Módulo (ou valor absoluto) de um número real: a função modular

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1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Deartamento de Matemática Alicada Universidade Federal Fluminense Módulo (ou valor absoluto) de um número real: a função modular Parte 5 Parte 5 Matemática Básica 1 Parte 5 Matemática Básica 2 Módulo (ou valor absoluto) de um número real f : R R Definição x f (x) x Exemlos: x, se x 0, x, se x < 0. Módulo (ou valor absoluto) de um número real Mais exemlos: , π 3.14 π 3.14, x x 2 + 1,, se 0,, se < 0, 2 2, 2 2, 0 0, x 2 x 2, x 1 x 1, se x 1, x + 1, se x < 1. x 2 1 x 2 1, se x 2 1 0, (x 2 1), se x 2 1 < 0, x 2 1, se x 1oux 1, x 2 + 1, se 1 < x < 1. Parte 5 Matemática Básica 3 Parte 5 Matemática Básica 4

2 Módulo (ou valor absoluto) de um número real Proriedades a R, a 0. Além disso, a 0 a 0. a b a b ou a b. Observação: a b b 0e(a b ou a b). x x, se x 0, x, se x < 0 x, se x > 0, 0, se x 0, x, se x < 0. x, se x > 0, x, se x 0 a, b R, a b a b. a R, b R 0, a/b a / b. < a a < < a. Vale também que a a a. > a < a ou > a. Vale também que a a ou a. a, b R, a + b a + b (desigualdade triangular). a, b R, a b a b. Parte 5 Matemática Básica 5 Parte 5 Matemática Básica 6 Proriedade [PM01]: demonstração a R, a 0. Além disso, a 0 a 0. Proriedade [PM02]: demonstração a b a b ou a b. Demonstração. Se a R, então, ou a > 0, ou a 0oua < 0. Se a > 0, então a a > 0. Se a 0, então a 0. Se a < 0, então a a > 0 (ois se a < 0, então a > 0). Em todos os três casos, a 0. Vamos agora demonstrar que a 0 a 0. ( ) Suonha, or absurdo, que exista a R tal que a 0 e a 0. Se a 0, então a > 0oua < 0. Nos dois casos, a > 0, uma contradição. Portanto, vale que a 0 a 0. ( ) Se a 0, então, or definição, a 0. Demonstração. ( ) Sejam a, b R tais que a b. Vamos dividir a rova em vários casos, de acordo com os sinais de a edeb. Em todos eles, veremos que a b a b ou a b. a 0e a b b a 0 b 0ea 0 a b. b 0e a b a b 0 a 0eb 0 a b. a > 0, b > 0e a b a b. a > 0, b < 0e a b a b. a < 0, b > 0e a b a b a b. a < 0, b < 0e a b a b a b. ( ) Se a b, então a b. Sea b, então b, se b 0, a b ( b), se b < 0 b, se b 0, b, se b > 0 b. Parte 5 Matemática Básica 7 Parte 5 Matemática Básica 8

3 Proriedade [PM03]: demonstração a b b 0e(a b ou a b). Proriedade [PM04]: demonstração a, b R, a b a b. Demonstração. ( ) Sejam a, b R tais que a b. Por [PM01], b 0. Portanto, b b. Sendo assim, a b a b. Por [PM02], segue-se então que a b ou a b. ( ) Por [PM02], se a b ou a b, então a b. Como b 0, b b. Logo, a b. Observação. A sentença a b a b ou a b é verdadeira! Demonstração. Vamos dividir a rova em vários casos, de acordo com os sinais de a e de b. a 0 a b 0e a 0 a b 0e a b 0 a b a b. b 0 a b 0e b 0 a b 0e a b 0 a b a b. a > 0eb > 0 a b > 0e a a e b b a b a b a b. a > 0eb < 0 a b < 0e a a e b b a b a b a ( b) a b. a < 0eb > 0 a b < 0e a a e b b a b a b ( a) b a b. a < 0eb < 0 a b > 0e a a e b b a b a b ( a) ( b) a b. Em todos os casos, vemos que semre a b a b. Mas sua recíroca é falsa! (Exercício!) Parte 5 Matemática Básica 9 Parte 5 Matemática Básica 10 Proriedade [PM05]: demonstração a R, b R 0, a/b a / b. Proriedade [PM06]: demonstração < a a < < a. Vale também que a a a. Demonstração. Vamos mostrar rimeiro que b R 0, 1/b 1/ b. Se b > 0, então 1/b > 0e b b. Portanto, 1/b 1/b 1/ b. Seb < 0, então 1/b < 0e b b. Portanto, 1/b 1/b 1/( b) 1/ b. Mostramos assim que 1/b 1/ b ara todo b 0. De osse deste resultado e usando [PM04], temos que a R e b R 0, a b a 1 a b 1 b a 1 b a b. Demonstração. Vamos demonstrar que < a a < < a. A demonstração de que a a a fica como exercício. Se a 0, então a equivalência é verdadeira or vacuidade: não existe nenhum número real tal que < a, como não existe nenhum número real tal que a < < a, quando a 0. Suonha então que a > 0. Temos então que < a ( < 0e < a) ou ( 0e < a) ( < 0e > a) ou ( 0e < a) a < < 0 ou 0 < a a < < a. Parte 5 Matemática Básica 11 Parte 5 Matemática Básica 12

4 Proriedade [PM07]: demonstração > a < a ou > a. Vale também que a a ou a. Proriedade [PM08]: demonstração a, b R, a + b a + b (desigualdade triangular). Demonstração. Vamos demonstrar que > a < a ou > a. A demonstração de que a a ou a fica como exercício. Se a < 0, então > a R e < a ou > a R. Logo, se a < 0, então > a < a ou > a. Se a 0, então > a R 0 e < a ou > a R 0. Logo, se a 0, então > a < a ou > a. Suonha então que a > 0. Temos então que > a ( < 0e > a) ou ( 0e > a) ( < 0e < a) ou ( 0e > a) < a ou > a. Demonstração. Observe que, ara todo x R, x x x (exercício). Assim: a a a e b b b (exercício da lista) (exercício da lista) a b a + b a + b ( a + b ) a + b a + b [PM06] [PM06] a + b a + b. Parte 5 Matemática Básica 13 Parte 5 Matemática Básica 14 Proriedade [PM09]: demonstração Interretação geométrica a, b R, a b a b. Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que a b +(a b) b + a b a b a b e b a +(b a) a + b a a + a b a b a b. Desta maneira: a b a b e a b a b. Segue-se então, or [PM06], que a b a b. E D A C B d(a, B) +2 d(b, C) +1 d(b, E) +5 d(d, E) +2 Parte 5 Matemática Básica 15 Parte 5 Matemática Básica 16

5 Interretação geométrica Duas roriedades imortantes a b < a a < < a > a < a ou > a d(a, b) b a, se b a, a b, se b < a b a. Para justificar estas roriedades, lembre-se que 0 é a distância entre e0. Moral: b a reresenta a distância entre os números a e b na reta numérica. a a 0 Parte 5 Matemática Básica 17 Parte 5 Matemática Básica 18 Alicação Alicação Resolva a desigualdade x < 2. Resolva a desigualdade 2 x + 5 > x < 2 2 < x < < 2 x < < 2 x < < x < 1 2 S ] 5 [ 2, x + 5 > 3 2 x + 5 < 3 ou 2x + 5 > 3 2 x < 3 5 ou 2x > x < 8 ou 2x > 2 x < 4 ou x > 1 S ], 4[ ] 1, + [ Parte 5 Matemática Básica 19 Parte 5 Matemática Básica 20

6 Alicação Resolva geometricamente a desigualdade x + 1 < x 2. x + 1 x ( 1) é a distância de x a 1. Proriedades da função modular f : R R x f (x) x x 2 é a distância de x a2. Se x ( 1) < x 2, então a distância de x a 1 deve ser menor do que a distância de x a2. 1/ S ], 1 [. 2 y x Gráfico da função f tem imagem [0, + [. f é descrescente em ], 0]. f é crescente em [0, + [. f não é injetiva. f não é inversível. f é ar. f tem um onto de mínimo global no onto x 0. f não ossui ontos de máximo global. Parte 5 Matemática Básica 21 Parte 5 Matemática Básica 22