Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados"

Transcrição

1 Capítulo 5 Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados 5. Motivação Na Seção.., estudamos o problema da caia, onde queríamos montar uma caia recortando retângulos nos quatro cantos de uma lâmina de plástico e dobrando para cima as bordas obtidas. O problema era determinar o tamanho do corte a ser feito nos cantos da folha de plástico, a fim de obter a caia de volume máimo. O volume da caia é uma função do tamanho do corte, que representamos por, e é dado por V = ( ), onde. O problema da caia é um eemplo típico de problemas de determinação de máimos e mínimos de funções definidas em intervalos fechados. Para estudar e resolver problemas desse tipo precisamos de algumas definições e do estabelecimento de critérios que permitam determinar facilmente estes pontos. 5. Máimos e mínimos absolutos Definição Seja f uma função definida no intervalo fechado [a, b]. Um ponto c pertencente ao intervalo [a, b] é chamado ponto de máimo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de máimo se f() f(c) para todo em [a, b]. O valor f(c) é chamado de valor máimo absoluto de f neste intervalo ou, simplesmente, valor máimo de f. Um ponto d de [a, b] é chamado ponto de mínimo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de mínimo de f se f(d) f() para todo em [a, b]. O valor f(d) é chamado valor mínimo absoluto de f neste intervalo ou, simplesmente, valor mínimo de f. Assim, se f(c) é o máimo e f(d) é o mínimo de f em [a, b], teremos f(d) f() f(c), para todo em [a, b]. Os valores máimo e mínimo de f são chamados valores etremos de f. valor maimo valor minimo O teorema abaio garante que toda função contínua em um intervalo fechado tem sempre um máimo e um mínimo absolutos. Teorema dos valores etremos Seja f uma funcão contínua definida em um intervalo fechado [a, b]. Então eistem números c e d no intervalo [a, b], tais que, f(c) é o valor máimo e f(d) é o valor mínimo de f em [a, b]. A demonstração deste teorema poderá ser encontrada no apêndice deste volume. Os eemplos abaio mostram que se f não é contínua ou se o intervalo não é fechado, f pode não atingir valores máimo e mínimo.

2 96 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados Eemplo Seja f() = definida no intervalo [, ), isto é, seu domínio é um intervalo semi-aberto à direita. Observando o gráfico de f vemos, claramente, que esta função atinge o mínimo em =, porém não atinge um valor máimo. O candidato a ponto de máimo seria =, porém este ponto não pertente ao domínio de f. Como f é crecente neste intervalo, qualquer que seja o valor de f( ) com <, eistirá sempre um, tal que < < e f( ) < f( ) Eemplo A função f definida no intervalo [, ] por f() = { = não é contínua no ponto =. Seu limite lateral à esquerda lim = e seu limite lateral à direita lim = +. Portanto, esta função não atinge valor máimo nem mínimo em [, ]. + y Eercício Esboce o gráfico de uma função definida em [, ] que seja descontínua e tenha um máimo e um mínimo absolutos. 5.. Máimos e mínimos locais Vimos que o teorema dos valores etremos garante a eistência de máimos e mínimos de uma função contínua em um intervalo fechado [a, b]. A questão natural que se coloca agora é saber onde, eatamente, se localizam estes máimos e mínimos? Antes de tentar responder a esta pergunta, vamos eaminar alguns eemplos. Eemplo Considere a função f() =, que é contínua e crescente no intervalo [, ]. Neste intervalo, o valor mínimo desta função é e o valor máimo é. Estes valores ocorrem nos pontos = e =, respectivamente, que são os etremos do intervalo considerado. Eemplo Considere a função f() = no intervalo [, ]. Esta função é contínua neste intervalo e, portanto, o teorema dos valores etremos garante a eistência de um máimo e de um mínimo globais. Neste caso, o máimo global da função f() = é zero e ocorre em =. O valor mínimo é e ocorre em = e =. Eemplo 5 Vamos eaminar agora a função f() = + definida em [, 5]. Veja o seu gráfico traçado a seguir, à esquerda. Os valores máimos e mínimos desta função ocorrem em 5 e, respectivamente, que são os etremos do intervalo. No entanto, eiste um ponto no interior deste intervalo, onde a função atinge um máimo para valores de, por eemplo, entre e. Da mesma forma, eiste um ponto onde f atinge um mínimo se considerarmos valores de entre, por eemplo e. O gráfico seguinte, à direita, da mesma função traçado no intervalo [,.5], ilustra esta afirmação.

3 W.Bianchini, A.R.Santos Estes pontos são ditos máimos e mínimos locais, ou, genericamente, etremos locais de f e são caracterizados na definição a seguir. Definição Dizemos que um ponto c é um ponto de máimo local ou relativo de f se f() f(c) para todo suficientemente próimo de c. Mais precisamente, se esta desigualdade for verdadeira para todo que esteja no domínio de f, em algum intervalo aberto contendo c. Analogamente, dizemos que d é um ponto de mínimo local ou relativo de f se f(d) f(), para todo suficientemente próimo de d. A questão que se coloca agora é descobrir algum critério que nos permita identificar com precisão os etremos relativos de uma função. A reta tangente nos dá uma pista para localizá-los. Observe o diagrama abaio e conclua o que é possível afirmar a respeito destes pontos. À primeira vista, parece ser possível afirmar que, nestes pontos, a reta tangente é horizontal e, portanto, a derivada da função é zero. No entanto, os eemplos a seguir mostram que etremos relativos podem ocorrer em pontos onde a função sequer é derivável e que eistem pontos, onde a derivada é zero, que não são nem máimo e nem mínimo locais. Eemplo 6 Eamine a função f() = definida em [, ] O ponto = é um ponto de máimo relativo desta função (na realidade este ponto é um máimo global para esta função no intervalo considerado) e f não é derivável neste ponto. Eemplo 7 Em =, a reta tangente ao gráfico da função f() = é horizontal e, portanto, a derivada desta função é zero neste ponto (prove analiticamente este fato!). No entanto, o ponto = não é nem ponto de máimo e nem ponto de mínimo local para esta função. O teorema a seguir esclarece estes fatos.

4 98 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados Teorema: Caracterização dos máimos e mínimos locais Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, b) e derivável em um ponto c de (a, b). Se f (c) então f(c) não é máimo nem mínimo local de f. Demonstração: Se f (c), então f (c) > ou f (c) <. Vamos supor, primeiro, que f (c) >. Então, para suficientemente próimo de c, temos f() f(c) >. c Logo, se < c, tem-se c <, o que implica f() < f(c). Agora, se > c, tem-se c >, o que implica f() > f(c). Assim, c não é etremo relativo de f. Supondo, agora, f (c) <, tem-se ( f) (c) >. Logo, pelo caso anterior, c não é etremo relativo de ( f) e assim, obviamente, c não é ponto de máimo nem mínimo relativo de f. (Por quê?) Observe que o teorema é equivalente a dizer que se f é derivável em (a,b) e c é um ponto de máimo ou mínimo local de f, então, f (c) =. Atenção!!! Cuidado!!! Esta condição é necessária mas não suficiente. Como o Eemplo 7 mostrou, nem sempre é verdade que se f (c) =, então f(c) é um etremo local. 5. Determinação dos pontos de máimo e mínimo de uma função Dos eemplos, definições e teoremas estudados na seção anterior podemos concluir que: Toda função contínua definida em um intervalo fechado [a,b] possui um máimo e um mínimo global. O máimo e o mínimo para estas funções só podem ocorrer nas etremidades a e b do intervalo nos pontos onde a derivada f se anula ou nos pontos onde a derivada f não eiste Definição : Ponto crítico Um ponto c no domínio de f é dito um ponto crítico de f se f (c) = ou se f (c) não eiste. Assim, para localizar os pontos etremos de uma função contínua f definida em [a, b], proceda da seguinte maneira:. Determine os pontos críticos de f.. Calcule os valores de f em cada um dos seus pontos críticos.. Calcule f(a) e f(b).. Compare todos os valores e verifique qual o maior e qual o menor. 5. Conclua: o maior dentre estes valores será o máimo absoluto de f e o menor será o mínimo absoluto de f. 5. Eemplos Os eemplos a seguir ilustram o procedimento descrito acima e mostram como podemos usar o Maple para efetuar os cálculos necessários. Eemplo Determine os valores máimos e mínimos de f() = 9 +, nos intervalos (a) [-, 6] (b) [-, ] (c) [-, ]

5 W.Bianchini, A.R.Santos 99 Solução Primeiro definimos a função f e calculamos a sua derivada: > f:=->^-*^-9*+; > Diff(f(),):%=diff(f(),); f := 9 + ( 9 + ) = 6 9 Observe que a função f é contínua e derivável em todos os pontos da reta. Assim, os candidatos a etremos desta função são os etremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula. Para determinar estes últimos pontos, basta resolver a equação f () = : > solve(diff(f(),)=,);, Nestes pontos críticos os valores de f são, respectivamente > f(-);f(); 8 Para responder ao item (a) é preciso comparar os valores obtidos acima com os valores de f nas etremidades e 6 do intervalo considerado. Temos > f(-);f(6); 7 57 Comparando os valores obtidos, concluímos que o maior é 57 e o menor é 7, isto é, os pontos de máimo e de mínimo desta função ocorrem nos etremos do intervalo considerado. Assim, o valor máimo de f é 57 e ocorre em = 6, que é o ponto de máimo absoluto da função neste intervalo; o valor mínimo de f é 7 e ocorre em =, que é o ponto de mínimo absoluto de f em [, 6]. Como o ponto crítico não pertence ao intervalo [, ], para responder ao item (b) basta comparar os valores de f no ponto crítico e nos etremos e do intervalo. > f(); 9 Logo, o valor mínino desta função, em [, ], é 7. Este valor ocorre em =, que é o seu ponto de mínimo. Da mesma forma, o valor máimo de f, neste intervalo, é 8. Este valor ocorre em =, que é o seu ponto de máimo. Para responder ao item (c) vamos calcular os valores de f nas etremidades do intervalo [, ] e compará-los com os valores de f( ) e f() obtidos acima. Temos > f(-);f(); 7 Assim, concluímos que é o ponto de máimo e é o ponto de mínimo de f, em [, ]. Quais os valores máimo e mínimo de f neste intervalo? Observe o gráfico de f: > plot(^-*^-9*+,=-..6); 6 Eemplo Determine os pontos de máimo e de mínimo de g() = no intervalo [, ]. Solução: Como no eemplo anterior, vamos definir a função e achar a sua derivada com o auílio do Maple.

6 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados > g:=->sqrt(abs()); > diff(g(),); g := abs(, ) Na derivada acima, a epressão abs(, ) é a notação usada pelo Maple para a derivada de, isto é, para a função que vale para > e para <. Claramente, vemos que a derivada de g não eiste no zero e que esta derivada não se anula em nenhum ponto. Portanto, o seu único ponto crítico é o zero. Comparando os valores de g em, (etremos do intervalo) e (ponto crítico), concluímos que é o ponto de máimo de g e é o ponto de mínimo. A lista de valores de g e o gráfico da função comprovam estas conclusões. > g(-);g();g(); > plot(g(),=-..,y=..sqrt(),aesfont=[times,roman,8]);...8 y.6.. Eemplo Determine os pontos de máimo e mínimo de { h() = + > no intervalo [, ]. Solução Observando o gráfico desta função, traçado abaio, concluímos que o ponto = é um ponto crítico para a função h, pois neste ponto a derivada não eiste. > plot(piecewise(<=,^+,>,-^),=-..); De fato, as derivadas laterais em = são diferentes. Calcule-as e comprove esta afirmação! Assim, para determinar os etremos desta função, precisamos comparar os valores de h em = com os valores que ela assume nas etremidades do intervalo, como fazemos com a ajuda do Maple: > h:=->piecewise(<=,^+,>,-^): > h(-);h();h(); Podemos concluir, portanto, que h tem dois pontos de máimo e um de mínimo que são, respectivamente,, e. 5.5 Problemas envolvendo máimos e mínimos em intervalos fechados Problema Um fio com metros de comprimento é cortado em dois pedaços. Com um deles formaremos um círculo e com o outro um quadrado. (a) Como devemos cortar o fio para que a soma das áreas limitadas pelo círculo e pelo quadrado seja máima?

7 W.Bianchini, A.R.Santos (b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas seja mínima? (Os dois casos etremos são admitidos, ou seja, é permitido formar com o fio apenas um quadrado ou apenas um círculo.) Solução: Dividimos o fio em um ponto qualquer. Seja o comprimento de um dos pedaços. Obviamente, o comprimento do outro pedaço será. Além disso, pela geometria do problema, os valores possíveis para estão compreendidos no intervalo [, ]. Formando um círculo com o pedaço de comprimento, temos que π r =, ou seja, r = π. Assim, a área do círculo será dada por C() = π r = π π = π e a área do quadrado, por Q() = ( ). A área total será, portanto, dada por A() = C() + Q() = π ( ) +. 6 Esta função é uma parábola, sendo, conseqüentemente, derivável em qualquer ponto do intervalo [, ]. Assim, os pontos etremos de A() estarão entre aqueles onde sua derivada se anula ou nas etremidades do intervalo. Abaio derivamos a função A(), calculamos as raízes s da equação A () = e comparamos os valores de A(s), A() e A(). > A:=->^/(*Pi)+(-)^/6: > diff(a(),); > s:=solve(%); > A(s);A();A(); > simplify(a(s)); π + 8 s := π + π π ( + π) + 6 ( π + π ) π + π Observando estes valores, podemos concluir que o máimo ocorre no ponto = e o mínimo no ponto = π +π. Assim, para que a área A() seja máima não cortamos o fio e formamos apenas um círculo. Para que a área A() seja mínima devemos cortar o fio no ponto = π +π de comprimento +π.. O círculo terá um raio r igual a +π e o quadrado terá um lado Problema Considere as parábolas y = e y = +. Determine as dimensões de um retângulo cujos vértices inferiores estão sobre a parábola y = e os superiores sobre a parábola y = +, de tal forma que a área desse retângulo seja máima. Solução Observe no diagrama, que o valor da área depende da posição dos vértices do retângulo.

8 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados Devemos determinar as dimensões que fornecerá a área máima. Pela simetria da figura ao lado, temos que a área A() é dada por A() = y = + 6, para variando no intervalo [, ]. Como A() é contínua nesse intervalo, o teorema dos valores etremos garante que esta função tem um máimo absoluto em [, ]. Além disso, este máimo ocorre em um dos etremos do intervalo ou num ponto crítico da função. Como a derivada da função A() é um polinômio do segundo grau, os únicos pontos críticos de A são os pontos onde a sua derivada se anula. Determinar estes pontos críticos, portanto, é equivalente a resolver a equação A () =. Vamos, uma vez mais, usar o Maple para fazer as contas: > A:=->-*^+6*: > crt:={solve(diff(a(),)=,)}; crt := {, } y O ponto crítico que nos interessa é o ponto =, pois o outro não pertence ao intervalo [, ]. Comparando os valores da função A neste ponto e nos pontos e (etremidades do intervalo), obtemos: > A();A();A(/*sqrt()); 6 9 Portanto, o ponto de máimo para esta função ocorre em =, conseqüentemente, o retângulo de área máima terá base de comprimento igual a e altura 6. Problema Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com raio 7/ cm e altura 6 cm. Solução Veja a figura a seguir, onde representamos um corte transversal do cilindro e esquematizamos o problema proposto. 6-h r 7/ O volume do cilindro é dado por V = π r h. Para epressar o volume em termos de uma única variável, precisamos de outra equação envolvendo r e h. Usando a figura anterior e semelhança de triângulos, temos 6 7 = 6 h r r, ou seja, h = 6 7. Logo, V (r) = π r (6 r 7 ) = 6 π r π r. 7 Esta função é contínua em [, 7/], logo tem um valor máimo absoluto neste intervalo. Vamos, então, derivar a função V para encontrar os seus pontos críticos: > diff(v(r),r); V := r 6 π r π r 6 7 π r π r 7

9 W.Bianchini, A.R.Santos Como esta derivada está definida em toda a reta, os únicos pontos críticos de V são os pontos onde a derivada se anula. Resolvendo a equação V () =, obtemos > pontos_criticos:={solve(diff(v(r),r)=)}; pontos criticos := {, 7 } Comparando os valores de V nos pontos críticos e nos etremos do intervalo, temos > V();V(7/);V(7/); 98 9 π Logo, o valor máimo de V será V ( 7 ) = 98 π 9, que é atingido em r = 7 r. Como h = 6 7, o cilindro de volume máimo terá raio r = 7 e altura h = cm. 5.6 Eercícios. Em cada um dos itens abaio, decida se a função dada atinge um valor máimo ou um valor mínimo ou ambos, no intervalo indicado. Se necessário esboce um gráfico da função. (a) f() = em [-,) (b) f() = em (-, ) (c) f() = em (,] (d) f() = + em [-,] (e) f() = ( ) + em (, ) (g) f() = (f) f() = ( ) em [, ] em (, ).. Em cada um dos itens abaio, determine os valores máimo e mínimo atingidos pela função dada, no intervalo fechado indicado. (a) f() = em [, ] (e) f() = + (b) f() = em [, 6] em [, ] (f) g() = em [, ] (c) g() = ( ) em [, ] (g) f() = (d) h() = + em [, ] em [, 5] (h) f() = em [, ]. (a) Seja f() = A + B. Eplique por que os valores máimo e mínimo de f, em um intervalo [a, b] qualquer, devem ocorrer necessariamente nos pontos etremos do intervalo. (b) Prove que toda função quadrática f() = a + b + c, onde a, tem eatamente um ponto crítico em toda a reta. (c) Eplique por que a função polinomial cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico em toda a reta. Dê eemplos que ilustrem cada um dos casos. (d) Se f tem um valor mínimo em = c, mostre que a função g() = f() tem um valor máimo neste mesmo ponto. 5.7 Problemas propostos. Prove que o retângulo de área máima e perímetro dado é o quadrado.. Um retângulo de lados paralelos aos eios coordenados e localizado no primeiro quadrante tem um vértice na origem, um vértice sobre o eio, um vértice sobre o eio y e o quarto vértice sobre a reta + y =. Qual a área máima de tal retângulo?. Um campo retangular vai ser fechado com uma cerca e depois dividido ao meio por outra cerca. Se a cerca que passa pela metade custa R$, por metro e a outra R$ 5, por metro, encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser fechado com um custo de R$ 8,.. Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio que mede km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaio. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por km do cabo é 5% mais caro sob a água do que em terra, qual o traçado do cabo mais barato para a companhia?

10 Cap. 5. Máimos e Mínimos em Intervalos Fechados 5. Uma companhia de aviação freta um avião de 5 lugares de acordo com as seguintes condições especificadas no contrato de afretamento: (a) Cada passageiro pagará 6 reais se todos os 5 lugares forem vendidos. (b) Cada passageiro pagará um adicional de reais por lugar não vendido. Quantos lugares a companhia deve vender para obter renda máima? 6. Seja f() =, para pertencente ao intervalo [, ]. Determine a reta r tangente ao gráfico de f(), tal que o triângulo determinado por r, a reta = e a reta y = tenha a maior área possível. 7. Num certo país, endividado até o pescoço, descobriu-se que a solução de todos os problemas estava na criação de um combustível para substituir as importações de petróleo. Após muitas pesquisas foi criado o Tomatóleo, uma mistura de etrato de tomate e gasolina. O litro de etrato de tomate (ET) custa R$, e o de gasolina (GS) custa R$,5. Porém, um litro de Tomatóleo, com litros de ET, dá para um carro médio percorrer + quilômetros. Determine a quantidade de ET que minimiza o custo por quilômetro. 8. Dada a função f() = + 8, para [, ] e o ponto P = (, ). Determine a maior e a menor distâncias de P aos pontos do gráfico de f. 9. Com a finalidade de evitar a construção de prédios muito altos em terrenos pequenos, foi criada na cidade do Sonho Dourado a seguinte lei: É obrigatória a eistência de uma área livre em torno da área construída, com largura mínima de 5cm por metro de altura da construção, medidos a partir dos limites do terreno. Assim, em Sonho Dourado, um prédio de m de altura deverá ser construído em centro de terreno a uma distância de, pelo menos,, 5 = m dos limites do terreno. Supondo que você: (a) More em Sonho Dourado. (b) Tenha um terreno de m por m. (c) Deseja construir um prédio em forma de paralelepípedo que tenha volume máimo. (d) Seja um cidadão respeitador das leis. Pergunta-se: Quais deveriam ser as dimensões do prédio a ser construído?. Determine as dimensões do cilindro de área máima inscrito em um cone circular reto dado.. Determine o retângulo de maior área inscrito na região acima da parábola y = e abaio da parábola y = +, cujos lados são paralelos aos eios coordenados.. Em um terreno com a forma de um semicírculo de 5 m de raio, deseja-se construir uma piscina com a forma de um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao diâmetro do círculo e um vértice no semi-círculo. Calcule as dimensões da piscina de área máima.. Uma janela normanda tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é m, encontre as dimensões da janela para que penetre o máimo de luz possível.. Sabendo que a resistência de uma viga retangular é proporcional ao produto da largura pelo quadrado da altura de sua seção transversal, quais serão as dimensões da viga a ser cortada de um toro cilíndrico de raio r para assegurar a maior resistência possível? 5. Um segmento de reta, de comprimento fio L, une o vértice de um retângulo ao ponto médio do lado oposto. Qual a maior área possível de tal retângulo? 6. Uma tipografia dispõe de 8 impressoras, cada uma das quais pode imprimir 6 cópias por hora. Custa R$ 5, para preparar cada impressora para a operação e + 6 n reais para fazer funcionar n impressoras durante uma hora. Quantas impressoras devem ser utilizadas para imprimir 5 cópias de um cartaz de forma a obter um lucro máimo? 7. Um fazendeiro deseja contratar trabalhadores para colher 9 alqueires de grãos. Cada trabalhador pode colher 5 alqueires por hora e recebe em pagamento R$, por alqueire. O fazendeiro deve ainda pagar um capataz a R$, por hora para supervisionar a colheita e tem ainda uma despesa adicional de R$ 8, com refeições por trabalhador. Quantos trabalhadores deve contratar de modo a minimizar o custo total? Quanto será então o custo do alqueire colhido?

11 W.Bianchini, A.R.Santos 5 8. Uma companhia tem fábricas localizadas (em um sistema de coordenadas adequadamente escolhido) nos pontos A(, ), B(, ) e C(, ). A companhia planeja construir uma central de distribuição elétrica no ponto P (, ). Qual o valor de que minimiza o custo de distribuição da energia elétrica produzida? 9. Um gramado circular de m de raio é circundado por um passeio, e uma lâmpada é colocada no cimo de um poste fincado no centro do gramado. A que altura deve ser colocada a lâmpada para que o passeio receba iluminação máima? Observação: a intensidade de iluminação de uma superfície é dada por I = k sen(θ) D onde D é a distância da fonte de luz à superfície, θ é o ângulo segundo o qual a luz atinge a superfície e k é uma constante positiva.. Cinco placas de metal retangulares medem cm por 6 cm cada. Cortam-se pedaços quadrados iguais de cada um de seus cantos, e as abas resultantes devem ser dobradas para cima e soldadas, de modo a formar cinco caias sem tampa. Os vinte pequenos quadrados retirados são reunidos em grupos de quatro e soldados para formar cinco quadrados maiores, que por sua vez são soldados de modo a formar uma caia cúbica sem tampa, de modo que nenhum material é desperdiçado. Qual o tamanho do corte para que o volume total das seis caias assim formadas seja o maior possível?. Deve-se construir uma pista de corrida em forma de dois trechos retilíneos, paralelos e de igual comprimento, unidos por dois semi-círculos nas etremidades. O comprimento da pista (uma volta completa) deve ser de 5 km. Quais são as dimensões da pista que maimizarão a área retangular interna?. Um objeto é arrastado num plano horizontal por uma força que age ao longo de uma corda atada a ele. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a magnitude da força é dada por F = µw µ sen θ + cos θ, onde µ é uma constante positiva chamada coeficiente de fricção e θ π. Mostre que F é minimizada quando tg θ = µ 5.8 Para você meditar: O feirante de Caruaru Um vendedor foi à feira de Caruaru com sua balança de dois pratos defeituosa, pois tinha um braço mais curto do que o outro. Para compensar isto, ao atender os fregueses, passou a usar, sucessivamente, os dois lados para pesar a mercadoria. Por eemplo, se alguém desejava dois quilos de açúcar, o vendedor lhe dava um quilo com ecesso (pesado usando-se um dos pratos da balança) e um quilo com falta (pesado usando-se o outro lado). Quem ganha com este processo? Sugestão: Use a Lei das alavancas para obter uma relação entre o peso da mercadoria e o tamanho dos braços da balança.

12

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta lista de Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I - MTM 1 1. Nos eercícios a seguir admita

Leia mais

Problemas de O-mização. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html

Problemas de O-mização. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Problemas de O-mização Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Roteiro para resolver problemas de o-mização 1. Compreenda o problema a) O que é desconhecido? b) Quais as

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

11. Problemas de Otimização

11. Problemas de Otimização 11. Problemas de Otimização Nesta seção veremos vários eemplos de problemas cujas soluções eigem a determinação de valores máimos e/ou mínimos absolutos das funções que os representam. São chamados de

Leia mais

Máximos e mínimos. Problemas de máximos e mínimos estão presentes. Nossa aula

Máximos e mínimos. Problemas de máximos e mínimos estão presentes. Nossa aula A UA UL LA Máimos e mínimos Introdução Problemas de máimos e mínimos estão presentes em quase todas as atividades do mundo moderno. Por eemplo, você pode imaginar como um carteiro distribui a correspondência?

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Lista 4. 2 de junho de 2014

Lista 4. 2 de junho de 2014 Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua

Leia mais

Problemas de Máximo e Mínimos em Intervalos quaisquer

Problemas de Máximo e Mínimos em Intervalos quaisquer Capítulo 18 Problemas de Máimo e Mínimos em Intervalos quaisquer 18.1 Introdução No Cap. 15 estudamos o problema de determinar máimos e mínimos globais para funções contínuas definidas em intervalos fechados.

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Geometria Métrica Plana

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Geometria Métrica Plana Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Métrica Plana p. 0 Na figura a seguir tem-se r // s // t e y. diferença y é igual a: a) c) 6 e) b) d) 0 8 ( I) y 6 y (II) plicando a propriedade

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

v m = = v(c) = s (c).

v m = = v(c) = s (c). Capítulo 17 Teorema do Valor Médio 17.1 Introdução Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando

Leia mais

Considere um triângulo eqüilátero T 1

Considere um triângulo eqüilátero T 1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se "Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza Terra adorada." 01. Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva

Leia mais

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1.

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1. REDE ISAAC NEWTON ENSINO MÉDIO 3º ANO PROFESSOR(A):LUCIANO IEIRA DATA: / / TURMA: ALUNO(A): Nº: UNIDADE: ( ) Riacho Fundo ( ) Taguatinga Sul EXERCÍCIOS DE REISÃO - AALIAÇÃO ESPECÍFICA 3º TRIMESTRE 01 MATEMÁTICA

Leia mais

Aula 8 Distância entre pontos do plano euclidiano

Aula 8 Distância entre pontos do plano euclidiano Distância entre pontos do plano euclidiano MÓDULO - AULA 8 Aula 8 Distância entre pontos do plano euclidiano Objetivos Nesta aula, você: Usará o sistema de coordenadas para calcular a distância entre dois

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,

Leia mais

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 2 1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos

Leia mais

3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA

3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA 3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA 01. Um topógrafo pretende calcular o comprimento da ponte OD que passa sobre o rio mostrado na figura abaio. Para isto, toma como referência

Leia mais

MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II

MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a Lista de Exercícios -. Ache os pontos do hiperboloide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,, ) e (5,, 6).. Encontre

Leia mais

MATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada

Leia mais

UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA

UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA UFR_VESTIBULAR _004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO OR ROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA QUESTÃO Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços,

Leia mais

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação . Isolar os zeros da função f ( )= 9 +. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: 0 f ( ) + + + + + Como f ( ) f ( ) < 0, f ( 0 ) f ( ) < 0 e f ( ) f ( ) < 0,

Leia mais

3. Trace os gráficos das retas de equação 4x + 5y = 13 e 3x + y = -4 e determine seu ponto de intersecção.

3. Trace os gráficos das retas de equação 4x + 5y = 13 e 3x + y = -4 e determine seu ponto de intersecção. Assunto: Função MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 67-000 - VIÇOSA - MG BRASIL a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 0 0/0/0. a) O que é uma unção? Dê um eemplo. b) O que é domínio

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções

Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções Resolução das atividades complementares Matemática M Funções p. Responda às questões e, tomando por base o teto abaio: (Unama-PA) O ATAQUE DOS ALIENS Caramujos africanos, medindo centímetros de comprimento

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países.

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países. Questão A figura eibe um mapa representando países. alternativa E Inicialmente, no recipiente encontram-se 40% ( 000) = 400 m de diesel e 60% ( 000) = = 600 m de álcool. Sendo, em mililitros, a quantidade

Leia mais

5 Equacionando os problemas

5 Equacionando os problemas A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO D PROV DE MTEMÁTIC DO VESTIBULR 0 D UNICMP-FSE. PROF. MRI NTÔNI C. GOUVEI. Em de outubro de 0, Feli Baumgartner uebrou o recorde de velocidade em ueda livre. O salto foi monitorado oficialmente

Leia mais

Simulado OBM Nível 2

Simulado OBM Nível 2 Simulado OBM Nível 2 Gabarito Comentado Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação? a) 13 b) 26 c) 38 d) 39 e) 40 Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros. Questão 2. Hoje é

Leia mais

Quarta lista de exercícios.

Quarta lista de exercícios. MA092 Geometria plana e analítica Segundo semestre de 2015 Quarta lista de exercícios. Circunferência e círculo. Teorema de Tales. Semelhança de triângulos. 1. (Dolce/Pompeo) Um ponto P dista 7 cm do centro

Leia mais

Capítulo V: Derivação 137

Capítulo V: Derivação 137 Capítulo V: Derivação 37 Esboço de gráicos: Para esboçar o gráico de uma unção deve-se sempre que possível seguir as seguintes etapas: Indicar o domínio; Determinar os zeros (caso eistam); Estudar a paridade;

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 2012 2. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 2012 2. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 0 Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão Em um grupo de 0 casas, sabe-se que 8 são brancas, 9 possuem jardim e possuem piscina. Considerando-se essa infomação e as

Leia mais

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados

Leia mais

(Testes intermédios e exames 2005/2006)

(Testes intermédios e exames 2005/2006) 158. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log 3 (1 ) 1 (A) [,1[ (B) [ 1,[ (C) ], ] (D) [, [ 159. Na figura abaio estão representadas, em referencial o. n. Oy: parte do gráfico

Leia mais

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. 2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades

Leia mais

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B 1 QUESTÃO 1 Marcos tem 10 0,25 = 2,50 reais em moedas de 25 centavos. Logo ele tem 4,30 2,50 = 1,80 reais em moedas de 10 centavos, ou seja, ele tem 1,80 0,10 = 18 moedas de 10 centavos. Outra maneira

Leia mais

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 1. (alternativa C) Os números 0,01 e 0,119 são menores que 0,12. Por outro lado, 0,1 e 0,7 são maiores que 0,. Finalmente, 0,29 é maior que 0,12 e menor

Leia mais

2. Estude o sinal da função f cujo gráfico é a reta de inclinação 3 e que passa pelo ponto ( 5, 2).

2. Estude o sinal da função f cujo gráfico é a reta de inclinação 3 e que passa pelo ponto ( 5, 2). MAT1157 Cálculo a uma Variável A - 2014.1 Lista de Exercícios 7 PUC-Rio Função afim: 1. (a) Qual é a inclinação de uma reta horizontal (paralela ao eixo-x)? (b) Qual é a expressão da função cujo gráfico

Leia mais

Problemas de volumes

Problemas de volumes Problemas de volumes A UUL AL A Nesta aula, vamos resolver problemas de volumes. Com isso, teremos oportunidade de recordar os principais sólidos: o prisma, o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera. Introdução

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

MATEMÁTICA TIPO C. 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a

MATEMÁTICA TIPO C. 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a 1 MATEMÁTICA TIPO C 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre, cujo gráfico está esboçado a seguir.

Leia mais

ESCALAS. Escala numérica objeto. é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado. d/d = 1/Q

ESCALAS. Escala numérica objeto. é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado. d/d = 1/Q ESCLS Importância da escala: O uso de uma escala é indispensável quando se faz necessário representar um objeto graficamente mantendo a proporção entre suas partes ou em relação a outros objetos. Escala

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 4. Questão 1. Questão 2. Questão 5. Questão 3. Questão 6. alternativa D. alternativa C. alternativa D.

TIPO DE PROVA: A. Questão 4. Questão 1. Questão 2. Questão 5. Questão 3. Questão 6. alternativa D. alternativa C. alternativa D. Questão TIPO DE PROVA: A Um pintor pintou 0% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar é: a) 0% b) % c) % d) 8% e) % O primeiro pintou 0% do muro, logo restou

Leia mais

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 04 SUPERFÍCIE E ÁREA Medir uma superfície é compará-la com outra, tomada como unidade. O resultado da comparação é um número positivo, ao

Leia mais

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas Capítulo 14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 14.1 Introdução A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou, explicitamente, por meio

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

Triângulo Retângulo. Exemplo: O ângulo do vértice em. é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo.

Triângulo Retângulo. Exemplo: O ângulo do vértice em. é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo. Triângulo Retângulo São triângulos nos quais algum dos ângulos internos é reto. O maior dos lados de um triângulo retângulo é oposto ao vértice onde se encontra o ângulo reto e á chamado de hipotenusa.

Leia mais

2) (PUC-Camp) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante.

2) (PUC-Camp) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante. ATIVIDADES PARA RECUPERAÇÃO PARALELA - MATEMÁTICA PROFESSOR: CLAUZIR PAIVA NASCIMENTO TURMA: 9º ANO REVISÃO 1) (Cesesp-PE) Do alto de uma torre de 50 metros de altura, localizada numa ilha, avista-se a

Leia mais

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/ SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM

Leia mais

16 Comprimento e área do círculo

16 Comprimento e área do círculo A UA UL LA Comprimento e área do círculo Introdução Nesta aula vamos aprender um pouco mais sobre o círculo, que começou a ser estudado há aproximadamente 4000 anos. Os círculos fazem parte do seu dia-a-dia.

Leia mais

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 1 MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES) No presente capítulo, estudaremos as

Leia mais

Função Quadrática Função do 2º Grau

Função Quadrática Função do 2º Grau Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Função Quadrática 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 º Bimestre/13 Aluno(a): Número: Turma: Função Quadrática

Leia mais

PROVA DO VESTIBULAR ESAMC-2003-1 RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA M A T E M Á T I C A

PROVA DO VESTIBULAR ESAMC-2003-1 RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA M A T E M Á T I C A PROVA DO VESTIBULAR ESAMC-- RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO DA PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA M A T E M Á T I C A Q. O valor da epressão para = é : A, B, C, D, E, ( (,..., ( ( RESPOSTA: Alternativa A. Q. Sejam A

Leia mais

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Funções 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Funções 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Funções º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista º Bimestre/0 Aluno(a): Número: Turma: ) Na função f : R R, com f()

Leia mais

Objetivas 2012. Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 *

Objetivas 2012. Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 * Objetivas 01 1 Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/ B) /3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 * Considere três números, a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b

Leia mais

casa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com sala, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço.

casa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com sala, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço. A UUL AL A A casa Nesta aula vamos examinar a planta de uma casa. Será uma casa simples, situada em terreno plano, com, dois quartos, cozinha, banheiro e área de serviço. Introdução terreno 20 m rua 30

Leia mais

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36 MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade

Leia mais

TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO

TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO OBSERVAÇÕES: 1) AS QUESTÕES OBRIGATORIAMENTE DEVEM SER ENTREGUES EM UMA FOLHA A PARTE COM

Leia mais

6. Aplicações da Derivada

6. Aplicações da Derivada 6 Aplicações da Derivada 6 Retas tangentes e normais - eemplos Encontre a equação da reta tangente e da normal ao gráfico de f () e, em 0 Represente geometricamente Solução: Sabemos que a equação da reta

Leia mais

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750 Lista de exercícios de Geometria Espacial PRISMAS 1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 cm, 8 cm e 6 cm 10 2 cm 2) Determine a capacidade em dm 3 de um paralelepípedo

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Objetiva 06/junho/010 MATemática 01. O monitor de um notebook tem formato retangular com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede 3 do outro. 4 A área do

Leia mais

Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN

Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Questão Concurso 00 Seja ABC um triângulo com lados AB 5, AC e BC 8. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que

Leia mais

Como fazer para deixar firme uma estante de hastes com prateleiras que está balançando para os lados?

Como fazer para deixar firme uma estante de hastes com prateleiras que está balançando para os lados? cesse: http://fuvestibular.com.br/ o triângulo é uma das figuras mais importantes da Geometria, e também uma das mais interessantes. Na nossa vida diária, existem bons exemplos de aplicação de triângulos

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina0.com.br Funções Reais CÁLCULO VOLUME ZERO - Neste capítulo, estudaremos as protagonistas do longa metragem

Leia mais

MATEMÁTICA 3. Resposta: 29

MATEMÁTICA 3. Resposta: 29 MATEMÁTICA 3 17. Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento A, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que está, e

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 41 1. Calcule, se existirem, as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0) sendo: x + 4 (a) f(x, ) = x,

Leia mais

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2012 DA UNICAMP-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2012 DA UNICAMP-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 0 DA UNICAMP-FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 3,35 ºC em 995 para

Leia mais

Anual de Física 2014 1ª Lista de embasamento Espelhos Planos e Esféricos

Anual de Física 2014 1ª Lista de embasamento Espelhos Planos e Esféricos nual de Física 2014 Questão 01 figura mostra um par de espelhos E 1 e E 2 verticais distanciados 40 cm entre si. Dois pontos e encontram-se alinhados verticalmente e equidistantes dos dois espelhos como

Leia mais

APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA

APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de

Leia mais

Hoje estou elétrico!

Hoje estou elétrico! A U A UL LA Hoje estou elétrico! Ernesto, observado por Roberto, tinha acabado de construir um vetor com um pedaço de papel, um fio de meia, um canudo e um pedacinho de folha de alumínio. Enquanto testava

Leia mais

Roda de Samba. Série Matemática na Escola

Roda de Samba. Série Matemática na Escola Roda de Samba Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar uma aplicação de funções quadráticas; 2. Analisar pontos de máximo de uma parábola;. Avaliar o comportamento da parábola com variações em

Leia mais

Volumes parte 02. Isabelle Araujo

Volumes parte 02. Isabelle Araujo olumes parte 02 Isabelle Araujo olume da pirâmide O princípio de Cavalieri afirma que: Pirâmides com áreas das bases iguais e com mesma altura têm volumes iguais. A fórmula para determinar o volume de

Leia mais

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 0 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO Profa. Maria Antônia C. Gouveia. O PIB per capita de um país, em determinado ano, é o PIB daquele ano dividido pelo número de habitantes.

Leia mais

Lista de Exercícios - Integrais

Lista de Exercícios - Integrais Lista de Exercícios - Integrais 4) Calcule as integrais indefinidas: 5) Calcule as integrais indefinidas: 1 6) Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y = F(x)

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3 Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as

Leia mais

CURSO TÉCNICO MPU Disciplina: Matemática Tema: Matemática básica: potenciação Prof.: Valdeci Lima Data: Novembro/Dezembro de 2006 POTENCIAÇÃO.

CURSO TÉCNICO MPU Disciplina: Matemática Tema: Matemática básica: potenciação Prof.: Valdeci Lima Data: Novembro/Dezembro de 2006 POTENCIAÇÃO. Data: Novembro/Dezembro de 006 POTENCIAÇÃO A n A x A x A... x A n vezes A Base Ex.: 5.... n Expoente Observação: Em uma potência, a base será multiplicada por ela mesma quantas vezes o expoente determinar.

Leia mais

4 Mudança de Coordenadas

4 Mudança de Coordenadas Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Última atualização: 14 de outubro de 006 4 Mudança de Coordenadas Translação e Rotação de Curvas no R² Introdução O enfoque dos 3 primeiros capítulos

Leia mais

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma

Leia mais

MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE PROVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE PROVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO DEP DEPA COLÉGIO MILITAR DO RECIFE DE OUTUBRO DE 005 Página 1/10 ITEM 01. A figura abaixo mostra um pedaço de terreno plano com plantação de cana-deaçucar que deve

Leia mais

Algoritmos com Estrutura Sequencial

Algoritmos com Estrutura Sequencial Algoritmos com Estrutura Sequencial 1. A partir da diagonal de um quadrado, deseja-se elaborar um algoritmo que informe o comprimento do lado do quadrado. Construa um algoritmo que leia o valor da diagonal

Leia mais

(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de

(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de QUESTÃO - EFOMM 0 QUESTÃO - EFOMM 0 Se tgx sec x, o valor de senx cos x vale: ( 7 ( ( ( ( O lucro obtido pela venda de cada peça de roupa é de, sendo o preço da venda e 0 o preço do custo quantidade vendida

Leia mais

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f() = a b com a, b e a 0.

Leia mais

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro

Leia mais