3.1 Cálculo de Limites

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1 3. Cálculo de Limites EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 3. FORMAS INDETERMINADAS OPERAÇÕES COM OS SÍMBOLOS + = = ( ) = k = ; se k > 0 k = ; se k < 0 ( ) ( ) = k = ; se k > 0 = ; se > 0 = 0; se < 0 k = = ( ) = 0 FUNÇÕES RACIONAIS Ao calcular o te no in nito (quando! ) de uma função racional (quociente de dois olinômios), recomendamos colocar em evidência no numerador e no denominador o termo de maior grau h i A 0 + A + A A A n n n A0! B 0 + B + B B B k k = + A n + A n A n n 2 + A n h i! k B0 + B k + B k B k k 2 + B k Cada termo que contém uma otência de no denominador tem ite zero e, sendo assim, o valor do ite se reduz a A n n! B k k O valor nal deende dos coe cientes A n e B k e, naturalmente, de n e k que são os graus dos olinôminios. a) Se os olinômios têm mesmo grau, isto é, n = k, então o valor do ite é A n n! B n n = A n B n b) Se o grau do numerador (n) é maior do que o grau do denominador (k), então A n n! B k k = A n n k = (deende do sinal de A n =B! B k ; note que n k > 0) n

2 COMPLEMENTOS LIMITE & CONTINUDADE 2 c) Se o grau do numerador (n) é menor do que o grau do denominador (k), então A n n! B k k = (A n=b k ) = 0 (note que k n > 0)! k n PROPRIEDADES ALGÉBRICAS Suonhamos que f () = L e que g () = M Então. k = k; k constante. 2. [f () g ()] = L M 3. [kf ()] = kl; 4. [f () g ()] = L M k constante. 5. [f () =g ()] = L=M; (M 6= 0 e g () 6= 0; 8 6= a) OUTRAS PROPRIEDADES. Se f () = L, então jf ()j = jlj 2. Se g () = 0 e f () é uma função itada, então [f () g ()] = 0 3. Confronto se f () g () h () ; 8; e se f () = h () = L, então g () = L 3.. Escrevendo ara Arender. Em cada caso abaio calcule o ite de f (), quando! a (a) f () = 2 + 5; a = 7 3 (b) f () = ; a = (c) f () = ; a = (d) f () = ; a = 2 (e) f () = ; a = (f) f () = ; a = + (g) f () = 4 3 ; a = Uma função f () é itada quando eistir uma constante C, tal que jf ()j C; 8

3 22 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS (h) f () = 3 9 ; a = 9 (i) f () = 2 + ; a = 0 (j) f () = ; a = 2 (k) f () = + ; va = 3 (l) f () = ; a = (m) f () = ; a = 2 2 (n) (n) f () = ; a = (considere u = 3 3 ) (o) f () = () f () = s ; a = ; a = (considere u = 3 + 2) + f () 2. Se f é uma função de nida em R e =, mostre que!0 f (3) f 2 (a) = 3 (b)!0!0 = 0 f () f () 3. Sabendo que! 2 2 =, calcule f () e! 2! 2. f () 5 4. Sabendo-se que = 3, calcule f ()!2 2!2 5. Se ' é uma função tal que ' () +, 8 6= 0, calcule 2 ' ()!0 6. Sabendo que f () = 0 e que g () é uma função itada, a roriedade do Confronto e mostre que [f () g ()] = 0 7. Considere a função g de nida or g () = g () e!0!0 2 g () (, se 0, se > 0. Investigue a eistência dos ites 8. Em cada caso abaio, calcule os ites laterais de f no onto a

4 COMPLEMENTOS LIMITE & CONTINUDADE 23 (a) f () = ; a = 2 (b) f () = ( 2) 2 ; a = 2 (c) f () = 2 ( ) 3 ; a = (d) f () = 2 4 j 2j ; a = 2 (e) f () = ( + 3) j + 2j ; a = 0 (f) f () = ; a = ( ) (g) f () = ; a = (h) f () = + 3 j j j 2 9j ; a = 3 (i) f () = ; a = (j) f () = j j j 2 4j ; a = 2 9. Calcule 2 e veri que se eiste o ite 2!2 +!2 0. Calcule os ites laterais indicados. (a) (b)!0 +!0 5 5 (e) (f)!3 + 3!3 3 (i)! (m)! (j)!0 (n) 3 2. Calcule os seguintes ites no in nito (a) (d) (c)!0 + 2 (g)! (k)! ! + 2 (o)!0 + jj! b)! (c)!+ (d)!0 (h)!0 (l) ()! j j 2 + 3! ! (e) 5 4 +!+ 2 5 (f) 5 4 +! (g)! (j) + 3!+ (m)! (h) (k) (n)!!+! (i) (l)!+!+ (0)! jj 3.2 LimiteContinuidade Uma função y = f () é contínua no onto 0 de seu domínio quando tiver ite no onto 0 e, além disso,! 0 f () = f ( 0 ) Quando f () não for contínua no onto 0, diremos que f é descontínua em 0 e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaio se veri car ou f não estiver de nida no onto 0 ;

5 24 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS ou o ite de f () no onto 0 não eistir; ou f tiver ite em 0, mas, o valor do ite não coincidir com f ( 0 ) EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 3.2. Verdadeiro (V) ou Falso (F)? (a) f () = f () =) f é contínua em = a + (b) Se jf ()j eiste, então f () também eiste. (c) Se jf ()j = 0, então f () = 0 8 < 2. Calcule f (), onde a função f R! R é de nida or f () =! Esta função é contínua em =? 2, se 6= 3; se = 3. Seja f uma função real contínua, de nida em torno do onto a =, tal que f () = , ara 6=. Quanto vale f ()? Por quê? 4. Em cada caso, determine o valor de k, de modo que a função f () seja contínua no onto a indicado. 8 < 3 8, se 6= 2 (a) a = 2; f () = 2 k, se = 2 8 < 3, se > 0 e 6= 3 (b) a = 3; f () = 3 k, se = 3 5. Seja f a função de nida or f ( ) = 2 e f () = 2 +, ara 6= + no onto =? Por quê? E no onto = 0?. A função f é contínua 6. Dê eemlo de uma função f, de nida em R, descontínua no onto = 2, mas que satisfaça f () = f ()!2 +!2 7. Seja f uma função tal que jf ()j 2, 8 2 R. Mostre que f é continua em = 0 8. Esboce o grá co e encontre os ontos de descontinuidade da função f, de nida or ><, se 5 f () = 6 5, se < < 3 > 3, se 3

6 COMPLEMENTOS LIMITE & CONTINUDADE Em cada caso, esboce o grá co da função e diga se ela é contínua no onto a indicado. ( 8 2, se > < 2, se 6= 2 (a) a = 0; f () = (b) a = 0; f () = j 2j 2, se, se = 2 ( (c) a = ; f () = , se < 0 (d) a = ; f () = + [], se 0 NOTA No Eercício 9(d), [] reresenta o maior inteiro menor ou igual a e a função corresondente 7! [] é denominada função escada. 0. Seja f a função cujo grá co encontra-se esboçado abaio. (a) Calcule!0 f() (b) Calcule!3 f() (c) Calcule f(0) (d) Calculef(3) (e) f é contínua no onto = 0? (f) f é contínua no onto = 3? Eiste um número real caaz de fazer com que! eista? 2. Uma comanhia ferroviária cobra R$0 or km, ara transortar um vagão até uma distância de 200km, cobrando ainda R$8 or cada km que eceda a 200. Além disso, essa mesma comanhia cobra uma taa de serviço de R$.000 or vagão, indeendentemente da distância a ercorrer. Determine a função que reresenta o custo ara transortar um vagão a uma distância de km e esboce seu grá co. Essa função é contínua em = 200? 3. Uma fábrica é caaz de roduzir unidades de um certo roduto, em um turno de 8 horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que eiste um custo o de R$2.000,00, relativo ao consumo de energia elétrica. Suondo-se que, or unidade roduzida, o custo variável, dado o gasto com matéria rima e salários, é de R$2,00, determine a função que reresenta o custo total ara a fabricação de unidades e esboce seu grá co. A função encontrada é contínua ara ? 4. Um estacionamento cobra R$3 ela rimeira hora, ou arte dela, e R$2 or hora sucessiva, ou arte dela, até o máimo de R$0. Esboce o grá co do custo do estacionamento como uma função do temo decorrido e analise as descontinuidades dessa função. 5. Prove que a equação = 0 tem ao menos uma raiz no intervalo [ ; 0]

7 26 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 6. Prove que a equação = 0 admite três raízes reais e distintas. ( 2 + 2, se 2 < 0 7. Considere a função f de nida or f () = Mostre que não eiste um 2 2, se 0 2 número no intervalo [ Intermediário? 2; 2] tal que f () = 0. Isto contradiz o corolário do Teorema do valor 8. Quais das seguintes a rmações sobre a função y = f () ilustrada abaio são verdadeiras e quais são falsas? (a)!0 f() eiste. (b)!0 f() = 0 (c)!0 f() = (d)! f() = (e)! f() = 0 (f) f() eiste no onto a em ( ; ). 9. Elique or que os ites abaio não eistem. (a)!0 jj (b)! + 3 (c)! 2 ( ) ( + 2) (d)! RESPOSTAS & SUGESTÕES 3. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES. (a) 9 (b) 3=2 (c) 7 (d) =2 (e) 4 (f) =3 (g) 4=3 (h) =6 (i) (j) 4 (k) =(3 2) (l) 0 (m) (n) 32 (o) =2 () =3 f (3) f (u) (a) Com u = 3; tem-se = 3!0 u!0 u (b) Faça u = 2 f 2 uf (u) e encontre =!0 u!0 u 2. 4 e Use a relação 0 jf () g ()j M jf ()j e a roriedade do Confronto.

8 COMPLEMENTOS LIMITE & CONTINUDADE A função g () não tem ite em = 0 e!0 2 g () = 0 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) f () =5 2 =6 2 =4 f () =5 2 =6 2 = Quando! 2 + o ite eiste e vale 0. Quando! 2 o ite não eiste, orque a função não está de nida à esquerda de = 2 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) () (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 5=6 0 5=6 =2 3.2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES. (a) F (b) F (c) V 2.! f () = 2 e f () = 3 Logo, f é descontínua em a = 3. Como f é contínua em a =, devemos ter f () = 4. (a) k = 2 (b) k = 3=6 5. f é contínua em e descontínua em 0 6. Considere, or eemlo, a função f de nida assim f () =, ara 6= 2 e f (2) = 0 7. = 3 é a única descontinuidade de f 8. Use a Proriedade do Confronto. 9. (a) sim (b) sim (c) não (d) não. 0. (a) 3 (b) não eiste (c) 3 (d) 4 (e) sim (f) não.. Se = 5, o ite será 2. Se 200, o custo C () é determinado em reais or C () = O custo ara uma distância de 200 km é, ortanto, C (200) = R$3000. Se a distância ecede 200 km, isto é, se > 200, então o custo total será dado or C () = ( 200). Resumindo, temos C () = , se 0 < 200; e C () = , ara > 200 Essa função é contínua em = 200

9 28 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 3. Se , um único turno de trabalho será su cente e, assim, C () = Se 5000 < 45000, então a fábrica deverá oerar em 3 turnos e, nesse caso, C () = Nesse intervalo a função custo é descontínua. 4. As descontinuidades ocorrem nos instantes t = ; t = 2; t = 3 e t = 4 5. Basta observar que f ( ) < 0 e que f () > 0 A conclusão segue do Teorema do Valor Intermediário. 6. Use o Teorema do Valor Intermediário ara a função f (), nos intervalos [ 3; 0] ; [0; ] e [; 2] 7. Não. Como a função não é contínua em [ 2; 2], o fato não contradiz o resultado citado. 8. V, V, F, F, F, V. 9. Em cada caso, note que os ites laterais, quando eistem, são diferentes.

3.1 Cálculo de Limites

3.1 Cálculo de Limites 3. Cálculo de Limites 0. Formas Indeterminadas 0=0 = 0 0 02. Oerações com os símbolos + = = ( ) = = k = ; se k > 0 k = ; se k < 0 ( ) ( ) = ( ) = k = ; se k > 0 = ; se > 0 = 0; se < 0 k=0 = ; k 6= 0 03.

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3.1 Cálculo de Limites

3.1 Cálculo de Limites 3. Cálculo de Limites 3.A Em cada caso abaio calcule o ite de f (), quando! a (a) f () = 2 + 5; a = 7 (b) f () = 3 3 + + ; a = 0 (c) f () = 2 + 3 0 ; a = 5 (d) f () = 2 4 + 5 3 + 2 2 ; a = 2 (e) f () =

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