente oferta e demanda para um certo produto, determine: ) o ponto de equilíbrio de mercado; ) os seus gráficos no mesmo sistema de eios... FUNÇÃO CUSTO TOTAL: C(q) = C v (q) + C f C v : Custo Variável C f : Custo Fio q : quantidade produzida E) Se a função Custo Total para produzir unidades de um certo produto é dado pela função C() = , determine: ) o custo fio; ) custo variável; )o custo de fabricação de 0 unidades; ) o custo de fabricação de unidades. )o custo de fabricação da a unidade. C(q).. FUNÇÃO CUSTO MÉDIO: C me (q) = q E) Se a função Custo Total é dada por C() = , determine a função custo médio.

7 .. FUNÇÃO RECEITA TOTAL: R(q) = p.q p : preço unitário de venda q : quantidade vendida(quantidade demandada) E) Se a demanda de um certo produto é dada pela função p = , determine: ) a função Receita; ) a receita decorrente da venda de unidades; ) a receita decorrente da venda de 6 unidades; ) a receita decorrente da venda da 6 a unidade; Observação: Os pontos de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo são denominados pontos de nivelamento. R(q).6. FUNÇÃO RECEITA MÉDIA: R me (q) = q E) Se a função Receita Total é dada por R() = + 00, determine a função Receita Média..7. FUNÇÃO LUCRO TOTAL: L(q) = R(q) C(q) E6) Dadas as funções C = q + q + e R = 8q, respectivamente Custo e Receita para um certo produto, determine: ) os pontos de nivelamento; ) os seus gráficos no mesmo sistema de eios; ) o intervalo onde não ocorre prejuízo. E7) Dadas as funções Receita e Custo R() = - + e C() = ( ) +. determine: ) Determine a função Lucro Total )Faça os gráficos das funções Custo Total, Custo Fio e Custo Variável sobrepostos E8) Um empresário produz e vende um certo produto, cujo custo médio de fabricação é dado por C me (q) = q + +. Sabendo que o produto acabado é vendido por 8 u.m. e que q representa a q quantidade produzida e vendida, determine as funções Custo, Receita e Lucro.

8 .8. RESPOSTAS E) ) (,8) E) ) 00 ) C V = ) 00 ) 60 ) 0 E) C me = E) R = E) R me = E6) ) (,8) e (,0) ) (,) E7) ) L = E8) C = q + q +, R = 8q, L = -q + 6q 6

9 . DERIVADAS.. PROBLEMA DA RETA TANGENTE No gráfico da função f abaio, como se pode definir a reta tangente no ponto P(, f( ))? y f s Atribuindo-se um acréscimo para, obtém-se a abscissa + de f( + ) Q um novo ponto Q da curva, cujas coordenadas são ( +, f( + )). y y t A reta secante s que passa pelos pontos P e Q, tem declividade a s =. f( ) P Considerando-se o acréscimo cada vez menor ( tendendo a zero ), o 0 + ponto Q se desloca sobre a curva aproimando-se de P, e a reta secante s gira sobre o ponto fio P, tendendo a posição limite da reta t. Esta reta t é a tangente ao gráfico no ponto P. Portanto, podemos definir a reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto P(, f( )) como sendo a reta, se eistir, que passa por P e cuja declividade é a t = y lim ou lim 0 0 f ( + ) f (). Da Geometria Analítica, a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto P(,y ) e tem declividade a é y y = a( ) E) Seja a função definida por f() =. )Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto =. )Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto =. )Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eios... DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO f ( ) = y lim ou lim 0 0 f ( + ) f ( ) 7

10 .. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA f () = y f ( + ) f () lim ou lim 0 0 d Notações: f (), D f(), f () d dy ou y, D y,,se y = f(). d E) Seja a função definida por f() = no ponto P(, ). )Encontre a derivada da função f. )Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto P. )Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eios. E) Determine as derivadas das funções abaio, usando a definição: ) f() = )f()= - ) f()= ) f()= REGRAS DE DERIVAÇÃO. DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE D c = 0. DERIVADA DA FUNÇÃO IDENTIDADE D =. DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL (e ) = e Observação: O número e =,788 é um irracional denominado número de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler.. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL (ln ) =. DERIVADA DA SOMA DE DUAS FUNÇÕES (f()+ g()) = f ()+ g () 8

11 6. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO (c.f()) = c.f () E) Encontre y, sabendo que: ) y = ) y = e + ) y = ln ) y = + e ) y = 7 6 6) y = e + 8ln 7) y = ln 9) y = + + 0) y = ln e + π - 9 8) y = 9 7. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA ( p ) = p p- E) Encontre y, sabendo que: ) y = + ) y = e + ) y = e π + e ) y = ) y = 6) y = 7) y = + 8) y = + 9) y = 0) y = ( ln -)(+) ) y = + + ) y = ln e + π - 8. DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES (f().g()) = f().g () + g().f () 9. DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES f () g() ' g().f '() f ().g' () = [g()] E6) Encontre y, sabendo que: ) y =.ln ) y = e ) y = + ) y = + ) y = e ln 6) y = e 7) y = ( ) ln 8) y = 9

12 9) y = 0) y = + E7) Encontre a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por y = +.ln no ponto =. E8) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por f()= no ponto = DERIVADA DA COMPOSTA DA POTÊNCIA COM UMA FUNÇÃO f ([f()] p ) =p.[f()] p-.f (). DERIVADA DA COMPOSTA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL COM UMA FUNÇÃO f (ln f() ) = f ' () f (). DERIVADA DA COMPOSTA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL COM UMA FUNÇÃO f (e f() ) = e f().f () E9) Encontre y, sabendo que: ) y = (-) 6 ) y = ) y = ( ) 6) y = ( + ) ) y = ) y = + 7) y = e 8) y = e 9) y = ln 0) y = ln (+) ) y = ( +-) ) y = e + ) f() = e ) f() = ln(-) ) f() = e e.ln 6) f() = 7) f() =.ln 8) f() = e ln 9) f() = e 0) f() = ln e Observação: e ln u = u e ln e u = u E0) Determine a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por f() =.e - no ponto = - E) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por y = no ponto =... APLICAÇÕES DE DERIVADAS. CUSTO MARGINAL : C mg () = C () Sendo C a função Custo Total para produzir unidades de um certo produto, chama-se Custo Marginal a derivada da função Custo Total em relação a. 0

13 E) Se a função Custo Total é dada por C() = , determine a função custo marginal. Observação: Da definição de derivada: C () = C( + ) C() lim 0 Para C( + ) C() C( + ) C() muito pequeno C (), fazendo =, tem-se: C mg = No eemplo acima: C mg (0) = 00 C() C(0) = 0. Então, o custo marginal é aproimadamente a variação do custo decorrente da produção de uma unidade adicional. No eemplo, C mg (0) é aproimadamente o custo da décima primeira unidade.. RECEITA MARGINAL : R mg () = R () Sendo R a função Receita Total decorrente da venda de unidades de um certo produto, chama-se Receita Marginal a derivada da função Receita Total em relação a. E) Se a função Receita Total é dada por R() = + 00, determine a função receita marginal. Observação: Do mesmo modo que a custo marginal, a receita marginal representa, aproimadamente, a variação da receita total devido a venda de uma unidade a mais, a partir de unidades. No eemplo anterior: R mg () = 80 R(6) R() = 78. Então, a receita marginal calculada no ponto é a variação aproimada da receita decorrente da venda da 6 a unidade.. LUCRO MARGINAL : L mg () = L () Sendo L a função Lucro Total decorrente da produção e venda de unidades de um certo produto, chama-se Lucro Marginal a derivada da função Lucro Total em relação a. E) Se a função Receita é dada por R() = e a função Custo Total dada por C() = , onde representa a quantidade produzida e vendida, determine: ) a função Lucro Total; ) a função Lucro Marginal; ) o lucro marginal ao nível de 0 unidades; ) a interpretação do resultado.

14 E) Se a função Receita é dada por R() = 00 e a função Custo Total C() = , onde representa a quantidade produzida e vendida, determine: ) a função Custo Marginal; ) a função Custo Médio; ) a função Receita Marginal; ) a função Receita Média; ) a função Lucro Total; 6) a função Lucro Marginal; 7) o custo de produção de unidades; 8) o custo de produção da a unidade; 9) use a função Custo Marginal para estimar o custo de produção da a unidade; 0) a receita decorrente da venda de unidades; ) a receita decorrente da venda da a unidade; ) use a função Receita Marginal para estimar a receita decorrente da venda da a unidade; ) o lucro decorrente da produção e venda de unidades; ) o lucro decorrente da produção e venda da a unidade; ) use a função Lucro Marginal para estimar o lucro decorrente da produção e venda da a unidade; q E6) Se a função Custo Total associada à produção de um bem é dada por C(q) = q +, onde q 0 representa a quantidade produzida, determine: )o custo de produção da a unidade; )a função custo marginal; )o custo marginal ao nível de 0 unidades e interprete o resultado obtido. E7) Dadas as funções Receita e Custo R() = e C() = + 6, determine o Lucro Marginal no = e interprete o resultado obtido..6. RESPOSTAS E) ) ) y = E) ) - ) E) ) f () = 0 ) f () = ) f () = ) f () = - +

15 E) ) y = ) y = e ) y = ) y = ) y = -6 6) y = e + 8 7) y = 8) y = 9) y = + 0) y = 0 E) ) y = 6 + ) y = - ) y = e -π ) y = ) y = 6) y =- + 7) y = + 8) y = 9) 0) y = + ) y = + ) y = 0 E6) ) y = + ln ) y e (+) ) y ( ) + ) y = ( + ) ) y =e ( + ln ) e ( ) 6) y = E7) E8) y = E9) ) y = -6(-) 0 ) y = ( + ) 6 + ) y = ( ) 0) y = + ) y = 7) y = + (+ln ) 8) y = 6) y = 6 ( ) ) y = 7) y = e 9) y = ) y = ( ) + 8) y =-e - 9) y = 6 ) y =(+6)( +-) ) y =e + ) y = e ) y = e ( ln ) + 6) y = e ( ) ( ) 8) y = e 9) y = 0) y = 7) y = ln + E0) e E) y = E) C mg = E) R mg = E) ) L = ) L mg = ) 0 0) y = 700 E) ) C mg = + 0 C me = ) R mg = 00 ) R me = 00 ) L = ) L mg = ) 0 8) 9) 0 0) 00 ) 00 ) 00 ) 9 ) 9 ) 60 E6) ),0 ) C mg = + 0 q ) E7)

16 . ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO.. PONTO CRÍTICO Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto crítico de f se f (c) = 0 ou f (c) não eiste. E) Encontre os pontos críticos de f, sendo: )f()= + ) f()= - + ) f()= + ) f()=.. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Uma função f é dita crescente num intervalo I, se a medida que cresce, o valor de f() também cresce. Uma função f é dita decrescente num intervalo I, se a medida que cresce, o valor de f() decresce. E) Observe o gráfico abaio e determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f. y f é crescente em... f é decrescente em... 0 E) Represente algumas retas tangentes ao gráfico de f, visando relacionar as inclinações das retas com os intervalos de crescimento e decrescimento de f... DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Seja f uma função continua em [a,b] e derivável em (a,b). a) Se f ()>0 para todo (a,b) então f é crescente em [a,b] b) Se f ()< 0 para todo (a,b) então f é decrescente em [a,b] E)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por: ) f()= ) f()= ) f()= ) f()= - ) f()= (-)

17 E) Observe o gráfico da função representada abaio e localize os pontos no eio que você caracteriza como pontos de máimo ou pontos de mínimo relativos(locais) da função e os correspondentes máimos e mínimo relativos da função. y Pontos de máimo relativos:... Pontos de mínimo relativos:... 0 Máimos relativos da função:... Mínimos relativos da função:..... DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO.TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) Seja f uma função continua e derivável em (a,b), eceto possivelmente em c (a,b) a) Se f passa de positiva para negativa em c então f(c) ó máimo relativo de f b) Se f passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f c) Se f não muda de sinal em c então f(c) não é etremo relativo de f E6) Encontre os máimos e mínimos relativos das funções dadas por: ) f()= 8 + ) f()= + - ) f() = ) f() =. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) Seja f uma função derivável em (a,b) e c (a,b), tal que f (c)= 0 a) Se f (c) > 0, (a, b) então f(c) é mínimo relativo de f. b) Se f (c) < 0, (a, b) então f(c) é máimo relativo de f. c) Se f (c) = 0, nada podemos concluir. E7) Encontre os máimos e mínimos relativos das funções dadas por: ) f()= -+ ) f()= - + ) f()= ) f()= -

18 E8) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaio. )f()= ) f()= ) f() = ) f() = + 6 ) f() = + + 6) f() = E9) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m, de modo que o custo para cercar as laterais seja R$ 00,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 00,00 por metro linear. Determine as dimensões do terreno de modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Determine também o custo mínimo. E0) Por várias semanas, o serviço de transito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. Verificou-se que, num dia normal de semana, à tarde, entre e 6 horas a velocidade do tráfego é de, aproimadamente v(t) =t -t +60t+0 km/h, onde t é o número de horas transcorridas após o meio- dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se mova mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente? E) De uma folha laminada quadrada de dm de lado, foram cortados quadrados iguais nos quatro cantos e com o restante da folha foi construída uma caia sem tampa. Determine as dimensões do quadrado retirado para que o volume da caia seja máimo. E) Seja R(q) = - q + q, a função Receita. ) Para que valores de q a função Receita tem sentido? ) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função Receita. ) Qual é a receita máima e a receita mínima? )Faça o gráfico da função, assinalando os resultados obtidos no itens anteriores. E) Se L()=- +6- é a função lucro na venda de unidades de um certo produto, determine o lucro máimo. E) Seja C() = a função custo total para produzir unidades de um certo produto. Determine: ) o Custo Marginal ) o Custo Médio ) o Custo Médio Marginal ) o Custo Médio Mínimo E) Seja R() = a função receita total na venda de unidades de um certo produto. Determine a receita marginal, a receita média e a receita máima. 6

19 .. RESPOSTAS E) ) ; ) ; 0 ; ) ) - ; 0 ; E) ) C ) C:[-,0] [, + ), D: (, ] [0,] ) C ) C: [, + ), D: (,] ) C: (,] [, + ) E6) ) Má. Relativo: f(0) = Mín. relativo : f(-) = f() = - ) Má. Relativo: f(-) = - Mín. relativo : f(0) = - ) Má. Relativo: f(0) = 6 Mín. relativo : f(-) = -6 e f() = ) Má. Relativo: f(-) = 6 Mín. relativo : f() = -6 E7) ) Má. Relativo: f(-) = 0 Mín. relativo : f() = - ) Má. Relativo: f(0) = Mín. relativo : f() = ) Má. Relativo: f(0) = 6 Mín. relativo : f(-) = f() = -0 ) Má. Relativo: f(-) = Mín. relativo : f() = - E8) ) C: [ 0, + ), D: (,0], Má. Relativo: NE, Mín. relativo : f(0) = 0, D:[,] ) C: (, ] [, + ), D:[-,], Má. Relativo: f(-) = 7, Mín. relativo : f() = -0 ) C: (,] [, + ), D:[-,], Má. Relativo: f() =, Mín. relativo : f() = 0 ) C: [, + ), D: (,], Má. Relativo:NE, Mín. relativo : f() = ) C: (,] [, + ), D:[,], Má. Relativo: f() =, Mín. relativo : f() = 6 6) C: (, + ), Má. Relativo: NE, Mín. relativo : NE E9) 0 m, 6 m e R$ 000,00 E0). horas e horas E) dm E) ) [0,] ) C: [0,0], D: [0,] ) R má = 00, R mín = 0 E) ) L má = E) ) C mg = + 00 ) C me = ) Ç ' me = 6 ) 9 E) ) R mg = ) R me = )R má = 000 7

20 . INTEGRAL INDEFINIDA DERIVAÇÃO F F.. PRIMITIVA PRIMITIVAÇÃO Uma função F é chamada de primitiva ou antiderivada de uma função f em um intervalo I se F () = f(), I E) Encontre uma primitiva da função dada por f() =. Se F é uma primitiva de f então G = F + k, sendo k uma constante qualquer, é também uma primitiva de f. Representaremos G() por f()d. E) Determine: f()d = F() + k (primitiva geral de f ou integral indefinida de f) ) d ) d ) d ) ( + )d.. REGRAS DE INTEGRAÇÃO. d = + k. e d = e + k d. = ln + k. cf()d c = f()d, sendo c uma constante. [f() g()]d = f()d ± ± g()d 8

21 E) Encontre: ) d ) ( e ) + d ) ( ) d ) e d ) (ln e ) d 6) ( ) d 7) (π e + ln 6) d 8) (e + e ) d 9) ( ) d p+ p 6. d = + k, sendo p - p + E) Encontre: ) ( ) d + )d ) ( )d d ) d ) d 6) 7) d 8) d 0) ( )d + ) d 9) ( + )d ) ( ) d p+ p [f ()] 7. [f ()] f ' ()d = + k, se p p + f () f () 8. e f '()d = e + k f '()d 9. = ln f() + k f () E) Encontre: ) ( ) d ). d ) ( + ) d d ) d ) ( ) d 6) ( + ) 9

22 d 7) d 8) d 9) ( + ) 0) e + d ) e d d ) + d ) e d ) ) e + d 0d 6) +0 8) 7) e d d e 9) (e + ) e d E6) Determine a equação da curva y = f() que passa pelo ponto P, sabendo que: ) P(,) e f ()= ) P(,) e f ()= ) P(-,-) e f () = + ) P(0,-) e f () = e ) P(,) e f () = E7) Determine a equação da curva y = f() que passa pelos pontos (0,) e (-,8), sabendo que y" =. E8) Dadas as funções C mg = q e R mg = q + 6q +, respectivamente Custo Marginal e Receita Marginal para um determinado produto, determine as funções Custo, Receita e Lucro, sabendo que o custo de duas unidades é 8. E9) Dadas as funções R mg = -q + 6q, C mg = 0 e C f = 00, respectivamente Receita Marginal, Custo Marginal e Custo Fio para um mesmo produto, determine a função Lucro. E0) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taa de -0 mil cruzeiros ao ano. Se a máquina durou quatro anos e seu valor residual foi R$ 0.000,00, qual foi seu preço inicial? E) O preço de uma mercadoria, que atualmente custa R$.000, varia, com a inflação, a uma taa de 0 reais ao mês. Quantos custará daqui a cinco meses? E) Uma indústria que tem operários produz 70 unidades de certo produto. A taa de variação da produção em relação ao número de operários é dada por. Qual será a produção da fábrica, se forem admitidos mais funcionários? 0

23 E) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal em função do tempo (em meses) será à taa de (t + ) -/, a partir de hoje. Sabendo que a renda atual da empresa é de milhões, calcule a renda daqui a um ano. E) Daqui a anos, a população de certo país variará a uma taa estimada de e 0, milhões de habitantes por ano. Se a população atual é de 0 milhões de habitantes, qual a função P = f() que dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 0 anos? E) Sabendo que o custo marginal é dado por C mg () = 0 e o custo de produção de duas unidades é u.m., determine o custo fio. E6) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 0,00 a unidade. O fabricante estima que se unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será C mg =. Ache a função Lucro desse produto, sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ E7)Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 0,00 a unidade. O fabricante estima que se unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será C mg = 0. Ache o lucro obtido pela produção e venda de 0 unidades desse produto, sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ E8) Um certo bem desvaloriza-se a uma taa de 0 reais ao ano. Se o bem durou três anos e seu valor residual foi R$ 0,00 ; qual foi seu preço inicial? E9) Um fabricante produz e vende uma quantidade q de certa mercadoria. As funções Custo Marginal e Receita Marginal são respectivamente C mg =q + 0 e R mg =-q+0. Sabendo que o custo de produção de dez unidades é R$ 800,00, determine: ) a função Custo Total; ) a função Custo Médio; ) a função Receita Total; ) a função Demanda; ) a função Lucro Total; 6) o lucro decorrente da venda de unidades; 7) o lucro decorrente da venda da a unidade; 8) a função Lucro Marginal; 9) o Lucro Marginal no ponto e interprete o resultado obtido.

24 .. RESPOSTAS E) + k, para um k qualquer real E)) + k ) + k ) + k ) + + k E) ) + k ) + e + k ) ln + k ) e + k ) ln - e + k 6) ln + k 7) (π - e + ln 6) + k 8)e + e + k 9) ln + k E) ) + k ) k ) + + k ) + k 6 ) + k 6) + k 7) + k 8) + k 9) ln + k 0) k + + ) + ln + + k ) + k 6 6 ( ) ( ) ( + ) E) ) + k ) + k ) + k 6 ) k ( ) + ( ) 6) + k 7) + k ( + ) 9) k 8( + ) + 0) e e ln + k ) + k e + ) + k ) ln + k ) + k e 6 7)0 e + k 8) k e + 9) (e + ) + k + ) - k 8) + k ) ln + + k 6)0ln( +0) + k E6) ) y = ) y = + ) y = + ) e ) ln + E7) + E8) C = q + 0 ; R = q + q + q ; L = q 8q + q 0 + E9) L = q + q 0q 00 E0) V = E) R$.00,00 E) P(6) = 800 E) R() = milhões E) Aproimadamente 8,8 milhões de habitantes E) E6) L = 0 E7) 0 E8) 0 E9) ) C = q q + 00 ) C me = q q ) R = -q + 0q ) p = -q + 0 )L = -q + 0q 00 6) 0 7) 0 8) L mg = -q + 0 9) 0

25 6. INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real representado por b f()d e calculado por F(b) - F(a). a b f()d = b [F()] a = F(b) - F(a) a E) Calcule: ) d ) ( ) d PROPRIEDADES BÁSICAS a) a a f()d = 0 b) b a f()d = - a f()d b c) b a c.f()d = c. b f()d, sendo c uma constante a b d) ± g()]d a [f() = b a f()d ± b a g()d e) b a f()d = c a f()d + b c f()d, com a < c < b f) b a f()d 0, se f() 0, [a,b] E)Calcule: 0 0 ) ( + )d ) ( + )d ) ( + u + u ) du 9 ) t dt ) ( -)d 6) t 0 t + dt t 7) ( - ) d 8) 6) ( - d 9) 8( + ) d 0 0) 6u + 0 du ) ( + ) d ) (u + u) u + u + du 0

26 ) 0 d - - ) d 6.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função continua em [a,b] com f() 0, [a,b]. Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eio das abscissas de a até b. y f f(+ ) f() A A A A A 0 a + b A é a área da região hachurada, A é o acréscimo que sofre a área A quando recebe um acréscimo. A A ( A + A ) (A + A + A ) f(). A f( + ). f() f( + ) lim 0 f() lim 0 A lim f( + ) f() lim 0 0 A f( ) lim 0 A = f() A = f() Então A é uma primitiva de f(), logo A = F() + k. Para = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F() - F(a) Para calcular a área de a até b basta tomar = b. Para = b, A = F(b) - F(a) = b f()d a Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número b f()d representa a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eio O e pelas retas verticais = a e = b. a y f R 0 a b A R = b f()d a

27 6.. ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a,b], com f() g(), gráficos de f, g, =a e =b então A R = b [f() - g()]d y a [a,b]. Se R é a região limitada pelos f R g 0 a b E)Calcule a área da região limitada por: ) y=- + e y=0 ) y=, y=0, =- e = ) y=, y=0, =- e = ) y= e y= ) y= +, y= -, =- e = 6) y=, y=- + e y=0 7) y= e y= 8) y= e y= 6.. RESPOSTAS E) a) 9 b) 9 E) ) 0 0) ) ) ) ) 6) ln 7) 8) 9) 7 7. ) ) ) ) 6 E) ) ) 9 ) ) ) 9 6) 7) 8)

28 7. BIBLIOGRAFIA DOWLING, Edward T. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo : McGraw-Hill, 98. Goldstein, Larry J., Lay,David C.,Schneider,David I. Matemática aplicada:economia, administração e Contabilidade. Porto Alegre : Bookman.000. LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. Tradução por Carvalho Patarra. Universidade de São Paulo : Harbra, 98. Cyro de MORETTIN, Pedro A., BUSSAB, Wilton O., HAZZAN, Samuel. Cálculo: funções de uma variável. São Paulo : Atual, 987. VERAS, Lilia Ladeira. Matemática aplicada à economia..ed. São Paulo : Atlas, 99. WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração..ed. São Paulo : Harper Row do Brasil, 986. * Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira 6