Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula de maio de 2010 Aula 11 Pré-Cálculo 1

2 A função raiz quadrada f : [0, + ) [0, + ) x y = f (x) =x 2 Já demonstramos que f : [0, + ) [0, + ) é injetiva. A função raiz quadrada Já mencionamos que f : [0, + ) [0, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise). Logo f : [0, + ) [0, + ) é bijetiva e, portanto, inversível. A função inversa f 1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos a notação x para representar f 1 (x). Note então que, se a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. Aula 11 Pré-Cálculo 2 Aula 11 Pré-Cálculo 13 Explicando... A função raiz quadrada Se a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado ao quadrado, dá o número real a. f : [0, + ) [0, + ) x y = f (x) =x 2 f 1 : [0, + ) [0, + ) x y = f 1 (x) = x a 0, pois como vamos calcular a = f 1 (a), a deve estar no domínio de f 1, que é igual ao contradomínio de f, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, + ). a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f 1 não seria uma função. a 0, pois a = f 1 (a) pertence ao contradomínio de f 1, que é igual ao domínio de f, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, + ). a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois ( a) 2 =(f 1 (a)) 2 = f (f 1 (a)) = (f f 1 )(a) =a. (Ir para o GeoGebra) Aula 11 Pré-Cálculo 35 Aula 11 Pré-Cálculo 36

3 Propriedades a R, a 2 = a. a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b. a R, a 2 = a. Demonstração. Considere o número p = a. Como vimos, p = a 0. Vale também que p 2 = a 2 = a 2. De fato: se a 0, então a 2 = a a = a a = a 2 e, se a < 0, então a 2 = a a =( a) ( a) =a 2. Como a 2 éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a 2, segue-se que a 2 = p = a. a 0, b > 0, a a a a b = e a 0, b < 0, b b =. b A função raiz quadrada é crescente: a, b 0, a < b a < b. a, b 0, a + b a + b. Aula 11 Pré-Cálculo 42 Aula 11 Pré-Cálculo 59 a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b. a 0, b > 0, a b = a b e a 0, b < 0, a a b =. b Demonstração. Considere o número p = a b. Note que p = a b 0 como produto de dois números 0. Vale também que p 2 =( a b) 2 = a b. De fato: p 2 =( a b) 2 =( a) 2 ( b) 2 = a b. Como a b éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a b, seguese que a b = p = a b. A demonstração de que a, b 0, a b = a b fica como exercício. Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a b 0 como divisão de um número 0 por um número > 0. Vale também que p 2 =( a/ b) 2 = a/b. De fato: ( ) 2 a p 2 = = ( a) 2 b ( b) = a 2 b. Como a/b éoúnico número real 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, seguese que a/b = p = a/ b. a 0, b < 0, a/b = a/ b fica como exercício. Aula 11 Pré-Cálculo 72 Aula 11 Pré-Cálculo 85

4 A função raiz quadrada é crescente: a, b 0, a < b a < b. a, b 0, a + b a + b. Demonstração. Sejam a, b 0 com a < b. Note que b > 0, b > 0, b a > 0e b + a > 0. Uma vez que podemos escrever que (b a) =( b a) ( b + a), b a = b a b + a. Assim, b a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, a < b. Naturalmente, vale também que se 0 a b, então a b. Demonstração. Sejam a, b 0. Inicialmente, observe que a + b 0e a + b 0 como soma de dois números 0. Note também que a b 0 como produto de dois números 0. Agora 0 a b 0 2 a b a + b a + 2 a b + b a + b ( a + b) 2. Como 0 a + b ( a + b) 2, usando a propriedade anterior, concluímos que a + b ( a + b) 2. Mas, pela primeira propriedade, ( a + b) 2 = a + b = a + b. Portanto, vale que a + b a + b. Aula 11 Pré-Cálculo 100 Aula 11 Pré-Cálculo 117 Exercício a, b 0, a + b a + b. Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo, a = 9eb = 16: a + b = 5 < 7 = = a + b. Quando vale a igualdade? As funções f (x) = x 1 x 1 x 2 e g(x) = são iguais? x 2 Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f, mas 0 não pertence ao domínio de g. Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por: D f =(, 1] (2, + ) e D g =(2, + ). Note, contudo, que restritas ao conjunto A = D f D g =(2, + ), as duas funções são iguais: f = g. (2,+ ) (2,+ ) Aula 11 Pré-Cálculo 125 Aula 11 Pré-Cálculo 135

5 A distância euclidiana entre dois pontos no plano A distância euclidiana entre dois pontos no plano (Ir para o GeoGebra) Aula 11 Pré-Cálculo 136 Aula 11 Pré-Cálculo 137 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1. y A equação do círculo no plano (x, y) (4, 3) 1 x Aula 11 Pré-Cálculo 138 Aula 11 Pré-Cálculo 141

6 A equação do círculo no plano O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1. d((x, y), (4, 3)) = 1 (x 4) 2 +(y 3) 2 = 1 ( (x 4) 2 +(y 3) 2 ) 2 = 1 2 (x 4) 2 +(y 3) 2 = 1. Funções reais cujos gráficos são semicírculos Aula 11 Pré-Cálculo 146 Aula 11 Pré-Cálculo 147 Funções reais cujos gráficos são semicírculos Função par e função ímpar Moral: o gráfico de y = f (x) = a 2 x 2 é o semicírculo superior de centro na origem e raio a. Aula 11 Pré-Cálculo 153 Aula 11 Pré-Cálculo 154

7 Função par Função par Definição O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y! Uma função real f : D C é par se f ( x) =f (x), x D. Exemplo de função par: f : R R x f (x) =1 x 4. De fato: para todo x R, f ( x) =1 ( x) 4 = 1 x 4 = f (x). Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 158 Aula 11 Pré-Cálculo 159 Função ímpar Definição Função ímpar O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem! Uma função real f : D C é ímpar se f ( x) = f (x), x D. Exemplo de função ímpar: f : R R x f (x) =x 5 + x. De fato: para todo x R, f ( x) =( x) 5 +( x) = x 5 x = (x 5 + x) = f (x). Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico com relação a origem 0: se x pertence a D, então x também deve pertencer a D. Aula 11 Pré-Cálculo 163 Aula 11 Pré-Cálculo 164

8 Observações Observações Existem funções que não são pares e nem ímpares: f : R R x f (x) =2 x 3. De fato: f ( 1) =3 1 = f (1) e f ( 1) =3 1 = f (1). Existe um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo? Sim! A função identicamente nula definida em R! Toda função definida em R se escreve como soma de uma função par e uma função ímpar: f (x) = f (x)+f( x) } {{ 2 } par + f (x) f ( x). }{{ 2 } ímpar Aula 11 Pré-Cálculo 166 Aula 11 Pré-Cálculo 169 Exercício A função y = f (x) = x 2 3 x 3 Solução. A função f é ímpar, pois definida em R {0} é par? Ela é ímpar? Justifique sua resposta! f ( x) = ( x)2 3 ( x) 3 = x 2 3 x 3 = f (x), para todo x R. A função não é par, pois f ( 1) =2 2 = f (1). Aula 11 Pré-Cálculo 180