Geometria Computacional Primitivas Geométricas. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Geometria Computacional Primitivas Geométricas. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti"

Eliza Carreiro
5 Há anos
Visualizações:

1 Geometria Comutacional Primitivas Geométricas Claudio Eserança Paulo Roma Cavalcanti

2 Oerações com Vetores Sejam x e y vetores do R n e λ um escalar. somavetorial ( x, y ) = x + y multescalar ( λ, x ) = λ x rodescalar ( x, y ) = x.y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n norma(x) = x = x + x + x distância ( x, y ) = norma ( x y ) ângulo ( x, y ) = n x.y arc cos x y

3 Ângulos Orientados no Plano A função ângulo anterior usa uma função simétrica em x e y, e não consegue distinguir a orientação relativa entre x e y. Ordenação olar: dados vetores v 1, v 2,..., v n do R 2, ordená-los angularmente no sentido anti-horário. Normalmente usa-se o eixo horizontal como referência: u = (1,0). A função ângulo orientado toma valores entre (-π, π]. ângulo ( x) = ângulo ângulo ( u, ( u, x), x), se se x x 2 2 < 0 0

4 Ordenação Polar Com a rimitiva ângulo orientado, o roblema da orientação olar é resolvido ordenando-se o conjunto de valores ângulos (v i ), or exemlo, elo MergeSort (algoritmo O(n log n)). A função arc cos não é algébrica e é avaliada numericamente. Só necessitamos comarar ângulos, muitas vezes.

5 Pseudo-ângulos Pode-se utilizar uma função monótona do ângulo entre dois vetores. f(θ ) = 1 - cos θ, se (0 θ π) e f(θ ) = 3 + cos θ, se (π < θ < 2π). Função seudo-ângulo envolve aenas oerações aritméticas: seudo-ângulo ( x, y ) = f toma valores entre [0,4). 1- x.y x y

6 Outros seudo-ângulos. O ângulo orientado de x é igual ao comrimento do arco orientado corresondente, tomado sobre o círculo unitário centrado na origem. Pode-se substituir o círculo unitário or qualquer outra curva contínua em que cada semi-reta artindo da origem a corta em um único onto. Deve ser o gráfico de um função em coordenadas olares.

7 Quadrado Unitário f definida no quadrado unitário toma valores no intervalo (-4,4]. Pode ser imlementada com 3 comarações, 1 soma e 1 divisão. (-1,1) (-1,-1) x seudo-ângulo(x) (1,1) (1,-1)

8 Produto Vetorial Orientação relativa de vetores no R 2 e R 3 ode ser feita com o roduto vetorial. Prodvetorial (x,y) = x y = (x 2 y 3 -x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) O roduto vetorial de dois vetores não colineares x e y do R 3 é um vetor simultaneamente ortogonal a x e y. A orientação determinada or x, y e x y é a mesma do triedro definido elos eixos x, y e z (regra da mão direita). Para o R 2, o roduto vetorial age sobre dois vetores com coordenada 3 nula. Logo, o resultado tem as comonentes 1 e 2 nulas e a 3 não nula.

9 Sinal O sinal do roduto vetorial denota se o ângulo de x ara y é ositivo ou negativo, ou se x está à esquerda ou à direita de y. y x x y > 0: y à esquerda de x. x x y < 0: y à direita de x. y

10 Interseção Dados dois segmentos abertos ab e cd do lano, determinar se eles se intercetam. Os segmentos se intercetam se c e d estão em lados oostos em relação a a e b, e a e b estão em lados oostos em relação a c e d. (ab ac) (ab ad ) < 0 e (cd ca) (cd cb) < 0. a d c b

11 Áreas Orientadas O valor absoluto do roduto vetorial está relacionado com a área do aralelogramo formado or x e y. x y = x y sin θ. x y é igual a área do aralelogramo formado or x e y ou duas vezes a área do triângulo definido or eles. x θ A/2 y A/2

12 Área de um Triângulo Sejam 1, 2, 3 e o, ontos do R 2 ou R 3. A exressão S = ½ (o 1 o 2 + o 2 o 3 + o 3 o 1 )nor 3 éum vetornormalao lano definido or 1, 2 e 3 e de norma igual à área do triângulo No R 2, S é a área orientada de S é a área de e S é ositivo se somente se 1, 2 e 3 estão no sentido antihorário. 2 3 o 1

13 Área de um Polígono Sejam 1, 2,..., n e o, ontos do R 2 ou R 3. A exressão S = ½ (o 1 o 2 + o 2 o o n o 1 )nor 3 é um vetor normal ao lano definido or 1, 2,..., n e de norma igual à área do olígono n. No R 2, S é a área orientada de n. S é a área de n e S é ositivo se somente se n estão orientados no sentido anti-horário o 1

14 Coordenadas Baricêntricas Sejam 1, 2, 3 ontos não colineares do R 2. Então cada onto do lano ode ser escrito de modo único na forma: = λ λ λ 3 3, onde λ 1 + λ 2 + λ 3 =1. λ i são chamados de coordenadas baricêntricas de em relação a 1, 2,

15 Sinal Sinal ,, S S S S S S = = = λ λ λ λ1>0 λ2>0 λ3>0 λ1>0 λ2<0 λ3>0 λ1<0 λ2<0 λ3>0 λ1>0 λ2>0 λ3<0 λ1>0 λ2<0 λ3<0 λ1<0 λ2>0 λ3> λ1<0 λ2>0 λ3<0

16 Interretação Coordenadas baricêntricas de um onto odem ser interretadas como imagem da transformação afim: T : R 2 R 3 tal que T( 1 )=(1,0,0), T( 2 )=(0,1,0) e T( 3 )=(0,0,1). Esta transformação é injetiva e leva o R 2 no lano x + y + z = 1.

17 Localização de Pontos em Polígonos Determina-se o número de interseções de uma semi-reta L arbitrária, artindo de, com a fronteira do olígono: ímar dentro, ar fora. L a b

18 Casos Eseciais Cruzamentos e número correto de interseções. Contam-se interseções aenas se não ocorrerem em coordenadas mínimas de arestas

19 Índice de Rotação Dada uma linha oligonal fechada L = n (não necessariamente simles) e um onto não ertencente a ela, o índice de rotação de em relação a L é: κ = 1 2π n i= 1 ( i i Cada ângulo orientado é igual ao comrimento do arco orientado obtido ela rojeção de dois vértices consecutivos sobre um círculo de raio 1 centrado em. A soma de todos os ângulos corresonde a um número inteiro de voltas no círculo. + 1) i i+1

20 Cálculo do Índice de Rotação L sai P entra sai

21 Ponto em Polígono Seja P um olígono simles, e um onto não ertence a fronteira de P. Considere-se a interseção de semi-retas com origem em e assando or vértices de P de modo a dividir o círculo em setores. Setores do círculo com sentido ositivo corresondem a arestas de saída, e os negativos a arestas de entrada. é interior se somente se k = ± 1, ois há uma saída a mais do que entradas nesse caso. Logo a contribuição de cada setor é o seu comrimento. é exterior se somente se k = 0, ois o número de entradas é igual ao número de saídas. Logo a contribuição de cada setor é zero.

22 Análise Podem ser utilizados seudo-ângulos. Este método é altamente instável se estiver róximo da fronteira de P, devido a descontinuidade do índice de rotação. Generaliza ara o caso de oliedros no R 3 (usa-se uma esfera unitária centrada em, e ângulos sólidos).

Documentos relacionados

Professor: Anselmo Montenegro Conteúdo: Aula 2. - Primitivas Geométricas. Instituto de Computação - UFF

Geometria Computacional Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: Aula - Primitivas Geométricas 1 Roteiro Introdução Operações primitivas Distâncias Ângulos Ângulos orientados Áreas