26 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos

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1 26 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos (Ricaro.Coutinho@math.ist.utl.pt) 26. Sistemas e equações iferenciais 26.. Definição Consiere-se f : D R R n R n,contínuanoconjuntoabertod Vamos consierar a seguinte equação iferencial orinária vectorial e a orem: f (t, y) (one a incógnita y é uma função e variável real - i. e. em R -comvaloresemr n ). Uma vez que f tem n funções coorenaas f, f 2,...f n - funções e R R n em R -talcomo y tem n funções coorenaas y, y 2,... y n - funções e R em R -a equação acima é um sistema e equações iferenciais: f (t, y,y 2,..., y n ) 2 f 2 (t, y,y 2,..., y n ). n f n (t, y,y 2,...,y n ) Umaconiçãoinicialy (t 0 )y 0 éumconjuntoen conições: y (t 0 ) y 0 y 2 (t 0 ) y 02.. y n (t 0 ) y 0n Exemplo 26. O seguinte sistema e equações iferenciais x y2 + x sen z + y sen t x2 + y cos t com as conições iniciais x () 0, y () 0 e z () π z xy 2et2 poe ser escrito na forma f (t, y) com a conição y (t 0)y 0,one y (t) x (t) y (t) z (t) e f (t, y) f (t, x, y, z) ³y 2 + x sen z + y sen t, x 2 + y cos t, xy 2e t2

2 26 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) Teorema e Picar-Linelöf O enunciao e a emonstração o Teorema e Picar-Linelöf ficam formalmente inalteraos (substitui-se apenas o móulo pela norma em R n econsiera-sey com valores em R n )quano se consieram equações vectoriais generalizano as equações escalares. Teorema 26. (Teorema e Picar-Linelöf) Seja D R R n R n um conjunto aberto, f : D R n e (t 0,y 0 ) D,taisque a) f é contínua em D b) f (t, y) é localmente lipschitziana em relação a y em D. I. e., para caa ponto (t, y) D existe uma vizinhança V e (t, y) e L>0 tal que para quaisquer pontos (t, y ) e (t, y 2 ) pertencentes a D Então o seguinte problema e valor inicial kf (t, y ) f (t, y 2 )k 6 L ky y 2 k. f (t, y), y(t 0)y 0, tem uma única solução y (t) (e classe C )efinia numa vizinhança e t Sistemas lineares escritos na forma matricial Vamos consierar equações a forma y Ay + B (t) one A éumamatrizquaraan n constante (não epene e t) eb (t) éumafunção com valores em R n (ou seja, na nossa notação, com valores nas matrizes n ). Se B (t) 0, iz-se que a equação é homogénea. Exemplo 26.2 Consiere-se o sistema x x x + y et z x + y + z 2et com as conições iniciais x (0) y (0) z (0). (Facilmente se obtém, por integração sucessiva, que x (t) y (t) z (t) e t ). Este sistema poe ser escrito na seguinte forma matricial y Ay + B (t): Note-e que (t, y ) e (t, y 2 ) têm a mesma primeira coorenaa.

3 26 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 3 x y z 0 x y + 0 e t. z 2e t A equação homogénea associaa é y Ay corresponeno ao sistema x x x + y. z x + y + z No que se segue iremos primeiramente consierar sistemas homogéneos y Ay, one A éumamatrizquaraan n constante. A solução geral no caso n,é y e At c. Vamos ver que esta expressão continua a fazer sentio no caso n Exponencial e matrizes Definição e exponencial Seja A uma matriz quaraa, então e exponencial esta matriz é efinia por. e A I + A+ 2! A2 + 3! A Convergência a série que efine a exponencial Poe-se mostrar e A existe qualquer que seja a matriz A. Ou seja que para qualquer matriz quaraa A olimite NX lim N existe 2.Ousejaexisteolimiteecaaumaasentraasamatriz N P. 2 De facto se M for um majorante o móulo as entraas a matriz A, entãom k n k é um majorante o móulo as entraas a matriz A k (k > ), onen é a imensão a matriz A. EntãoM k n k é um majorante o móulo as entraas a matriz A k (k > 0) e e Mn é um majorante o móulo as entraas a matriz NP. Pelo que as séries que efinem caa uma as entraas e e A são absolutamente convergentes.

4 26 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) Exemplo Exemplo 26.3 Consiere-se a matiz então A , A 3 A 2 e por inução mostra-se que A k 2k 2 k para k >. Então, e acoro com a efinição e exponencial e uma matriz, temos e A k k k! 2k 2 2k 2 k k! k k! 2k 0 Ã +! X k! 2k 2 k! 2k 0 e 2 2 (e2 ) 0 Da mesma forma, com t R, temos e ta + k k! 2k 2 k! 2k k 0 e 2t 2 (e2t ) 0

5 26 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) Funções matriciais Definições Vamos trabalhar com matrizes A em que caa uma as suas entraas [a ij ] é uma função e variável real. Dizemos funções matriciaisevariável real. Se as entraas a matriz A são [a ij ], então as entraas e A aij são ;asentraas e R A são R a ij ;asentraase R h b R i A são b a a a ij. AmatrizA iz-se contínua (iferenciável; integrável; primitivável; etc...) se as suas entraas [a ij ] forem toas elas funções contínuas (iferenciáveis; integráveis; primitiváveis; etc...) Proprieaes Proposição 26.2 Se C é uma matriz m p e D é uma matriz p n, então (CD) C D + CD Demonstração. µ (CD) ij px (C) ik (D) kj k px µ (C)ik (D) kj (D) kj +(C) ik k px (C) px ik (D) kj (D) kj + (C) ik k k µ µ C D + C D ij ij 26.5 Derivaa e uma exponencial Teorema 26.3 Seja A uma matriz quaraa constante. Então a função matricial E (t) e ta satisfaz as seguintes proprieaes E (t) AE (t) E (t) A e E (0) I one I representa matriz ientiae.

6 26 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 6 Demonstração. Caa uma as entraas a matriz e ta é uma série e potências (convergenteparatooot ) que poe portanto ser erivaa termo a termo. Temos então Mas Por outro lao Pelo que E (0) I. + lim N E (t) lim N NX Ã N X k A k k + k! (k )! Ak +! E (t) A AE (t). A A lim N e ta I+tA+ t2 2! A2 + t3 3! A3 + Ã N X Observação 26. Com essencialmente a mesma emonstração temos Ẽ (t) AẼ (t) Ẽ (t) A e Ẽ (t 0 )I se Ẽ (t) e (t t 0)A. Corolário 26.4 e A e A Demonstração. Consiere a função matricial D (t) e ta e ta. Temos e acoro com os resultaos preceentes:_ µ µ D (t) e ta e ta + e ta eta Ae ta e ta + e ta Ae ta! 0 Portanto toas as entraas esta matriz são funções constantes porque as suas erivaas são nulas, ou seja a matriz D (t) é constante. Então e ta e ta D (t) D (0) I