Aula 8 Distância entre pontos do plano euclidiano

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1 Distância entre pontos do plano euclidiano MÓDULO - AULA 8 Aula 8 Distância entre pontos do plano euclidiano Objetivos Nesta aula, você: Usará o sistema de coordenadas para calcular a distância entre dois pontos. Descreverá, lugares geométricos mais simples, com o uso de coordenadas e distância. Um sistema de coordenadas permite representar graficamente objetos geométricos no plano, mas também permite a realização de medidas. Estas medidas podem ser as mais simples como a distância entre dois pontos, áreas de polígonos regulares, atéáreas de regiões mais complicadas do plano como interseções de figuras. Tudo, até onde o limite do método não cause sofrimento! ara situações mais compleas, temos que recorrer a ferramentas mais sofisticadas. A mais importante destas sendo as técnicas do Cálculo Diferencial e Integral e que será assunto de nossas próimas aulas nos Módulos e3. Distância entre dois pontos da reta Recorde da aula anterior que a distância entre dois pontos A e B sobre aretarealé dada pelo valor absoluto da diferença entre as coordenadas dos pontos. Assim, se A tem coordenada a e B tem coordenada b, então a distância entre A e B, que escrevemos como d(a, B) é d(a, B) =AB = b a = (a b). a - b A a B 0 b IR Figura 8.: Distância na reta. 87 CEDERJ

2 Método Determinístico Distância entre pontos do plano euclidiano Distância entre dois pontos do plano Considere dois pontos =(, )eq =(, ). A distância entre e Q é o comprimento do segmento Q. Em termos das coordenadas dos pontos, a distância d(, Q) édadapelaequação d(, Q) =Q = ( ) +( ). (8.) Vamos ver porque esta fórmula funciona. Considere quatro casos: a) Os pontos e Q coincidem. Isto é, = e =. Neste caso, a distância é zero. Este resultado écompatível com a fórmula (8.) da distância. b) Os pontos e Q são distintos e situados numa reta paralela ao eio. Isto é, e =. Veja a Figura 9., à esquerda, onde os pontos e Q definem um segmento paralelo ao eio. Como, Q, e são vértices de um retângulo então Q = = ( ). ortanto, a fórmula (8.) éválida, neste caso. = Q Q = Figura 8.: DistâncianoplanoI. c) Os pontos e Q são distintos e situados numa reta paralela ao eio. Istoé, = e. Este caso é similar ao anterior e aparece representado na Figura 9. à direita. Temos que Q = = ( ). De novo a fórmula (8.) continua válida. CEDERJ 88

3 Distância entre pontos do plano euclidiano MÓDULO - AULA 8 d) Os pontos e Q são distintos, e. Este éocasogeral eestárepresentadonafigura 9.3. A 0 B Q Figura 8.3: Distância no plano II. Note que e Q são vértices opostos de um retângulo cujos ladosmedem e. Aplicando o Teorema de itágoras ao triângulo retângulo A Q, encontramos que Q = + =( ) +( ) ou que éafórmula (8.). d(, Q) =Q = ( ) +( ), Eemplo a) A distância entre os pontos =(3, ) e Q =(, 6) é, d(, Q) = (3 ) +( 6) = +( 4) = 4+6 = 0 = 4 5 = 5. b) A distância entre os pontos =(, 3) e Q =( 7, 7) é d(, Q) = [ ( 7)] +[3 ( 7)] = 6 +0 = 36 = 4 34 = CEDERJ

4 Método Determinístico Distância entre pontos do plano euclidiano Eemplo Quais são os pontos do plano equidistantes dos pontos A = (, 0) e B =(, 3). Solução Se =(, ) é um ponto arbitrário e equidistante de A e B, então d(, A) =d(, B) ( +) + = ( +) +( 3). Desenvolvendo ambos os membros da última igualdade, vem que Logo ( +) + =( +) +( 3) =( 3) 0= 6 +9 d(, A) =d(, B) = 9 6 = 3. ortanto, o conjunto S dospontosequidistantesdea e B verificam { S = (, ) R ; = 3 }. Ora este conjunto S é uma reta paralela ao eio a uma altura = 3.Veja a Figura / s Figura 8.4: Reta =3/. Atividade 8. Calcule a distância do ponto A =(, 3) até oeio. Atividade 8. Encontre os pontos do eio que estão àdistância do ponto (, ). Eemplo Quais são os pontos do plano equidistantes dos pontos A = (, 0) e B =(0, )? Solução : Se =(, ) é um ponto arbitrário equidistante de A e B, então d(, A) =d(, B) ( +) + = +( +). CEDERJ 90

5 Distância entre pontos do plano euclidiano MÓDULO - AULA 8 Isto é, Logo, ( +) + = +( +) = =. Então o conjunto S, S = {(, ) R ; = } são todos os pontos equidistantes dos pontos A =(, 0) e B =(0, ). Confira na Figura 8.5 que S é a reta bissetriz comum ao ângulo formado pelos eios positivos do sistema de coordenadas. s 4 B - A - Figura 8.5: Bissetriz dos eios coordenados. Eemplo Um círculo S r no plano de raio r>0 e com centro no ponto C =(a, b) é descrito pela equação, S r = {(, ); + a b = r a b }. Veja como encontrar este resultado, acompanhando pela Figura 8.6. S r b C a Figura 8.6: Um círculo no plano. 9 CEDERJ

6 Método Determinístico Distância entre pontos do plano euclidiano Adistância de um ponto =(, ) até o centro C =(a, b) é constante e igual a r. Então d(, C) =r ( a) +( b) = r. Agora, elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade e isolando os termos independentes no segundo membro encontramos + a b = r a b. Atividade 8.3 Encontre a equação do círculo de raio com centro no ponto C =(, ). Eercícios 8.. Numa reta com coordenadas, (a) determine todos os números reais tais que d(, ) = 3 (b) eiste algum número real tal que d(, ) = d(, 5)? (c) determine todos os números reais tais que d(, ) d(, 8) (d) determine o conjunto de números reais para os quais vale a igualdade d(, ) = d(, 4) 8.. Os pontos A = (, 0) e C = (, 3) são vértices opostos de um quadrado ABCD. (a) Calcule o comprimento da diagonal do quadrado. (b) Encontre as coordenadas dos outros vértices B e D Encontre um ponto =(0,a)sobreoeio e equidistante dos pontos A =(, 3) e B =(3, 0) Encontre a equação de um círculo situado no terceiro quadrante, de raio r = e que tangencia o eio no ponto A =(0, 3) Determine o centro C eoraior do círculo + + 3= Considere o círculo + 4 = 0. a) Determine o centro C eoraior do círculo. b) Encontre as coordenadas dos pontos A e B, onde o círculo encontra oeio. CEDERJ 9