Capítulo V: Derivação 137

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Stefany Galindo Bicalho
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1 Capítulo V: Derivação 37 Esboço de gráicos: Para esboçar o gráico de uma unção deve-se sempre que possível seguir as seguintes etapas: Indicar o domínio; Determinar os zeros (caso eistam); Estudar a paridade; Estudar a continuidade; Identiicar as assímptotas; Estudar a monotonia e indicar os etremos relativos; Determinar o sentido das concavidades do gráico e indicar os pontos de inleão. Depois destas etapas cumpridas tenta-se esboçar o gráico, indicando por último o contradomínio. Eercício: Considere a unção deinida por: ( ) = + + e 0 se se 0 = 0 ) Faça o estudo da unção reerindo os seguintes aspectos: a) Domínio ) Etremos relativos b) Paridade g) Intervalos de monotonia c) Continuidade h) Pontos de inleão e d) Assímptotas i) Concavidades e) Pontos críticos ) Faça um esboço do gráico de. 3) Indique o contradomínio de. Resolução: a). Domínio: IR

Depois destas etapas cumpridas tenta-se esboçar o gráico, indicando por último o contradomínio.

2 Capítulo V: Derivação 38. Paridade: ( ) = + e ( ) 0 ( ) = + e ( ) 0 não é par nem ímpar. 3. Continuidade Se 0, é continua porque é soma de uma unção polinomial + com a unção e racional,. sendo que esta é a composta da unção eponencial com uma unção Se = 0 então lim + + e = + = + e lim = + 0 = e. + lim lim, é descontínua em = 0. Como ( ) ( ) Conclusão: é contínua em \ { 0} IR. 4. Assímptotas: Assímptotas verticais: Pontos onde pode eistir assímptotas verticais: = 0. Já vimos que: + + e = + = + ; lim = + 0 = e + lim 0 = 0 é uma assímptota vertical (unilateral) do gráico de. Assímptotas horizontais: lim ± + + e = ± + = ± o gráico de não admite assímptotas horizontais. Assímptotas oblíquas: m = lim ± ( ) + + e = lim ± e = lim + + ± =

$Como ( ) ( ) 0 + 0 Conclusão: é contínua em \ { 0} IR. 4. Assímptotas: Assímptotas verticais: Pontos onde pode eistir assímptotas verticais: = 0.$

3 Capítulo V: Derivação 39 b = lim ± ( ( ) ) lim = lim m = + + e e = ± y = + é uma assímptota oblíqua bilateral. ± + º derivada: é descontínua em = 0 pelo que neste ponto não está deinida a derivada. Se 0 e = +, ( ) = + e 5. Pontos críticos = 0 pois 0 D mas 0 D ' Não eiste outro pontos críticos porque a unção derivada não tem zeros: ( ) = 0 + e = 0 + e = 0 e443 = impossível 0 0 (A derivada nunca se anula pois e > 0 e 0 ) 6. Etremos relativos: 0 + Sinal de ' + n.d. + n.d. não deinida Como é descontínua em = 0 é necessário ver o que acontece as imagens em torno deste ponto: ( 0 ) = 0 para > 0 para < 0 é ácil ver que ( ) = + + e > já vimos que lim ( ) = + 0

Pontos críticos = 0 pois 0 D mas 0 D ' Não eiste outro pontos críticos porque a unção derivada não tem zeros: ( ) = 0 + e = 0 + e = 0 e443 = impossível 0 0 (A

4 Capítulo V: Derivação 40 eiste uma vizinhança em torno de = 0 portanto ( 0) é um mínimo relativo. onde ( 0) é a menor imagem e Note que apesar de ( 0) ser um mínimo, a primeira derivada em torno de = 0 não muda de sinal, mas isto não contradiz o critério da ª derivada para classiicação de etremos (ver página ) pois neste critério eige-se que a unção seja contínua o que não acontece (a unção dada é descontinua em = 0). 7. Intervalos de monotonia: é estritamente crescente se ],0[ e se ] 0,+ [. (note que é incorrecto airmar que a unção é estritamente crescente em todo o seu domínio, basta analisar o que se passa à volta de = 0). º derivada: Se 0, ( ) = ( ) 4 e Pontos candidatos a pontos de inleão: = 0 pois não está deinida a segunda derivada mas 0 D = pois = 0 8. Pontos de inleão: 0 + ' + n.d n.d. não deinida Portanto = é um ponto de inleão. 9. Concavidades:

(ver página ) pois neste critério eige-se que a unção seja contínua o que não acontece (a unção dada é descontinua em = 0). 7. Intervalos de monotonia: é estritamente crescente se ],0[ e se ] 0,+ [.

5 Capítulo V: Derivação 4 Voltada para cima se ],0[ e se 0, Voltada para baio se,+ b) Esboço do gráico Apesar da unção ter dois zeros, não é ácil determinar um deles pois implica a resolução da equação + = e. c) Contradomínio: CD = IR.

ter dois zeros, não é ácil determinar um deles pois

6 Capítulo V: Derivação 4 Etremos absolutos de unções deinidas em intervalos echados Já sabemos, pelo teorema de Weierstrass (ver página 97), que uma unção deinida num intervalo echado[ a, b] atinge tem um máimo e um mínimo Como proceder para encontrar os etremos de uma unção deinida num intervalo echado [ a, b]?. Determinar os pontos críticos de no intervalo ] a, b[.. Calcular a imagem de cada um dos pontos críticos obtido em. 3. Calcular as imagens dos etremos ( a) e ( b). 4. Os valores máimo e mínimo de em [ a, b], caso eistam, são o maior e o menor valores da unção calculados em e 3. Eercício : Considere a unção deinida por ( ) = 3 onde [ 3,5] Calcule os etremos absolutos de. Resolução: D = [ 3,5] porque [ 3,5]. é contínua pois é polinomial. ( ) = 3. A derivada está deinida em todos os pontos, pelos que os pontos críticos se eistirem terão que anular a derivada. Pontos críticos: = e = ( ) = 0 3 = 0 = 4 = = Para determinar os etremos absolutos basta calcular as imagens dos pontos críticos e dos etremos do domínio da unção e compará-las. O valor da maior imagem será o máimo absoluto e o valor da menor imagem será o mínimo absoluto. Como ( 3 ) = 9 ; ( ) = 6 ; ( ) = 4 e ( 5 ) = 65 absoluto e 4 é o mínimo absoluto. resulta que 65 e o máimo Note que não é necessário azer o quadro do estudo da monotonia da unção.

. Calcular a imagem de cada um dos pontos críticos obtido em. 3. Calcular as imagens dos etremos ( a) e ( b). 4.

7 Capítulo V: Derivação 43 Eercício : Calcule os etremos absolutos, caso eistam, da unção deinida por 4 ( ) = 4 para [,] Resolução: D = [,] pois [,]. ; é contínua pois é polinomial. 3 ( ) = 8 8 ( ) = 0 8( ) = 0 = 0 = = = 0 = Pontos críticos: =, = 0 e =. Como ( ) = 6 ; ( ) = ; ( 0 ) = 0 ; ( ) = e ( ) = 6 o máimo absoluto e 6 é o mínimo absoluto. resulta que é 4 Note que quando consideramos ( ) = 4 deinida em IR podemos veriicar acilmente pela análise do quadro da monotonia da unção: Sinal de que a unção deinida em IR tem um máimo absoluto ( ) = ( ) = mas não tem mínimo absoluto: ( 0 ) = 0 é um mínimo mas não é absoluto.

Como ( ) = 6 ; ( ) = ; ( 0 ) = 0 ; ( ) = e ( ) = 6 o máimo absoluto e 6 é o mínimo absoluto.

8 Capítulo V: Derivação 44 Problemas de optimização: Etapas da resolução de um problema de optimização: Ler atentamente o problema undamental! Identiicar as incógnitas. Fazer um esquema do problema representando as incógnitas e as quantidades conhecidas. Encontrar as possíveis condições a que estão sujeitas as incógnitas. Eprimir a unção a optimizar em unção de uma única incógnita. Encontrar os pontos críticos e etremos da unção anteriormente obtida. Dar resposta ao problema. Problema : Determine dois números positivos cujo produto seja máimo e a sua soma seja 40. Resolução: Identiicar as variáveis Sejam e y os números procurados. Restrições das variáveis: Sabe-se que: o > 0, y > 0 o + y = 40 ( y = 40 ) Função a maimizar: Função produto: y = ( 40 ) Deina-se ( ) = ( 40 ) Determinar pontos críticos de : ] 0 [ D =,+ (note-se que > 0) é continua no seu domínio porque é polinomial. ( ) = ( 40 ) ( ) = 40 Pontos críticos: = 0 : ( ) = 0 = 40 0 =

Eprimir a unção a optimizar em unção de uma única incógnita. Encontrar os pontos críticos e etremos da unção anteriormente obtida. Dar resposta ao problema.

9 Capítulo V: Derivação Sinal de n.d. n.d. não deinida Logo em = 0 ocorre um máimo relativo Como a unção não está deinida nos etremos do o máimo absoluto. Resposta do problema: D, o máimo encontrado é Os números procurados são: = 0 e y = 40 = 40 0 = 0. Note que o enunciado pede os números que maimizam o produto e não o produto máimo que seria ( 0 ) = 0( 40 0) = 400. Problema : Qual o ponto pertencente à hipérbole de equação y =, de abcissa positiva, que está mais próimo da origem. Resolução: Identiicar as variáveis Seja (, y) o ponto da hipérbole procurado. Restrições das variáveis: Sabe-se que: o > 0 o y = y = Esquema do problema: Ideia: coloca-se um ponto sobre o ramo da hipérbole cujas abcissas são positivas e para cada um destes pontos determina-se o comprimento do segmento que une o ponto (, y) à origem este processo sugere qual deve ser a unção a optimizar.

Note que o enunciado pede os números que maimizam o produto e não o produto máimo que seria ( 0 ) = 0( 40 0) = 400.

10 Capítulo V: Derivação 46 Função a minimizar: Pretende-se minimizar o comprimento do segmento que une os pontos ( 0,0) e (, y) : Deina-se d ( ) = + Note que: ( 0) + ( y 0) = + y = + O mínimo da unção d, caso eista, é atingido no mesmo ponto que o mínimo da unção = d. Por simplicidade dos cálculos vamos trabalhar com a unção deinida por: ( ) = + Determinar pontos críticos de : ] 0 [ D =,+ (note-se que > 0) é continua no seu domínio porque é soma de unções racionais ( ) = + ( ) = 3 Pontos críticos: = : ( ) = 0 Note que = = 0 ( )( + ) = ( = = ) 0 D pelo que não é ponto crítico. 0 + Sinal de n.d. n.d. não deinida Logo em = ocorre um mínimo relativo.

Por simplicidade dos cálculos vamos trabalhar com a unção deinida por: ( ) = + Determinar pontos críticos de : ] 0 [ D =,+ (note-se que > 0) é continua no seu domínio

11 Capítulo V: Derivação 47 Como a unção não está deinida nos etremos do o mínimo absoluto. Resposta do problema: O ponto procurado da hipérbole tem coordenadas (,) pois D, o mínimo encontrado é y =. Note que o enunciado pede o ponto da hipérbole de abcissa positiva que está mais próimo da origem e não a distância da origem à hipérbole que seria d () = + =.

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