Uma Prova Vetorial da Fórmula de Heron

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1 Uma Prova Vetorial da Fórmula de Heron Fernando Neres de Oliveira Resumo Neste trabalho aresentaremos uma rova ara a famosa fórmula de Heron, usando algumas das oerações básicas da álgebra vetorial. Palavras Chave: Triângulo, Área, Heron Introdução Seja ABC um triângulo, cujos lados AB, AC e BC medem a, b e c, resectivamente. Como determinar a área S de ABC a artir das medidas de seus lados? Bem, esse roblema ode ser resondido através da conhecida fórmula de Heron: S s(s a(s b(s c, onde s a+b+c é o semierímetro de ABC. Existem diversas maneiras de deduzir a referida fórmula, como exemlos, veja as deduções feitas em [, [3 e [. No que segue, aresentaremos uma outra forma de deduzir a fórmula de Heron, dessa vez usando álgebra vetorial. 1 A Fórmula de Heron O nosso objetivo aqui é usar os vetores e certas roriedades de algumas de suas oerações ara mostrar a Proosição 1 (Fórmula de Heron Sejam ABC um triângulo e a, b, c as medidas de seus lados. Se s é o semierímetro de ABC (i.e., s a + b + c então a área S do triângulo ABC é dada or, S s(s a(s b(s c. Exemlo 1 Quanto mede a área de um triângulo cujos lados medem 5, 7 e 8? Solução: Segue da fórmula de Heron que S 10 (10 5 (10 7 ( fernandoneres@ufersa.edu.br. Universidade Federal Rural do Semi-Árido, UFERSA. Caraúbas, RN OLIVEIRA, F. N. Uma rova vetorial da Fórmula de Heron. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 5,. 39-3, dez DOI: /cqdvol fno393 - Disonível em: htt:// 39

2 Exemlo (Problema Isoerimétrico Mostre que, dentre todos os triângulos com um mesmo erímetro, o de maior área é o equilátero. Solução: Seja o erímetro dos triângulos. Segue da fórmula de Heron, que a área de cada um desses triângulos é dada or S abc ( a ( b ( c, onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo. Daí, segue da desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (ara três reais ositivos que (S abc ( ( ( a b c [( a + ( b + ( 3 c Logo, S abc será máxima quando for válida a igualdade entre as médias aritmética e geométrica. Mas, isso ocorre se, e somente se, a b c. Isto é, a área S abc será máxima se, e somente se, a b c. Portanto, o triângulo de maior área será o equilátero 1 Antes de rovarmos a Proosição 1 recisaremos de um resultado que nos auxiliará em tal rova. Proosição Sejam u (x, y e v (z, w dois vetores no lano não-colineares. Se S é a área do aralelogramo gerado elos vetores u e v então, [ x y onde, M. S det M, Figura 1: Paralelogramo Gerado Por Dois Vetores Não-Colineares 1 A área Saaa do triângulo equilátero de erímetro 3a ode ser obtida da relação (S aaa 3 16, a saber, Saaa a 3, que é a conhecida fórmula ara o cálculo da área de um triângulo equilátero. OLIVEIRA, F. N. Uma rova vetorial da Fórmula de Heron. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 5,. 39-3, dez DOI: /cqdvol fno393 - Disonível em: htt:// 0

3 Prova: Sem erda de generalidade odemos considerar os vetores u e v como na Figura 1. Denotaremos or S 1 a área do retângulo de dimensões (x + z e (y + w, S a área do Traézio I, S 3 a área do Traézio II, S a área do Triângulo I e S 5 a área do Triângulo II. Daí temos que, S S 1 S S 3 S S 5. (1 Fazendo uso de fórmulas elementares ara calcular as áreas dos traézios e dos triângulos, e em seguida substituindo os resultados em (1, obteremos que: S S S 1 S S 3 S S 5 (x + z + x w (y + w + w x (x + z (y + w (x + z w (y + w x (x + z (y + w z w xy + xw + zy + zw xw zw yx xw zw yx xy + xw + zy + zw xw zw yx xw zy xw xw zy det M. y x y x z w [ x y Nota 1 A matriz M, onde u (x, y e v (z, w é tal que [ M M t u u v u v. (Observação: u v reresenta o roduto escalar v dos vetores u e v, u reresenta o comrimento do vetor u e M t reresenta a transosta da matriz M Com efeito, [ M M t x y [ x z y w [ x + y xz + yw xz + yw z + w [ u u v u v v. A Prova Vetorial Retornando agora ao nosso objetivo, rovaremos a Proosição 1 usando a Proosição e algumas das oerações básicas da álgebra vetorial. Eis a rova: Prova: Sejam a e b os vetores em R que têm como reresentantes os segmentos orientados (A, B e (A, C, resectivamente (veja Figura. Pela Proosição a área S do triângulo ABC é dada or, S 1 det M, ( OLIVEIRA, F. N. Uma rova vetorial da Fórmula de Heron. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 5,. 39-3, dez DOI: /cqdvol fno393 - Disonível em: htt:// 1

4 Figura : Triângulo ABC onde, M é a matriz cujas linhas são as coordenadas de a e b em relação à base canônica de R. Segue de ( que, S det M (det M (det M (det M (det M (det M t det ( M M t Nota1 a a b a b b. Ou seja, S 1 a a b a b b 1 1 a a b a b b a a b a b b (3 Seja c o vetor em R que tem o segmento orientado (C, B como um de seus reresentantes. Segue então da definição de soma vetorial que c a b (veja Figura. A artir da relação c c c odemos obter as seguintes igualdades: E daí, temos que, c c c c ( a b ( a b a a a b + b b a a b + b a a b + b a b a + b c ( Substituindo ( em (3, obtém-se que: OLIVEIRA, F. N. Uma rova vetorial da Fórmula de Heron. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 5,. 39-3, dez DOI: /cqdvol fno393 - Disonível em: htt://

5 S a a +b c a b Portanto, ( a + b c a +b c b ( ab + a + b c ( ab + a + b c ( (a + b c ( ab (a + b + c (a + b c a + b c ( ab a b + c ( c (a b (c + a b (c a + b a + b + c a + b c c + a b c a + b ( ( ( a + b + c a + b + c a + b + c c b s (s c (s b (s a. S s(s a(s b(s c. ( a + b + c a 3 Conclusão Na matemática, é comum que um mesmo resultado ossa ser rovado de diferentes formas, é exatamente esse um dos fatores que nos fazem enxergar a beleza dessa ciência. Um exemlo dessa luralidade de rovas ara um mesmo resultado é o conhecido teorema de Pitágoras, que sabemos ter diversas formas de obtê-lo. Pelo o que foi aresentado acima, concluímos que a fórmula de Heron também ode ser obtida quando relacionamos o conceito de área de um triângulo com a álgebra dos vetores. Referências [1 Martin Erickson. Beautiful Mathematics. Mathematical Association of America, Série Sectrum, Washington, DC, 011. [ Carlos A. Gomes. Uma bela demonstração da fórmula de Heron. RPM N o 57. [3 Flávio Antonio Alves. Uma interessante dedução ara a fórmula de Herão. Revista Eureka! N o 33. [ A. Caminha.Tóicos de Matemática Elementar, Volume : Geometria Euclidiana Plana. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 01. OLIVEIRA, F. N. Uma rova vetorial da Fórmula de Heron. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 5,. 39-3, dez DOI: /cqdvol fno393 - Disonível em: htt:// 3