CÁLCULO I Aula 05: Limites Laterais. Teorema do Valor Intermediário. Teorema do Confronto. Limite Fundamental Trigonométrico.

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1 s Laterais CÁLCULO I Aula 05: s Laterais.... Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará

2 s Laterais 1 s Laterais 2 3 4

3 s Laterais Considere a função de Heaviside, denida por { 1 se t 0 H(t) = 0 se t < 0 é possível calcular lim t 0 H(t)?

4 s Laterais Figura: Gráco de Função de Heaviside

5 s Laterais Antes de responder a essa questão, devemos entender que considerar pontos x à direita de um número real a, signica dizer que estamos nos aproximando de a por valores maiores que ele. Sempre que zermos isso, utilizaremos a notação x a +. Analogamente, se considerarmos pontos x à esquerda de um número real a, signica que estamos nos aproximando de a por números menores que ele, e isso será denotado por x a.

6 s Laterais Antes de responder a essa questão, devemos entender que considerar pontos x à direita de um número real a, signica dizer que estamos nos aproximando de a por valores maiores que ele. Sempre que zermos isso, utilizaremos a notação x a +. Analogamente, se considerarmos pontos x à esquerda de um número real a, signica que estamos nos aproximando de a por números menores que ele, e isso será denotado por x a. No caso da função H(t), notamos que Formalizando essa ideia: lim H(t) = 1 e x 0 + lim H(t) = 0. x 0

7 s Laterais Denição Dizemos que L é o limite à direita da função f (x) quando x a + e escrevemos lim f (x) = L x a + se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < x a < δ então f (x) L < ε.

8 s Laterais Denição Dizemos que L é o limite à esquerda da função f (x) quando x a e escrevemos lim f (x) = L x a se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < a x < δ então f (x) L < ε.

9 s Laterais Como não existe um único número real para o qual a função H(t) se aproxima quando t 0, dizemos que lim t 0 H(t) não existe e esse fato é enunciando no nosso próximo teorema, que relaciona a denição de limite com as denições de limite à esquerda e à direita:

10 s Laterais Como não existe um único número real para o qual a função H(t) se aproxima quando t 0, dizemos que lim t 0 H(t) não existe e esse fato é enunciando no nosso próximo teorema, que relaciona a denição de limite com as denições de limite à esquerda e à direita: Teorema lim f (x) = L se, e somente se lim x a f (x) = L = lim f (x) x a + x a

11 s Laterais Calcule o valor de lim x 0 x, se existir.

12 s Laterais Calcule o valor de lim x 0 x, se existir. x Vamos vericar que o limite lim x 0 x não existe.

13 s Laterais Teorema (do ) Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) f (b). Então existe um número c em (a, b) tal que f (c) = N.

14 s Laterais Figura: Ilustração geométrica do

15 s Laterais Observação É importante que a função f do TVI seja contínua. O não é verdadeiro em geral para funções descontínuas.

16 s Laterais Observação É importante que a função f do TVI seja contínua. O não é verdadeiro em geral para funções descontínuas. Teorema (de Bolzano ou do Anulamento) Se f for contínua e f (a) e f (b) assumirem assumirem sinais contrários, então existirá c (a, b) tal que f (c) = 0.

17 s Laterais Mostre que existe uma raiz da equação 4x 3 6x 2 + 3x 2 = 0 entre 1 e 2.

18 s Laterais Mostre que existe uma raiz da equação 4x 3 6x 2 + 3x 2 = 0 entre 1 e 2. Mostre que a equação x 3 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma solução real.

19 s Laterais Teorema (do ) Se f (x) g(x) h(x) para todo x em um intervalo aberto que contenha a (exceto possivelmente a) e então lim f (x) = lim h(x) = L, x a x a lim g(x) = L. x a

20 s Laterais Seja f uma função denida em R tal que para todo x 1, temos: Calcule lim x 1 f (x) e justique. x 2 + 3x f (x) x 2 1 x 1.

21 s Laterais Seja f uma função denida em R tal que para todo x 1, temos: Calcule lim x 1 f (x) e justique. x 2 + 3x f (x) x 2 1 x 1. Mostre que lim x 0 x 2.sen ( ) 1 = 0. x

22 s Laterais

23 s Laterais Suponha f uma função contínua e suponha que para todo x, f (x) < x 2. (a) Calcule, caso exista, lim x 0 f (x). (b) f é contínua em 0? Por quê?

24 s Laterais Sejam f e g duas funções com o mesmo domínio A tais que lim f (x) = 0 e x p g(x) M para todo x em A, em que M > 0 é um número real xo. Prove que: lim f (x)g(x) = 0. x p

25 s Laterais Calcule lim x 0 x.sen ( π x ).

26 s Laterais

27 s Laterais Usando o triângulo retângulo no círculo trigonométrico de raio 1 e o Teorema do demonstra-se que sen x lim x 0 x = 1

28 s Laterais Usando o triângulo retângulo no círculo trigonométrico de raio 1 e o Teorema do demonstra-se que sen x lim x 0 x A demonstração usando a regra do L'Hospital é mais simples que vou deixar para depois da aula de derivadas. = 1

29 s Laterais sen (5x) Calcule lim. x 0 x

30 s Laterais sen (5x) Calcule lim. x 0 x Calcule lim x 0 1 cos x x 2.

31 s Laterais sen (6x) Calcule lim. x 0 5x

32 s Laterais sen (6x) Calcule lim. x 0 5x Calcule lim x 0 tg x x.

33 s Laterais Calcule lim x π sen x x π.

34 Na próxima aula... s Laterais Derivadas

35 Na próxima aula... s Laterais Derivadas Denição de Derivada;

36 Na próxima aula... s Laterais Derivadas Denição de Derivada; Derivada das funções elementares;

37 Na próxima aula... s Laterais Derivadas Denição de Derivada; Derivada das funções elementares; Derivabilidade e Continuidade.