31 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos

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1 31 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos (RicaroCoutinho@mathistutlpt) 311 Métoo os coeficientes ineterminaos 3111 Funamentação Vamos agora aborar a EDO e coeficientes constantes, mas não homogénea: y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = h (t) (311) que vamos escrever na forma: one L = n t n + a n 1 n 1 t n 1 + a n 2 Ly = h n 2 t n a 2 2 t 2 + a 1 t + a 0 Embora já tenhamos o métoo a variação as constantes para resolver este problema, vamos elaborar um métoo que envolve menos cálculos Este métoo os coeficientes ineterminaos tem contuo um campo e aplicação muito restrito como iremos ver Comecemos por notar que a solução geral y a equação não homogénea: Ly = h poe ser obtia se conhecermos a solução geral u a equação homogénea: Lu =0 e uma solução particular z não homogénea (i e se conhecermos uma única solução z): De facto Lz = h Ly Lz = h h L (y z) =0 pelo que y = u + z (também poemos reconhecer esta ecomposição na fórmula a variação as constantes) Hipótese: Suponha-se agora que a função h é solução e uma EDO linear homogénea e coeficientes constantes Existe portanto um operaor iferencial tal que L = m t m +ã m 1 m 1 t m 1 +ã m 2 m 2 t m 2 + +ã 2 Lh =0 2 t 2 +ã 1 t +ã 0

2 31 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 2 Então se vem Lz = h LLz = Lh eportanto ³ LL z =0 (312) isto é poemos procurar uma solução particular a equação não homogénea (311) na solução geral a equação homogénea (312) 3112 Exemplos 1 o Exemplo Consiere-se a seguinte equação Neste caso 4 y t y t 2 + y = et L = 4 t t +1 2 e h = e t Facilmente reconhecemos que a função e t é solução e uma equação homogéneo para a qual o polinómio característico tenha a raiz λ =1(e t = e λt ) Portanto poemos tomar o polinómio (binómio) λ 1 e o operaor e facto L = t 1 Le t = et t et = e t e t =0 Então as soluções e Ly = h são soluções e L Ly =0 Esta última equação homogénea tem polinómio característico λ 4 +2λ 2 +1 (λ 1) = λ (λ 1) pelo que Então y = k 1 cos t + k 2 sen t + k 3 t cos t + k 4 t sen t + αe t Ly = L (k 1 cos t + k 2 sen t + k 3 t cos t + k 4 t sen t)+αle t = αle µ t 4 = α e t t 4et t 2et = α4e t Para que Ly = h = e t vem α4 =1

3 31 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 3 Pelo que a solução geral é y = k 1 cos t + k 2 sen t + k 3 t cos t + k 4 t sen t + et 4, one k 1, k 2, k 3 e k 4 são constantes arbitrárias 2 o Exemplo Consiere-se a seguinte equação 1 y 00 3y 0 +2y = te t Facilmente reconhecemos que a função te t é solução e uma equação homogénea para a qual o polinómio característico tenha a raiz λ =1com multipliciae m (pelo menos) igual a ois (te t = t m 1 e λt ) 2 Então as soluções a equação são soluções e uma equação homogénea 3 que tem polinómio característico λ 2 3λ +2 (λ 1) 2 =(λ 2) (λ 1) 3 pelo que Então y = k 1 e 2t + k 2 e t + αte t + βt 2 e t y 00 3y 0 +2y = αte t + βt 2 e t 00 3 αte t + βt 2 e t 0 +2 αte t + βt 2 e t = α (1 + t) e t + β 2t + t 2 e t 0 3 α (1 + t) e t + β 2t + t 2 e t +2 αte t + βt 2 e t = α (2 + t) e t + β 2+4t + t 2 e t 3αe t +( 3α 6β +2α) te t +( 3β +2β) t 2 e t = (2α +2β 3α) e t +(α +4β α 6β) te t +(β β) t 2 e t = (2β α) e t + 2βte t 1 Neste caso L = 2 t 2 3 t +2 e h = tet 2 Portanto poemos tomar o polinómio (λ 1) 2 corresponente ao operaor e facto L = µ 2 t 1 L te t µ 2 = t 1 te t µ ³ te = t 1 t 0 te t µ = t 1 e t = 0 3 I e as soluções e Ly = h são soluções e L Ly =0

4 31 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 4 Temosentãoqueter ½ 2β α =0 2β =1 one β = 1 2 e α = 1 Pelo que a solução geral é y (t) =k 1 e 2t + k 2 e t te t t2 2 et, one k 1 e k 2 são constantes arbitrárias Introuzino outras conições poer-se-á eventualmente calcular os coeficientes k 1 e k 2 esta solução Por exemplo se y (0) = 0 e y 0 (0) = 0 obtemos, e µ y 0 (t) =2k 1 e 2t + k 2 e t (1 + t) e t t + t2 e t, 2 as equações ½ k1 + k 2 =0 2k 1 + k 2 1=0 ³ one k 1 =1e k 2 = 1 (ou y (t) =e 2t 1+t + t2 et ) Limitações Ao contrário o métoo a variação as constantes, o métoo os coeficientes ineterminaos só se aplica a EDO s e coeficientes constantes Mas outra restrição importante é a hipótese que foi feita sobre h: A função h tem e ser uma combinação linear e funções o tipo t p e λt Por exemplo a equação y 000 y 0 = arctg t nãopoeserresolviapelométoooscoeficientes ineterminaos mas poe ser resolvia pela fórmula a variação as constantes 312 Reução a um sistema e n equações e 1 a orem Recore-se que a EDO linear e orem n (escalar) tem a forma y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = h (t) e é equivalente a um sistema e equações e primeira orem: efinino x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x n (t) = y (t) = y 0 (t) = y 00 (t) = y (n 1) (t)

5 31 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 5 obtemos x 0 1 = x 2 x 0 2 = x 3 x 0 n 1 x 0 n = x n = a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a n 2 x n 1 a n 1 x n + h (t) Pelo que, a reução acima escrita fica: y = Ay + h (t) t y y 0 one y = y 00, amatriza, esignaa por matriz companheira, é y (n 1) A = 0 e h (t) = a 0 a 1 a n 2 a n h (t) 313 Matriz Wronskiana Inepenência linear e funções Pelo Teorema 301 é fácil eterminar a solução geral a equação homogénea associaa Por outro lao sabemos que esta solução é aa pela exponencial a matriz companheira Pelo que vamos usar a solução geral a equação homogénea para calcular a exponencial a matriz companheira com o objectivo a utilizar na fórmula a variação as constantes (Teorema 291) Sejam u 1 (t), u 2 (t),,u n (t) soluções linearmente inepenentes a equação homogénea y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 2 y 00 + a 1 y 0 + a 0 y =0 e vamos construir a matriz Wronskiana estas funções u 1, u 2,,u n : W (t)= u 1 u 2 u 3 u n u 0 1 u 0 2 u 0 3 u 0 n u 00 1 u 00 2 u 00 3 u 00 n u (n 1) 1 u (n 1) 2 u (n 1) 3 u (n 1) n Caa uma as colunas e W (t) são soluções o sistema y = Ay para a matriz companheira t A Temos mesmo a seguinte igualae matricial W 0 (t) =AW (t)

6 31 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 6 Facilmente reconhecemos que as colunas esta matriz Wronskiana são linearmente inepenentes sse u 1, u 2,,u n (funções e classe ³ C n 1 ) são linearmente inepenentes 4 Por outro lao, para caa t 0,acolunay k (t) = u k,u 0 k,u00 k,,u(n 1) k é solução o problema e valor inicial y = Ay com y (t t 0)=y k (t 0 ) Pelo que, uma combinação linear qualquer estas funções vectoriais, igamos α 1 y 1 (t)+α 2 y 2 (t)+ +α n y n (t),ésoluçãooproblemaevalor inicial y = Ay com y (t t 0)=α 1 y 1 (t 0 )+α 2 y 2 (t 0 )+ +α n y n (t 0 ) Dao que as colunas y k (t) são linearmente inepenentes (como funções vectoriais) concluímos, pela uniciae a solução, que para caa instante t 0 fixo, os vectores y k (t 0 ) são linearmente inepenentes 5 Portanto o eterminante a matriz formaa por estas colunas não se anula: t et W (t) 6= 0 Poemos agora verificar que y (t) =W (t) W 1 (t 0 ) y 0 é solução o seguinte problema e valor inicial y 0 = Ay com y (t 0 )=y 0 De facto t y (t) = µ t W (t) W 1 (t 0 ) y 0 = AW (t) W 1 (t 0 ) y 0 = Ay (t) e y (t 0 )=W(t 0 ) W 1 (t 0 ) y 0 = y 0 Pela uniciae a solução concluímos (no caso e a n 1, a n 2 a 2, a 1, a 0 serem coeficientes constantes) que W (t) W 1 (t 0 )=e (t t0)a Observação 311 No caso e a n 1, a n 2 a 2, a 1, a 0 serem funções e t (coeficientes não constantes) a função vectorial y (t) =W (t) W 1 (t 0 ) y 0 é aina a solução o problema y 0 = Ay com y (t 0 )=y 0 Contuo, para calcular a matriz Wronskiana W (t) necessitamos e conhecer as funções u 1 (t), u 2 (t),,u n (t) soluções linearmente inepenentes a equação homogénea; e no caso e coeficientes não constantes não existe nenhum métoo geral para obter estas soluções u 1 (t), u 2 (t),,u n (t) 4 Porque para funções (n-1)-vezes iferenciáveis temos que éequivalentea t α 1 u 1 (t)+α 2 u 2 (t)+ + α n u n (t) =0 k {0, 1,n 1} t α 1 u (k) 1 (t)+α 2 u (k) 2 (t)+ + α n u (k) n (t) =0 5 De facto se fosse α 1 y 1 (t 0 )+α 2 y 2 (t 0 )+ + α n y n (t 0 )=0, então α 1 y 1 (t)+α 2 y 2 (t)+ + α n y n (t) seria solução e t y = Ay com y (t 0)=0 Como a solução este problema é única, vinha t α 1 y 1 (t)+α 2 y 2 (t)+ + α n y n (t) =0 Seno as funções y k (t) linearmente inepenentes, concluímos α 1 = α 2 = = α n =0