CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 CÁLCULO I Prof. Eilson Neri Júnior Prof. Anré Almeia Aula n o 0: Derivaas e Orem Superior e Regra a Caeia Objetivos a Aula Definir e eterminar as erivaas e orem superior; Conhecer e aplicar a regra a caeia; Utilizar a notação e Leibniz para escrever a regra a caeia. Derivaas e Orens Superiores Suponha f : I R erivável em I. Em aulas anteriores efinimos a função erivaa e f e a mesma coisa poe ser feita para f : I R, ou seja, poemos efinir a função seguna erivaa e f, enotaa por f, como seno uma função e I em R que é a erivaa a função erivaa. De outra forma, f = (f ) e pela notação e Leibniz, f (x) = 2 f 2 (x) = ( ) f (x) Vejamos um exemplo. Exemplo. Seja f(x) = x 3 x. Encontre f (x). Por efinição, a função f é a erivaa a função f. Como f (x) = 2, então por efinição, f (x) h 0 f (x + h) f (x) h [3(x + h) 2 ] [ 2 ] h 0 h 2 + 6xh + 3h h 0 h(6x + 3h) = 6x = 6x h 0 h Analogamente, poemos efinir a terceira erivaa e uma função f(x) como seno a erivaa a função seguna erivaa e f(x). f (x) = 3 f 3 = h ( 2 ) f 2 Generalizano, poemos efinir a erivaa e orem n como seno a erivaa a função erivaa e orem n e f(x). Desse moo, f (n) (x) = n f n = ( n ) f n, n =, 2, 3,... Exemplo 2. Seja f(x) = x 4 2x 2 + cos x. Determine f, 2 f 2, 3 f 3 e 4 f 4.

2 f = 4x3 24x sen x 2 f 2 = 2x 2 24 cos x 3 f 3 = 24x + sen x 4 f 4 = 24 + cos x 2 Regra a Caeia Consiere a função F (x) = (x 2 + ) 2. Sabemos que F (x) é a composta as funções y = x 2 + e g(y) = y 2 e que F (x) = (g f)(x). Pelo o que foi ministrao em aulas anteriores, sabemos erivar separaamente f(x) e g(y), contuo, aina não sabemos erivar uma função composta. A regra e erivação para uma função composta é a chamaa regra a caeia, enunciaa abaixo: Teorema (Regra a Caeia). Sejam g(y) e y = f(x) uas funções eriváveis, com Im g D f. Então a função composta g(f(x)) é erivável e vale a regra: [g(f(x))] = g (f(x)).f (x) () Em notação e Leibniz, temos: g = g Vejamos alguns exemplos e utilização e aplicação a regra a caeia. Exemplo 3. Calcule a erivaa e F (x) = x 2 +. Vamos resolver esse exemplo e uas formas. (2) Solução(): Determinamos as funções y = f(x) e g(y) tais que F = (g f)(x). E observano a função F, observamos que f(x) = x 2 + e g(y) = y. Logo, utilizano a fórmula (), obtemos que F (x) = g (f(x)).f (x) = 2 f(x).2x = x x 2 + Solução(2): Uma outra forma e resolver esse exemplo é chamano y = x 2 + e assim, obtemos que F (y) = y. Assim, pela fórmula (2), obtemos que F = F = 2 y.2x = x 2 + Portanto, poemos utilizar qualquer uma as fórmulas no teorema para calcular a erivaa e uma função composta. Vejamos mais alguns exemplos. Exemplo 4. Derive y = sen x 2 e z = sen 2 x. Escreveno t = x 2 e y = sen t. Logo, por (), obtemos que y = y (t(x)).t (x) = cos(t(x)).2x = 2x cos(x 2 ) Agora, escreveno y = sen x, obtemos que z = y 2. Logo, utilizano (2) obtemos que z = z = 2y. cos x = 2 sen x cos x = sen 2x Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 2

3 Exemplo 5. Derive y = (x 3 ) 00. Escreveno u = x 3, obtemos que y = u 00. Logo, Exemplo 6. Calcule f (x), seno que f(x) = = u.u = 00u99. 2 = 300x 2 (x 3 ) 99 3 x 2 + x +. Fazeno f(u) = 3 u e u(x) = x 2 + x +, temos que f (x) = f (u(x)).u (x) = 3 3 u 2 (2x + ) = 3 (2x + ) 3 (x 2 + x + ) 2 Exemplo 7. Encontre a erivaa a função g(t) = ( ) t t + Fazeno y = t 2 2t +, obtemos que g(y) = y9. Logo, pela regra a caeia, obtemos que g t = g t = 9y8 t Calculano t, tem-se t = [ ] t 2 = (t 2) (2t + ) (t 2)(2t + ) t 2t + (2t + ) 2 = Logo, (3) torna-se 2t + 2t + 4 (2t + ) 2 = 5 (2t + ) 2 ( ) g t 2 8 t = (t 2)8 = 2t + (2t + ) 2 (2t + ) 0 (3) Exemplo 8. Se h(x) = sen (cos(tg x)), etermine f (x). Solução (): Fazeno y = f(x) = cos(tg x) e g(y) = sen y, segue a regra a caeia que h (x) = g (f(x)).f (x) = cos(f(x)).(cos(tg x)) = cos(cos(tg x)).(cos(tg x)) Consierano agora que y = f(x) = tg x e g(y) = cos y, aplicamos a regra a caeia novamente e obtemos que [cos(tg x)] = sen (f(x)). sec 2 x = sen(tg x). sec 2 x h (x) = cos(cos(tg x)).sen(tg x). sec 2 x Solução (2): Escreveno y = cos(tg x) então h(y) = sen y. Pela regra a caeia, h = h Como y = cos(tg x) é uma função composta, então poemos escrever u = tg x, temos que y = cos u. Logo, pela regra a caeia, obtemos que = u (5) u Substituino (5) em (4), obtemos que h = h u u = cos(y).( sen u). sec2 x = cos(cos(tg x)).sen (tg x). sec 2 x (4) Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 3

4 Exemplo 9. Seja f : R R uma função erivável e seja g(x) = f(cos x). ( ) f = 4. 2 ( Calcule g π ) 3 supono Utilizano a regra a caeia, obtemos que g (x) = f (cos x).(cos x) = f (cos x) senx ( g π ) ( ( π )) ( π ) ( ) 3 = f cos sen = f = 2 3 Exemplo 0. Calcule 2 y sabeno que y = cos 5x. 2 Chamano u = 5x, segue a regra a caeia que Derivano novamente, temos que 2 y 2 = Chamano novamente u = 5x, temos que = u = sen u.5 = 5sen(5x) u ( ) = ( 5sen 5x) = 5 (sen 5x) (sen 5x) = 5 cos(5x) 2 y = 25 cos(5x) 2 Exemplo. Seja f : R R uma função erivável até 2 a orem e seja g aa por g(x) = f(x 2 ). Calcule g (2), supono que f (4) = 2 e f (4) = 3. Segue a regra a caeia que g (x) = f (x 2 ).2x = 2x.f (x 2 ) e que g (x) = (g (x)) = (2x.f (x 2 )) = 2f (x 2 )+2x.(f (x 2 )) = 2f (x 2 )+2x.(f (x 2 ).2x) = 2f (x 2 )+4x 2.f (x 2 ) Seno assim, g (2) = 2f (2 2 ) f (2 2 ) = 2.f (4) + 6f (4) = = 52 Exemplo 2. A função iferenciável y = f(x) é tal que, para too x D f, xf(x) + sen (f(x)) = 4 (6) Mostre que f (x) = f(x) x + cos(f(x)) Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 4

5 Derivano a equação (6) em relação a x, obtemos que [xf(x) + sen (f(x))] = [4] [xf(x)] + [sen f(x)] = 0 f(x) + xf (x) + cos f(x).f (x) = 0 f (x) [x + cos f(x)] = f(x) f (x) = f(x) x + cos f(x) Exemplo 3. Seja y = x 3, em que x = x(t) é uma função erivável até 2 a orem. Verifique que 2 ( ) y 2 t 2 = 6x x t t 2 Derivano em relação a t e utilizano a regra a caeia, obtemos que t = = 2 t t Derivano mais uma vez em relação t, obtemos que 2 y t 2 = [ ] = t t t Utilizano a regra o prouto, temos que 2 y t 2 = [ 2 ] t t + 2 t [ 2 ] t [ ] = [ 2 ] t t t x t 2 Pela regra a caeia, obtemos Assim, Resumo [ 2 ] = 6x t t 2 ( ) y 2 t 2 = 6x x t t 2 Faça um resumo os principais resultaos vistos nesta aula, estacano as efinições aas. Aprofunano o conteúo Leia mais sobre o conteúo esta aula nas páginas 45 47, e o livro texto. Sugestão e exercícios Resolva os exercícios as páginas e o livro texto. Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 5