Secção 5. Equações lineares não homogéneas.

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1 Secção 5 Equações lineares não omogéneas Farlow: Sec 36 a 38 Vimos na secção anterior como obter a solução geral de uma EDO linear omogénea Veremos agora como resoler o roblema das equações não omogéneas O seguinte teorema ser-nos-á etremamente útil: Teorema Solução geral da equação não omogénea Se or uma solução articular qualquer da equação não omogénea: q e e orem duas soluções articulares linearmente indeendentes da equação linear omogénea corresondente q 0, então qualquer solução da equação não omogénea ode ser eressa na orma: C C Para o caso geral de uma EDO não omogénea de ordem n iria: C C C C 3 É bastante simles demonstrar este teorema Quer a solução geral, quer a solução articular, eriicam da EDO não omogénea: 3 n n q q Subtraindo uma equação ela outra: q 0 Ou seja, - é solução da equação omogénea Mas imos na secção anterior que a solução única da equação omogénea é: C C Logo: C C, cqd Podemos agora delinear a estratégica de resolução de uma EDO não omogénea: Encontrar a solução geral da equação omogénea corresondente : Página da Secção 5

2 q 0 C C Encontrar uma solução articular da equação não omogénea : q 3 Obter a solução geral da equação não omogénea : Mas e como encontramos a solução articular da equação não omogénea,? Vamos er alguns métodos que odem ermitir resonder a esta questão Método dos coeicientes indeterminados Este método alica-se a equações de coeicientes constantes em que o termo é uma eonencial, um olinómio, um seno, um coseno ou um roduto dessas unções Vamos ilustrar a sua alicação com alguns eemlos Eemlo é uma eonencial: 3e Usando um raciocínio semelante ao da Secção 4, concluímos que uma unção cuja combinação linear com as suas deriadas ossa gerar a eonencial é a rória eonencial Assim, ará sentido dizer que uma solução articular desta EDO não omogénea terá a orma: O coeiciente A é obtido or substituição de na EDO: Logo: 4 3 3e A 4 Página da Secção 5

3 3 e 4 E a solução geral da equação linear não omogénea será já tina sido obtido num eemlo da Secção 4: C e C e 3 e 4 Eemlo é um olinómio: 4 8 Se o resultado da combinação de com as suas deriadas é um olinómio de ordem n, então também deerá ser também um olinómio de ordem n: A B C Determinamos os coeicientes substituindo na EDO Primeiro calculamos e : Substituindo: A B A A 4A 4B 4C 8 4A 4B A 4C 8 4A 8 A 4B 0 B 0 A 4C 0 C Ou seja, a solução articular é: E a solução geral é já era conecido: C cos C sin Página 3 da Secção 5

4 Eemlo 3 é um seno ou um coseno: sin oderá ser a combinação linear de um seno com um coseno: Asin B cos Substituindo na EDO: Acos B sin Asin B cos Asin Bcos Asin Bcos sin Asin Bcos sin B 0 A E então: sin Logo a solução geral será: Ce Ce sin Podem surgir, or ezes, situações em que a resolução se comlica ligeiramente Vejamos um eemlo: 3e Tal como anteriormente, roomos que a solução articular terá a orma: Substituindo na EDO: Página 4 da Secção 5

5 4 0 3 Imossíel!!! 3e Cegamos a uma imossibilidade! Porquê? Acontece que é solução da equação omogénea corresondente, logo nunca oderia ser também solução da equação não omogénea: 0! Não nos aercebemos deste acto orque omos rocurar a solução articular da equação não omogénea antes de rocurar a solução geral da equação omogénea Normalmente, teríamos obtido rimeiro a solução geral da equação omogénea corresondente e detectado imediatamente o roblema Mas então, o que azer nestas circunstâncias? Teremos que adotar como solução articular: s α, em que s é o menor inteiro que az com que não ocorra também na solução da equação omogénea corresondente Para os restantes casos que imos anteriormente, corresondentes às outras ormas ossíeis de, deeremos usar: s A n B n s Asin B cos Vamos er mais um eemlo, em que iremos seguir o rocedimento comleto até cegar à solução geral: Eemlo Encontrar a solução geral de: e? A equação omogénea corresondente é: Página 5 da Secção 5

6 0 A equação característica é então: r r 0 r raiz dula Logo: C e 3 3 Ce C e Ce? e e e são soluções da equação omogénea Logo, terá que ser: 4 Substituindo na EDO obtemos: Portanto: A 4 4 A e E a solução geral será: C C e e Vamos considerar outro eemlo, um ouco mais geral: Eemlo 6 9 Primeiro resolemos a equação omogénea corresondente: m 6m 9 0 r 3 raiz dula Logo: 3 3 C e Ce A orma de deenderá da orma de Por eemlo: Página 6 da Secção 5

7 Preste articular atenção aos eemlos d e e a A B b e c cos Acos B sin d e cos e Acos Bsin e e cos A B e Ccos Dsin E se osse: 3 e? Iríamos roor: 3 A B e, certo? ERRADO! Reare que se tier esta orma, icaria então: 3 3 Be Mas quer e 3, quer e 3, são soluções da equação omogénea! Iríamos cair noamente numa imossibilidade! Vamos usar a técnica anterior e multilicar a solução roosta or : 3 3 A B e B e 3 não basta, ois olta a aer uma reetição: omogénea Voltando a multilicar or : e 3 aarece na solução da equação A B e 3 Agora não á de acto sobreosição Esta é a solução articular a adotar O método dos coeicientes indeterminados aresenta a óbia limitação de ser aenas alicáel a equações de coeicientes constantes Veremos a seguir uma outra técnica, mais genérica Método da ariação de arâmetros Este método alica-se a quaisquer EDOs lineares, de coeicientes constantes ou não Recordemos a orma geral da equação linear não omogénea de segunda ordem: Página 7 da Secção 5

8 Página 8 da Secção 5 q A solução geral da equação omogénea corresondente é: C C O método da ariação de arâmetros diz-nos que uma solução articular da equação não omogénea ode ser obtida a artir de, substituindo as constantes or unções desconecidas de : e são os tais arâmetros que teremos que determinar Como? Adiinaram! Substituímos na equação dierencial não omogénea e tentámos daí obter uma relação ou relações que nos ermita obter e Primeiro, amos calcular as deriadas de : Como temos duas incógnitas e sabemos de antemão que a substituição na EDO só nos irá roorcionar uma equação, teremos que arranjar uma equação adicional Parece lícito então rocurar uma relação que nos acilite o tratamento matemático Realmente, se na eressão da rimeira deriada obrigarmos a que: 0, esta icará simlesmente: E a segunda deriada irá: Substituindo na EDO: q q q As eressões entre arentes na equação anterior são nulas, uma ez que e são soluções articulares da equação omogénea Ficámos assim com: Forma da soluç ão articular - método da ar de arâmetros

9 Página 9 da Secção 5 Obtiemos assim duas relações que nos ermitem obter e : 0 Ou, na orma matricial: 0 Resolendo o sistema recorrendo à regra de Cramer obtemos: 0 0 d d Encontrar a solução geral da EDO: sin Começamos or resoler a equação omogénea A equação característica é: i m m ± 0 O que conduz a: C C cos sin Agora rocuramos uma solução articular da equação não omogénea É de notar que o método dos coeicientes indeterminados não se alica a esta EDO orquê? Vamos então alicar o método da ariação de arâmetros: cos sin Os arâmetros são determinados a artir do sistema: Eemlo

10 sin cos cos 0 sin sin sin cos 0 cos cos sin sin d sin d ln sin E então: sin 0 cos sin d d ln sin sin cos A solução geral da EDO ica assim: ln sin sin cos C sin C cos Em resumo: Resoler a eq linear não omogénea: q Obter a sol geral da eq omogénea corresondente, q 0, a artir da combinação linear de duas sol articulares linearmente indeendentes: C C se aenas conseguirmos obter uma sol articular, a segunda ode ser obtida elo Método d Alembert Obter uma sol articular da eq não omogénea elo método dos coeicientes indeterminados ou elo método da ariação de arâmetros: Obter a solução geral da eq não omogénea: Página 0 da Secção 5

11 Sumário da Secção 5 Solução geral da equação não omogénea Método dos coeicientes indeterminados Método da ariação de arâmetros Página da Secção 5