Exame de Matemática II - Curso de Arquitectura

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1 Exame de Matemática II - Curso de Arquitectura o semestre de 7 de Julho de 7 Resonsável Henrique Oliveira a Parte. Considere a seguinte função f R! R de nida or f(x ; x ; x ) (x sin (x ) ; x ; x cos (x )). (a) A matriz jacobiana de f é Df (x ; x ; x @f (b) J (x ; x ; x ) det Df (x ; x ; x ) x x. 7 (c) eja f R! R; f(x; y) x + y + x y.. x sin (x ) x cos (x ) x x cos (x ) x sin (x ) P (x; y) f (; ) + f x (; ) x + f y (; ) y + f xx (; ) x + f yy (; ) y + f xy (; ) xy!! x + y + x + y. Como f está de nida em todo o R, e é diferenciável, os extremos só odem ocorrer nos zeros das y) 8x + xy 8y + x y A única solução é (x; y) (; ). erá um máximo, um mínimo ou um onto sela? A matriz hessiana em (; ), usada ara calcular o olinómio de Taylor, é 8 H (; ) ; 8 com dois valores rórios ositivos, logo (; ) é um mínimo. Como a função f é ositiva ara todo o valor diferente de (; ) este mínimo é absoluto. (a) s (t) t c () d. Como t s, teremos c (s) T(s) c (s) t q cos () + sin () + d t cos( s ); sin( s s ); e sin( s ); cos( s );!. Primeiro há que derivar T(s), T (s) ( cos( s q norma kt (s)k. N(s) T (s) kt (s)k. kt (s)k. ); cos( s ); sin( s ); ). egundo, calcular a sin( s );.

2 . Integrais dulos. (a) Nota-se que x ydxdy ydy x dx, uma vez que o integral em y é o integral de uma função ímar numa região simétrica em torno da origem. (b) Faz-se a mudança ara coordenadas olares. x r cos y r sin O jacobiano da transformação é r. A região é um semi-círculo corresondente a, e r. A densidade de massa é igual a (x; y) e r. A massa de é Massa A coordenada x CM é (x; y) dxdy [re r ] x CM re r ddr re r dr e r dr e e + e + x (x; y) dxdy Massa devido à simetria do semi-círculo e à densidade de massa ser radial. No caso da coordenada y CM o cálculo tem de ser feito y (x; y) dxdy R R y CM r e r sin ddr Massa (e + ) R r e r dr R r sin d e r R dr rer [ cos ] (e + ) (e + ) r e r R rer dr (e + ) e e e + (e + ) e ; e (e + ) [re r ] (e + ) R er dr

3 a Parte. Integrais de linha, de suerfície e trilos. (a) Cálculo do integral de linha do camo escalar f R! R ao longo do caminho c [a; b]! R quando f(x; y; z) x + y + z, c(t) (cos(t); sin(t); t) com t [; ] É necessário calcular f (c (t)) cos t + sin t + t + t. O vector velocidade é c (t) ( sin t; cos t; ). A sua norma kc (t)k sin t + cos t +. O integral ca + t dt t + t + 6 (b) Considere o camo vectorial F (x; y; z) yz ; xz ; xyz.. Existe um R! R tal que O F, basta que o rotacional xz xz O F (x; y; z) yz yz z Calcular consiste em rimitivar f em ordem a x yz dx xyz + c (y; z) Neste caso é muito simles veri car que a função (x; y; z) xyz ermite obter or derivação todas as comonentes de F. Logo ode-se fazer c (y; z), a resosta é o otencial (x; y; z) xyz.. Calcular o integral de linha de F ao longo do caminho c(t) (t ; sin(t); ), t [; ] é agora trivial, uma vez que este integral nas deende do otencial nos ontos nal e inicial F ds (c ()) (c ()) (; ; ) (; ; ) c (c) Área do tubo cilíndrico aberto nos toos, (x; y; z) R x + z 6 ^ y. abendo que esta suerfície é arametrizada or (; y) [; ] [; ]! R, com (; y) ( cos ; y; sin ) Calcule o roduto vectorial fundamental e a área da suerfície. O roduto vectorial fundamental é obtido através das derivadas da arametrização sin e cos Calcula-se o seu roduto vectorial P (; sin cos 6 cos 6 sin ; a sua norma vale Assim a área vale kp (; z)k 6 cos + 6 sin 6 6 Area d 6 dy d

4 (d) olume de um sólido de nido geometricamente or (x; y; z) R (x; y) [; ] [; ] e y z y e com função densidade de massa (x; y; z) x. A solução é o integral trilo y y x dz dx dy x dx [z] y y dy x y y dy y y. eja (x; y; z) R z e x + y + z 9 uma semi-esfera fechada com a normal orientada ara o exterior. eja F (x; y; z) uma função vectorial. Qual o uxo de F através da a fronteira de? F luxo F! n d; usando o teorema de Gauss, uma vez que se cumrem todas as hióteses F luxo F! n d div A divergência de F é div F (x; y; x F x y F y z F z +. Ficamos com um integral trivial (volume da semi-esfera é r ) div F d d d r 6 (a) y (t) + y (t) t, com y (), é uma equação do tio y (t) + a (t) y (t) b (t), sabendo que (t) e R a(t)dt, a solução geral é y (t) A + b (t) (t) dt (t) e t A + te t dt integrando or artes te t e t e t A + dt te t e t e t A + 6 A e t + t Alicando a condição inicial vem A 9 8 ". # x (b) (t) x (t), com x (t) x (t) matriz A 8 x () x (), a artir da equação característica ;. Calculam-se os valores rórios da ou seja, cujas raízes são e. Calculam-se os vectores rórios Para ( ) x ( ) x x x

5 resultando num rimeiro valor rório v ( ; ) Para x x x x resultando num segundo valor rório u (; ) A matriz diagonalizante, cujas colunas são v e u, é então Podemos nalmente resolver a equação diferencial x (t) t x (t) be t x (t) t + be t x (t) t + be t t be t (c) Alica-se a condição inicial no que resulta b e a. a + b a + ; com (; t) e t + e 6t Pelo método de searação de variáveis (x; t) X (x) T (t), substituindo na equação ; X (x) X (x) T (t) T (t) ; em que é uma constante de searação. Resolvendo o sistema ( X (x) X (x) T (t) T (t) ; que tem soluções X (x) a e x T (t) b e t ; camos com a sobreosição de soluções (x; t) X A e (x+t) Comarando com a condição inicial, a solução ca (x; t) e 9x+t + e 8x+6t