r m b) 1 min 5 60 s s t a 5

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1 Resolução das atividades comlementares Matemática M Trigonometria no ciclo. 0 Um atleta desloca-se à velocidade constante de 7,8 m/s numa ista circular de raio 00 m. Determine as medidas, em radianos e em graus, do arco que ele ercorre no temo de: a) 0 segundos rad e, b) minuto rad e 8 V 7,8 m/s r 00 m a) t 0 s b) min 0 s s 7,8? 0 7 m V s s V? t s 7,8? 0 s 78, m t a 7, s 78, a a a 0, 00 r , e 0, 80 e 80, r ad, 8 rad (UEL-PR) A medida do menor ângulo determinado elos onteiros de um relógio que marca 0h 0min é: a) 70 c) 0 e) 0 b) d) 0 8 a medida do ângulo edido medida do ângulo descrito elo onteiro das horas, a artir das 0h, em 0 minutos 0 min 0 0 min 0? a 80 a 70 O menor ângulo mede 70.

2 (Ceses-PE) Tomando ara a aroimação,, se um arco de circunferência mede,7 cm e o seu diâmetro, 8 cm, então o ângulo corresondente a este arco mede: a) c) e) b) 0 d) a,7. 0, rad, rad 80 0, rad 0 (UFAM) A medida do menor ângulo central formado elos onteiros de um relógio que está marcando 0h 0 min, em graus, é: a) 0 c) 0 e) b) 0 d) O ângulo formado elos onteiros das horas e minutos, resectivamente no 0 e no, corresonde a 0 ; orém, enquanto o onteiro de minutos desloca-se até o, o onteiro das horas desloca-se até a metade do arco formado entre o 0 e o, ou seja, desloca-se. Portanto, às 0h 0min os onteiros formam um ângulo de (0 ). O olígono regular da figura está inscrito na circunferência trigonométrica. Determine, em graus e em radianos, as rimeiras determinações ositivas dos ar cujas etremidades são vértices do olígono: N 0 M M 0, rad 0 80 rad rad N rad rad P rad rad Q rad rad N P y P 0 M Q Q

3 Reresente, no ciclo trigonométrico, as etremidades dos ar cujas medidas são dadas ela eressão: a) k, k Z c) 0 k? 0, k Z b) k, k Z d) 0 k? 0, k Z 8 a) c) A π A (0 ) B (80 ) D (0 ) π B C (70 ) b) d) 7π C 8 π B 8 A π 8 π D 8 A (0 ). 7 (Furb-SC) Analise o ciclo trigonométrico ao lado e determine o erímetro do retângulo MNPQ, em unidades de comrimento. A alternativa correta é: a) d) ( ) e) b) c) Analisando o ciclo trigonométrico, temos: sen 0 sen 0 N sen 0 M N P sen Portanto, o quadrilátero tem as seguintes medidas: 0 M 0 Q P Q Seus lados medem ; logo, seu erímetro será: P ( ).

4 8 (Fuvest-SP) Qual dos números é o maior? Justifique. a) sen 80 ou sen sen 80 b) ( ) ou 0 0 a) 80? 0 0 e? 0 sen 80 sen 0 sen 0. sen sen sen, orque ambos ertencem ao o quadrante, em que à medida que o ângulo aumenta, o seno diminui, ou seja, a função seno é decrescente. b) ()? ( ) , orque os ângulos ertencem ao o quadrante, em que a função seno é crescente. a) (UFAL) O valor de sen está comreendido entre: e c) b) 0 e d) e Seja a a medida, em graus, corresondente a rad, então: 80 rad., rad a rad a.? 80, a. 8 e 0 e) e y Veja na figura: 70, 8, sen 70, sen 8, sen, sen 8,, sen, 0 Simlifique as eressões: a) sen ( ) sen ( ) sen b) sen ( 00 ) ( 0 ) sen a) sen ( ) sen ( )? sen ( ) sen ( ) sen? sen ( ) sen ( ) sen sen ( ) sen ( ) sen sen sen b) sen ( 00 ) ( 0 ) 00? ? 0 80 sen ( 00 ) ( 0 ) sen ( 80 ) ( 80 ) sen

5 (UFPB) Qual o maior valor da constante real k, ara que a equação sen k ossua solução? a) 7 c) e) b) d) sen k sen k Lembrando que sen, temos: k k k 0 k 0 k, k O maior valor da constante k é. Determine o valor de k ara que eista o arco que satisfaça a igualdade sen Devemos ter: sen k Substituindo sen or k k k, vem: k k k k De (I), vem: k k k k 0 k 0 k k 0 k k (I) (II). Considerando f(k) k e g(k) k, temos: f(k) g(k) f(k) g(k) (I) { k IR k } ou k k k k De (II), vem: 0 k 0 0 k k k Considerando h(k) k e g(k) k, temos: A solução comum a ambas será: h(k) g(k) h(k) g(k) (II) { k IR } k (I) (II) (I) (II) S k IR k

6 (UFPel-RS) Ao estudar certo fenômeno, um esquisador determinou, eerimentalmente, que o mesmo ode ser descrito ela função real de variável real definida or: f() sen. a) Determine o domínio e a imagem dessa função. b) Mostre seu gráfico num sistema cartesiano ortogonal. f() sen a) sen sen sen D IR Im { IR } b) y π π π π (UFRJ) Determine os valores reais de k, de modo que a equação k admita solução. S {k IR k } k k k Devemos ter:. (II) Substituindo: k (I) (I) k k (II) k k k k (I) (II) (I) (II) S {k IR k } (UFRGS) Se f() a b? sen tem como gráfico: Então: a) a e b d) a e b b) a e b e) a e b c) a e b π f() a b sen Observando o gráfico, notamos que: f(0) [ a b? sen 0, o que nos dá a. ( )? f a b sen, o que nos dá b.

7 (Unes-SP) Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada ela eressão h(t), 0 s en (t ), em que o temo t é dado em segundos e a medida angular em radianos. a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t 0)., m b) Determine as alturas mínima e máima que seu amigo alcança e o temo gasto em uma volta comleta (eríodo). h mín, m; h má, m; s a) Sendo t 0, temos: h(0), 0? sen (0 ), 0? sen,? 0 sen, 0? sen, 0? m ( ), b) As alturas máima e mínima ocorrerão quando o seno for igual, resectivamente, a e a. Assim: Altura máima:, 0?, m Altura mínima:, 0? (), m O temo gasto em uma volta (eríodo) é dado or: s Determine m ara que seja raiz da equação tg m sen 0. tg m sen 0 tg m sen 0 ( ) m ( ) 0 m? 0 m 0 m 8 Simlifique: a) tg ( ) tg ( ) tg b) tg ( 0 ) tg (7 ) 0 a) tg ( ) tg ( ) tg ( ) tg ( ) tg ()? ()? tg ( ) tg ( ) tg [ tg ( ) tg ( ) tg tg tg b) tg ( 0 ) tg (7 ) 0? ? tg ( 0 ) tg ( 7 ) tg ( 80 ) tg ( ) tg tg 0

8 Ache o valor de m, m IR, que torne ossível a condição tg 0 m, com,. {m IR < m < } tg 0 m ;, π π tg, tg Portanto: 0 m m m IR m ( ) 0 Qual o domínio e o eríodo da função f definida or f() tg? Sendo f() tg, a condição de eistê ( ) ncia é dada or: D IR k, k Z ; k k k k D IR { k, k Z } (Período) ( )? Qual o eríodo da função f definida or f() tg f() tg ( ) tg(): k f():

9 Determine o domínio das funções: a) y tg ( ) { IR 7 k} b) y tg ( ) IR k a) y tg ( ) b) y tg ( ) A condição de eistência é: 0 k? 80 k? 0 k? 80 7? k k? D { IR 7 k? } k? D IR k { } Ache a, de modo que tg a a a e a, Esquema: tg. a IR a, ou a. π a, tg a. 0 Logo, a a. 0 a a Raízes: a π a 0 a a a IR a, ou a. (UFAM) Qual das eressões a seguir é idêntica a sec sen? a) tg c) tg e) sec sec b) sen sec d) sen sec sen ( ) sen tg

10 Ache o domínio das funções: a) f() sec ( ) IR k, k Z b) y sec ( 80 ) { IR 0 0 k, k Z} a) f() sec ( ) Devemos ter: k? k k D IR k {, k Z } b) y sec ( 80 ) Devemos ter: k k 0 0 k D { IR 0 k? 0, k Z} k Ache k, de modo que cotg a k 7k 0 e a ]70, 0 [. Esquema: 0 cotg {k IR, k, } 0 a ]70, 0 [ cotg a, 0 Logo, k 7k 0, 0 70 Raízes: k 7k 0 0 k k {k IR, k, } ( ) ual a: 7 (Cefet-PR) Se a eressão f()? sec () (8), então f é ig a) c) e) b) 0 d) f()? sec () (8) f (? ) sec 8 sec ( ) ( )?? 0

11 8 (Fuvest-SP) Se tg, com,,, determine o valor de y sen. tg ;,, y sen sen tg sen sen sen sen ( ) y sen y (UCSal-BA) Sendo sec e um arco do o quadrante, então o valor do sen é: a) c) b) d) sec sen sen sen o_ Como é do quadrante, sen. e) 0 (Uniube-MG) O valor da eressão tg tg quando sen e,, é: a) 7 c) e) 7 b) 7 d) sen e,, sen Como,,,. sen tg tg? tg 7 7 ( )

12 (UFSM-RS) Sabendo-se que cotg e 0,,, ode-se afirmar que o valor de sen é: a) c) e) 0 b) d) cotg sen sen sen ( sen ) sen sen sen Como 0, sen,,. (UFSC) Qual o valor numérico da eressão y ( ) y tg sen cotg? sec sec 8 y tg sen cotg? sec sec 8 ( ) ara tg sen cotg? sec sec 8, tg sen cotg? sec sec?? 0 0? (PUC-SP) Sabendo que sec sen tg. 0 sec sen sen 0,, sen tg tg sen tg?? 0 e é do rimeiro quadrante, calcule o valor da eressão

13 (ITA-SP) Sabendo que u e u, 0, calcule o valor da eressã 7 tg o tg u. tg u u 7 ; tg u, 0 sen u. 0 e, u, sen u u sen u 0 sen u 0 0 sen u sen u 7 0 tg u 0 u tg u (MACK-SP) Se e y são as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, tais que y, então a diferença y é igual a: a) c) e) 7 b) 0 d) 0 (UEL-PR) Para qualquer número real, sen ( ) é igual a: a) sen c) (sen ) ( ) e) b) sen d). 8 tg u tg u (UFAM) O seno do arco de medida é igual a: a) c) e) b) d) 0 Sendo e y medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, temos: sen y. Logo:? y? sen sen sen sen sen sen sen sen 0 Sendo y 0, sabemos que y 0 ; ortanto, a diferença y ( ) en sen sen? sen? s? 0? (80 7 ) 80? 7 sen 80? sen 7 ()? 7 0? sen 7 7 ( 0 ) (? 0 sen? sen 0 )?? 0

14 8 (UFAL) Se sen a b, a,, b,, sen, e, qual é o valor de sen (a b)? sen a, sen b, a, e, b,, Temos: a sen a a e b sen b b sen ( a b) sen a? b sen b? a ( ) ( ) sen ( a b)?? (UFRN) A eressão sen (a b)? sen (a b) é equivalente a: a) b a c) b a e) sen (a b ) b) sen b sen a d) sen b sen a sen (a b)? sen (a b) (sen a b sen b a) (sen a b sen b a) sen a b sen a sen b a b sen a sen b a b sen b a sen a b sen b a ( a) b ( b) a b a? b a a? b b a 0 (UFOP-MG) Num triângulo ABC, retângulo em B, os catetos AB e BC medem ( ) e, resectivamente. Seja D um onto de AB tal que DB BC. Se a e b são, ^ resectivamente, as medidas de BAC e BD^ C, calcule tg ( a b). A D C B tg ( a b) tg a A tg a tg b tg a? tg b? ( ) tg b ( ) ( ) C B tg ( a b) ( ) ( )? ( ) ( )? ( ) ( ) a b tg ( )

15 D (Unes-SP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD cm, a medida ^ ^ do ângulo ABD é a 0, a medida do ângulo AED é b e BE. Determine: a) a área do triângulo BDE, em função de ; cm A E b) o valor de, quando b 7. ( ) cm a) Considerando a medida em centímetros, a área do triângulo BDE é dada or: ^ S? BD? BE? sen ( DBE ) S??? sen 0 S??? S cm b) Nas condições roostas, temos a figura seguinte: D 7 A E 0 C B 0 Alicando a Lei dos Senos no triângulo BDE, temos: sen 0 sen Lembrando: sen 0 sen ( 0 ) sen 0? sen 0?? Daí: ( ) ( ) cm (UFPE) Sabendo que y rad, calcule o valor da eressão (sen sen y) ( y). y rad (sen sen y) ( y) sen sen sen y sen y y y ( sen sen y y) ( y)? C B (UFG) Se sen u, então u vale: a) c) e) b) d) u u sen u u sen u u? u

16 u (Fuvest-SP) Se tg u, então o valor de é: sen u a) c) e) b) d) u sen u u sen u u sen u sen u u u sen u u u tg u u u tg u u u ( tg u)( tg u) tg u sec tg tg tg u u ( ) tg tg (UFU-MG) Se a é um número do intervalo 0,, tal que tg a, determine a e sen a. a e sen a tg a a 0, sen a a sen a a sen a a a a a a a a sen a a sen a sen a sen a? a (I) a a sen a (II) (II) sen a sen a sen a (I) sen a? a?? a sen a sen a a a? 0 a a. 87 Se sen, calcule sen. Sugestão: eleve os dois membros ao quadrado. sen sen 8 (sen ) sen sen sen sen 8 8

17 7 (FGV-SP) Reduza a eressão ( sen ) à eressão mais simles ossível. sen sen ( 0 ) sen? 0 sen 0? sen?? ( 0 )? 0 sen? sen 0?? sen sen (sen ) 8 (UFMA) Se ( ) e 0,,, então sen é: a) c) e) b) d) sen sen sen sen,,, 0 sen Se sen a, com 0, a,, calcule o valor de sen a sen a 0 a a, a, sen a a a a a

18 0 (UFES) Sabendo que sen u e u o _ quadrante, calcule tg u. sen u u u o_ u u o_ Q Q u ( ) tg ( ) (Unicam-SP) De uma raia, um toógrafo régua observa uma equena escara sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de m de m comrimento. Usando seu teodolito, o toógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que assa elo teodolito e o segmento de 0 7 reta que une o teodolito ao too da régua é de 0, escara enquanto o ângulo formado entre a mesma reta, m vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 7. Sabendo que o teodolito está a uma altura de, m do nível da base da escara, resonda às questões a seguir: a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que assa elo teodolito e a régua sobre a escara? b) Qual a altura da escara? (, ) m a) ( ) m Observe a figura: A régua 0 m B O C escara, m D Pela figura, observamos que OC é a distância, em metros, entre a reta vertical que assa elo teodolito do observador e a escara. No triângulo retângulo OCA, temos: sen 0 OC OA ^ Sendo OB a bissetriz intern a do ângulo AOC, odemos alicar o Teorema da Bissetriz Interna: OC CB CB CB m OA AB 0 tg AC? OC OC m OC OC Concluindo: a distância entre a vertical e a régua é OC m, e a altura da escara é B CD BC, m. 8

19 . Resolva a equação sen. k sen sen sen sen sen k ou sen k S IR k ou k, k Z IR ou k, k Z π sen π Se 0 < <, qual o conjunto solução da equação ( )? 0 < < ( ) 0 y y y 0 y, (não serve) y 8 ou 8 8 y y ( ) 0 sen S π 0 π 0 { }

20 (UFG) Determine todo, no intervalo [0, ], que satisfaz a equação. ( ) ( ) 0 ( ) ou 0 ou 0 ou ou S {,,, },,, Sabendo que tg e que,, calcule o valor de A, sendo A sen. cotg 0 tg ;, tg, 0 cotg tg tg tg 0 tg cotg sen Portanto, sen. Assim, A sen 0. (Faa-SP) Resolver, no intervalo 0 <,, a equação sen 0. 0 < < sen 0 sen sen 0 sen sen 0 sen y y y 0 y (não serve) y S sen { } 0

21 7 (Unes-SP) Seja a eressão: f() sen () cotg (), considerando o conjunto dos reais. a) Encontre o valor de f() ara. b) Resolva a equação f() 0. S IR ou k k, k Z a) f() sen () cotg () f ( sen )? ( ) ( ) sen ( ) b) f() 0 sen () cotg () 0? sen? 0 sen sen ( sen ) 0 0 sen sen S sen 0 (I) ( ) sen 0 De ( I), vem: 0 k ou 0,, sen 0 sen sen Desse modo: S IR k k { ou, k Z } 8 (UFPR) Resolva a equação trigonométrica sen 0, no intervalo fechado [0, ]. 0, {, } sen 0; [0, ] (sen ) () sen sen sen sen 0 sen 0 sen 0 ou 0 0 ou (não serve) ou ou (não serve) k (UFRJ) A equação u sen u 0 ossui raízes reais iguais. Determine u, 0 < u <. u ou ou ou 7 Como a equação do o grau deve aresentar raízes iguais, devemos ter discriminante nulo, ou seja, D 0. Daí: b ac 0 ( u)?? sen u 0 u? sen u 0 u? ( u) 0 u u 0 8 u u u. Os valores de u que satisfazem a igualdade acima são: ou ou ou 7.

22 0 (PUC-PR) O número de raízes reais distintas da equação 7 0, com 0 < < é: a) c) e) b) d) 0 Considerando a equação do enunciado e fazendo a, teremos uma equação biquadrada na variável a: a 7a 0. A solução dessa equação é S,,, ; orém, como a, os valores, e não são convenientes. Logo, ou. Os valores que satisfazem essas igualdades são:,,,. Obs.: O gabarito oficial da PUC aresenta como resosta a alternativa a. (Unes-SP) A temeratura, em grau Celsius ( C), de uma câmara frigorífica, durante um dia comleto, da 0 hora às horas, é dada aroimadamente ela função: f(t) horas: 0, C; ( t t, 0 t, ) ( ) com t em horas. Determine: horas: 0,7 C a) a temeratura da câmara frigorífica às horas e às horas ( use as aroimações, e,7); b) em quais horários do dia a temeratura atingiu 0 C. 0 h, 8 h, h, h a) Sendo f(t)? t? t, ( ) ( ) temos: ( ) ( ) ( ) s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f()?? co 0,8 0, 0, C f()?? 0 0,7 C b) Para que a temeratura seja 0 C, devemos ter: (? t?? c ) ( t t ) 0 ( ) os (? t )? t? t k t t k t k, k Z ou? t? t k t t k t 8k, k Z t 8k, k Z Sabendo que 0 < t < 0 < 8k < 0 < k < ; logo, k ode ser 0,, ou. Daí, t 0 h, t 8 h, t h ou t h.

23 (UFRGS) O conjunto solução da equação sen 0 é: a) k c) e) ; k Z k ; k Z k ; k Z b) k ) ; k Z k d ; k Z sen 0 sen sen sen sen sen ( ) ( ) Considerando k Z, temos: k 0 k (absurdo), ou ( ) k k k k (Fuvest-SP) Determine todos os valores de ertencentes ao intervalo [0, ] que satisfazem a equação 7 sen.,,,,, 7,, sen sen sen 0 ( ) 0 0 k k, k Z ou k k, k Z Para o intervalo [0, ], temos: S 7 7,,,,,,, Lembrete: sen sen sen sen

24 Sendo 0 < <, determine a soma das raízes da equação log ( ) log (sen ) 0. ou 0 log ( ) log (sen ) 0 log 0 sen sen 0 sen sen sen sen 0 Temos: sen y y y 0 sen 0 sen sen 0 y 8 y y sen ou sen ou (não serve) (ITA-SP) O conjunto solução de (tg ) ( cotg ), a) k, k Z d) k {, } { k Z 8 } b) k {, k Z } e) { k, k Z } { k k Z } c), sen? k, k Z, é: sen (tg )? ( cotg ) sen ( )? sen sen Lembrete: () sen sen () sen? ( ) sen? sen? ( ) () cotg ( ) (? sen? ) sen () cotg() k cotg() ou cotg() k Logo: k 8, k Z.

25 (UENF-RJ) Uma oulação P de animais varia, aroimadamente, segundo a equação abaio: (t ) P sen Considere que t é o temo medido em meses e que o de janeiro corresonde a t 0. Determine, no eríodo de o de janeiro a o de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a oulação de animais atinge: a) um total de 70; março e novembro b) seu número mínimo. janeiro a) P ? ( sen t ) sen ( t ) ( t ) ou ( t ) ( 00? sen t ) k t k t k k t 0 (novembro) k t k t k k 0 t ( março) b) A oulação será mínima quando o seno for máimo. Logo: sen ( t ) ( t ) k t k t k k 0 t 0 ( janeiro ) k t ( janeiro ) 7 Resolva a inequação tg., ara 0. Sabendo que tg, temos: S IR,, ou,, π π π 0 Observando o gráfico, vemos que a solução da inequação é: tg ou.,,,, S { IR,,,, ou } π π

26 8 Sendo [0, [, resolva: tg,. tg tg, ; [ 0, [ tg tg tg, 0 tg tg, 0 tg y y tg, 0 y f(y) y e g(y) y IR 0,,,, ou { } f(y) g(y) 0 0 y 0 tg f( y) g( y) 0 π sen π tg 0 S IR 0,, { ou,, } π (FEI-SP) Resolva a inequação sen sen 0. IR k ou k k, k Z sen sen 0 Mas sen, ortanto: sen sen sen 0 sen sen 0 sen ou sen (I) (II) π sen π (I) sen k (II) sen k k Os valores de (I) não estão imlícitos na resosta de (II). Daí: S IR k ou k k, k Z

27 70 Resolva a inequação. 0, sendo [0, [. IR 0, ou,,. 0; [0, [ Fazendo y, tem-se: y (I) y y. 0 (II) f(y) y y raízes: y ou y y π sen (I) (II) (I) (II) 0, y, S π IR 0, ou,, 7 (Unicam-SP) Ache os valores de, com 0 < < 0, tais que sen 0. { IR 0 < < 0 } sen 0; 0 < < 0 ( sen ) sen 0 sen sen < 0 Fazendo sen y, tem-se: y (I) y y 0 (II) f(y) y y raízes: y ou y y (I) (II) (I) (II) y sen S { IR 0 < < 0 } 7