Função par e função ímpar

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Deartamento de Matemática Alicada Universidade Federal Fluminense Função ar e função ímar Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Função ar Definição Função ar O gráfico de uma função ar é simétrico com relação ao eio! Uma função real f : D C é ar se f ( ) =f (), D. Eemlo de função ar: f () =1 4. De fato: ara todo R, f ( ) =1 ( ) 4 = 1 4 = f (). Note que a definição de função ar ressuõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se ertence a D, então também deve ertencer a D. Parte 3 Pré-Cálculo 3 Parte 3 Pré-Cálculo 4

2 Função ímar Função ímar Definição O gráfico de uma função ímar é simétrico com relação à origem! Uma função real f : D C é ímar se f ( ) = f (), D. Eemlo de função ímar: f () = 5 +. De fato: ara todo R, f ( ) =( ) 5 +( ) = 5 = ( 5 + ) = f (). Note que a definição de função ímar ressuõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se ertence a D, então também deve ertencer a D. Parte 3 Pré-Cálculo 5 Parte 3 Pré-Cálculo 6 Observações Observações Eistem funções que não são ares e nem ímares: f () =2 3. De fato: f ( 1) =3 1 = f (1) e f ( 1) =3 1 = f (1). Eiste um função que seja ar e ímar ao mesmo temo? Sim! A função identicamente nula definida em R! Toda função definida em R se escreve como soma de uma função ar e uma função ímar: f () = f ()+f( ) {{ 2 ar + f () f ( ). {{ 2 ímar Parte 3 Pré-Cálculo 7 Parte 3 Pré-Cálculo 8

3 Eercício A função = f () = definida em R {0 é ar? Ela é ímar? Justifique sua resosta! Solução. A função f é ímar, ois f ( ) = ( )2 3 ( ) 3 = = f (), ara todo R {0. A função não é ar, ois f ( 1) =2 2 = f (1). Modelagem, máimos e mínimos de funções reais Parte 3 Pré-Cálculo 9 Parte 3 Pré-Cálculo 10 Motivação: o roblema da caia Motivação: o roblema da caia Você foi contratado or uma emresa que fabrica caias sem tama. Cada caia é construída a artir de um folha retangular de aelão medindo 30 cm 50 cm. Para se construir a caia, um quadrado de lado medindo cm é retirado de cada canto da folha de aelão. 30 cm 50 cm Deendendo do valor de, diferentes caias (com diferentes volumes) odem ser confeccionadas. O roblema é determinar o valor de a fim de que a caia corresondente tenha o maior volume ossível. Parte 3 Pré-Cálculo 11 Parte 3 Pré-Cálculo 12

4 O roblema da caia O roblema da caia 30 cm 50 cm Aqui, = f () = (30 2 )(50 2 ) = e A =(0, 15). Parte 3 Pré-Cálculo 13 Parte 3 Pré-Cálculo 14 Etremos globais Definição Seja f : D C uma função e seja A um subconjunto do domínio D. (1) Dizemos que A é um onto de máimo global (ou máimo absoluto) def em A se f () f (), A. Neste caso, f () é denominado de valor máimo da função f em A. (2) Dizemos que A éumonto de mínimo global (ou mínimo absoluto) de f em A se f () f (), A. Neste caso, f () é denominado de valor mínimo da função f em A. (3) Dizemos que A éumetremo global (ou etremo absoluto) def em A se é um onto de máimo global ou é um onto de mínimo global de f em A. Etremos locais Definição Seja f : D C uma função e seja A um subconjunto do domínio D. (1) Dizemos que A éumonto de máimo local (ou máimo relativo) de f em A se eiste um intervalo aberto I, com I e f () f (), I A. (2) Dizemos que A éumonto de mínimo local (ou mínimo relativo) de f em A se eiste um intervalo aberto I, com I e f () f (), I A. (3) Dizemos que A éumetremo local (ou etremo relativo)def em A se é um onto de máimo local ou é um onto de mínimo local de f em A. Parte 3 Pré-Cálculo 15 Parte 3 Pré-Cálculo 16

5 Eemlo: = f () = , A =[ 1, 4] O onto de máimo global de f em A é = 1. Eemlo: = f () = , A =[ 1, 4] O onto de mínimo global de f em A é = Parte 3 Pré-Cálculo 17 Parte 3 Pré-Cálculo 18 Eemlo: = f () = , A =[ 1, 4] Os ontos de máimo local de f em A que não são globais são = 1eq = 4. Eemlo: = f () = , A =[ 1, 4] O onto de mínimo local de f em A que não é global é = Parte 3 Pré-Cálculo 19 Parte 3 Pré-Cálculo 20

6 Eemlo: = f () =, A =( 1, +1) A função f não ossui etremos locais nem etremos globais em A. Calcular os etremos de uma função ode ser difícil! Quais são os etremos da função f abaio? 1 f () = = 15 3 ( ) = é onto de mínimo global de f em R. 6 A função f não ossui outros etremos globais em R. 1 A discilina de Cálculo ensinará novas ferramentas ara se resolver questões deste tio! Parte 3 Pré-Cálculo 21 Parte 3 Pré-Cálculo 22 Calcular os etremos de uma função ode ser difícil! f () = Módulo (ou valor absoluto) de um número real: a função modular Parte 3 Pré-Cálculo 23 Parte 3 Pré-Cálculo 24

7 Módulo (ou valor absoluto) de um número real Definição f () = = Eemlos: {, se 0,, se < 0. Módulo (ou valor absoluto) de um número real Mais eemlos: 1 2 = 2 1, π 3.14 = π 3.14, = 2 + 1, = {, se 0,, se < 0, 2 = 2, 2 = 2, 0 = 0, 2 = 2, 1 = { 1, se 1, + 1, se < = = { { 2 1, se 2 1 0, ( 2 1), se 2 1 < 0, 2 1, se 1ou 1, 2 + 1, se 1 < < 1. Parte 3 Pré-Cálculo 25 Parte 3 Pré-Cálculo 26 Módulo (ou valor absoluto) de um número real Proriedades a R, a 0. Além disso, a = 0 a = 0. Observação: a = b a = b ou a = b. a = b b 0e(a = b ou a = b). = = {, se 0,, se < 0, se > 0, 0, se = 0,, se < 0. = {, se > 0,, se 0 a, b R, a b = a b. a R, b R {0, a/b = a / b. < a a < < a. Vale também que a a a. > a < a ou > a. Vale também que a a ou a. a, b R, a + b a + b (desigualdade triangular). a, b R, a b a b. Parte 3 Pré-Cálculo 27 Parte 3 Pré-Cálculo 28

8 Proriedade [PM01]: demonstração a R, a 0. Além disso, a = 0 a = 0. Proriedade [PM02]: demonstração a = b a = b ou a = b. Demonstração. Se a R, então, ou a > 0, ou a = 0oua < 0. Se a > 0, então a = a > 0. Se a = 0, então a = 0. Se a < 0, então a = a > 0 (ois se a < 0, então a > 0). Em todos os três casos, a 0. Vamos agora demonstrar que a = 0 a = 0. ( ) Suonha, or absurdo, que eista a R tal que a = 0 e a 0. Se a = 0, então a > 0oua < 0. Nos dois casos, a > 0, uma contradição. Portanto, vale que a = 0 a = 0. ( ) Se a = 0, então, or definição, a = 0. Demonstração. ( ) Sejam a, b R tais que a = b. Vamos dividir a rova em vários casos, de acordo com os sinais de a edeb. Em todos eles, veremos que a = b a = b ou a = b. a = 0e a = b b = a = 0 b = 0ea = 0 a = b. b = 0e a = b a = b = 0 a = 0eb = 0 a = b. a > 0, b > 0e a = b a = b. a > 0, b < 0e a = b a = b. a < 0, b > 0e a = b a = b a = b. a < 0, b < 0e a = b a = b a = b. ( ) Se a = b, então a = b. Sea = b, então { b, se b 0, a = b = ( b), se b < 0 = { b, se b 0, b, se b > 0 = b. Parte 3 Pré-Cálculo 29 Parte 3 Pré-Cálculo 30 Proriedade [PM03]: demonstração a = b b 0e(a = b ou a = b). Proriedade [PM04]: demonstração a, b R, a b = a b. Demonstração. ( ) Sejam a, b R tais que a = b. Por [PM01], b 0. Portanto, b = b. Sendo assim, a = b a = b. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = b. ( ) Por [PM02], se a = b ou a = b, então a = b. Como b 0, b = b. Logo, a = b. Demonstração. Vamos dividir a rova em vários casos, de acordo com os sinais de a e de b. a = 0 a b = 0e a = 0 a b = 0e a b = 0 a b = a b. b = 0 a b = 0e b = 0 a b = 0e a b = 0 a b = a b. a > 0eb > 0 a b > 0e a = a e b = b a b = a b = a b. a > 0eb < 0 a b < 0e a = a e b = b a b = a b = a ( b) = a b. a < 0eb > 0 a b < 0e a = a e b = b a b = a b =( a) b = a b. Observação. A sentença a = b a = b ou a = b é verdadeira! a < 0eb < 0 a b > 0e a = a e b = b a b = a b =( a) ( b) = a b. Em todos os casos, vemos que semre a b = a b. Mas sua recíroca é falsa! (Eercício!) Parte 3 Pré-Cálculo 31 Parte 3 Pré-Cálculo 32

9 Proriedade [PM05]: demonstração a R, b R {0, a/b = a / b. Proriedade [PM06]: demonstração < a a < < a. Vale também que a a a. Demonstração. Vamos mostrar rimeiro que b R {0, 1/b = 1/ b. Se b > 0, então 1/b > 0e b = b. Portanto, 1/b = 1/b = 1/ b. Seb < 0, então 1/b < 0e b = b. Portanto, 1/b = 1/b = 1/( b) = 1/ b. Mostramos assim que 1/b = 1/ b ara todo b 0. De osse deste resultado e usando [PM04], temos que a R e b R {0, a b = a 1 a b = 1 b = a 1 b = a b. Demonstração. Vamos demonstrar que < a a < < a. A demonstração de que a a a fica como eercício. Se a 0, então a equivalência é verdadeira or vacuidade: não eiste nenhum número real tal que < a, como não eiste nenhum número real tal que a < < a, quando a 0. Suonha então que a > 0. Temos então que < a ( < 0e = < a) ou ( 0e = < a) ( < 0e > a) ou ( 0e < a) a < < 0 ou 0 < a a < < a. Parte 3 Pré-Cálculo 33 Parte 3 Pré-Cálculo 34 Proriedade [PM07]: demonstração > a < a ou > a. Vale também que a a ou a. Proriedade [PM08]: demonstração a, b R, a + b a + b (desigualdade triangular). Demonstração. Vamos demonstrar que > a < a ou > a. A demonstração de que a a ou a fica como eercício. Se a < 0, então > a R e < a ou > a R. Logo, se a < 0, então > a < a ou > a. Se a = 0, então > a R {0 e < a ou > a R {0. Logo, se a = 0, então > a < a ou > a. Suonha então que a > 0. Temos então que > a ( < 0e = > a) ou ( 0e = > a) ( < 0e < a) ou ( 0e > a) < a ou > a. Demonstração. Observe que, ara todo R, (eercício). Assim: a a a e b b b (eercício da lista) (eercício da lista) a b a + b a + b ( a + b ) a + b a + b [PM06] [PM06] a + b a + b. Parte 3 Pré-Cálculo 35 Parte 3 Pré-Cálculo 36

10 Proriedade [PM09]: demonstração Interretação geométrica a, b R, a b a b. Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que a = b +(a b) b + a b a b a b e b = a +(b a) a + b a = a + a b a b a b. Desta maneira: a b a b e a b a b. Segue-se então, or [PM06], que a b a b. E D A C B d(a, B) =+2 d(b, C) =+1 d(b, E) =+5 d(d, E) =+2 Parte 3 Pré-Cálculo 37 Parte 3 Pré-Cálculo 38 Interretação geométrica Duas roriedades imortantes a b < a a < < a > a < a ou > a d(a, b) = { b a, se b a, a b, se b < a = b a. Para justificar estas roriedades, lembre-se que = 0 é a distância entre e0. Moral: b a reresenta a distância entre os números a e b na reta numérica. a a 0 Parte 3 Pré-Cálculo 39 Parte 3 Pré-Cálculo 40

11 Alicação Alicação Resolva a desigualdade < 2. Resolva a desigualdade > {{ 2 < 2 2 < 3 + {{ 2 < < 2 < < 2 < < < 1 2 S = ] 5 [ 2, {{ + 5 > 3 2 {{ + 5 < 3 ou 2 {{ + 5 > 3 2 < 3 5 ou 2 > < 8 ou 2 > 2 < 4 ou > 1 S =], 4[ ] 1, + [ Parte 3 Pré-Cálculo 41 Parte 3 Pré-Cálculo 42 Alicação Resolva geometricamente a desigualdade + 1 < = ( 1) é a distância de a 1. 2 é a distância de a2. Se ( 1) < 2, então a distância de a 1 deve ser menor do que a distância de a2. 1/ S = ], 1 [. 2 Parte 3 Pré-Cálculo 43