CÁLCULO II. Lista Semanal 6-04/05/2018. Questão 1. Mostre que não existe o limite abaixo. x 4 y 2 lim. Solução: Seja f(x, y) = x4 y 2

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1 CÁLCULO II Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro Lista Semanal 6-04/05/018 Questão 1. Mostre que não eiste o ite abaio. Seja f(, y) = 4 y 4 +y. Tomando o caminho C 1 (t) = (t, 0),tem-se que: 4 y 4 + y. f(, y) = f(c t 4 0 1(t)) = t 0 t 0 t = 1 = 1 t 0 Tomando o caminho C (t) = (t, t ), tem-se que: f(, y) = f(c t 4 (t ) (t)) = t 0 t 0 t 4 + (t ) = 0 = 0 t 0 Logo, como: f(c 4 y 1(t)) f(c (t)) t 0 t y 1

2 Questão. Verique se a f(, y) dada é contínua. 1 y, quando + y 1 f(, y) = 0, quando + y > 1 Como f(, y) é 1 y para quando + y < 1, tem-se que f(, y) é contínua para quando + y < 1. Como f(, y) é 0 para quando + y > 1, tem-se que f(, y) é contínua para quando + y > 1. Desse modo, deve-se analisar os pontos nos quais + y = 1, pois são os possíveis pontos onde a função não é contínua, pois sua lei de recorrência se altera. Logo, fazendo = rcos(θ),y = rsen(θ), tem-se: 1 r, quando r 1 f(r) = 0, quando r > 1 Logo, f(r) = 1 r = 0 e r 1 r 1 f(r) = 0 = 0 r 1 + r 1 + Desse modo, r 1 f(r) = 0. Além disso, f(1) = 0. Assim, como r 1 = f(1) = 0, isso implica que f(r) é contínua em r = 1, ou seja, é contínua nos pontos que satisfazem a equação + y = 1. Com isso, f(, y) é contínua em todo o o R. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro

3 Questão 3. Julgue se os itens a seguir são verdadeiros ou falso. Em ambos os casos, justique. (a) Considerar os caminhos C 1 = {(, y) : y = m}, C = {(, y) : = y } e C 3 = {(, y) : y = } é suciente para mostrar que + y = 0. Calculando os ites Para os caminhos apresentados, tem-se: Para C 1, tem-se: Para C, tem-se: + y = (,m) (0,0) + y = (m) + (m) = ( ) + ( ) = 3 m (1 + m ) = 5 (1 + ) = m (1 + m ) = = 0 Para C 3, tem-se: + y = (,) (0,0) () + () = 3 = 0 Contudo, para provar que o ite apresentado é 0, tem-se que vericar para todos os caminhos, e isso é feito utilizando a denição de ite, desse modo, para mostrar que = +y 0, tem-se: Seja ɛ > 0, precisa-se encontrar δ > 0, tal que: 0 < ( 0, y 0) < δ 0 < + y 0 < ɛ Assim, dado que y +y 1, e = + y + y = y + y + y + y + y Assim, escolhendo δ = ɛ, tem-se: + y < δ + y < ɛ + y + y < ɛ + y < ɛ Assim, escolhendo um δ = ɛ, prova-se que o ite eiste e é igual a 0. Logo, como provar que o ite eiste para os caminhos apresentados não é suciente para mostrar que o ite eiste e é igual a 0, tem-se que a armativa é falsa. (b) Utilizar o Teorema do Confronto é a única forma de mostrar que Note que: + y = + y = 0. 0 = + y + y E como + y 1 +y +y 1, tem-se que 0 +y 1, logo, é uma função itada e y tende a 0 para quando (, y) (0, 0), tem-se pelo teorema como +y do confronto que + y = 0 Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 3

4 Contudo, essa não é a única forma de mostrar que tal ite é igual a 0. Utilizando coordenadas polares, tem-se que: = rcos(θ),y = rsen(θ) e quando (, y) (0, 0),r 0. Logo + y = r sen(θ)cos(θ) = rcos(θ)sen(θ) = 0 r 0 r r 0 Além disso, pode-se utilizar a denição de ite para mostrar que o ite apresentado é igual a 0, embora este não seja um método muito prático para a resolução (Para se calcular pela denição, faz-se um procedimento análogo ao procedimento feito na alternativa (a) desta mesma questão). Desse modo, eistem mais formas de mostrar que o ite apresentado é igual a 0, ou seja, a armativa é falsa. (c) Tomando = r cos θ e y = rsen θ, mostramos que sen ( + y ) ( ) não eiste. 1 cos + y Primeiramente, note que: + y = r cos (θ) + r sen (θ) = r. Agora, para a mudança de variável apresentada, tem-se: sen ( + y ) sen (r ( ) ) sen (r = ( ) ) = 1 cos + y (rcos(θ),rsen(θ)) (0,0) 1 cos r r 0 1 cos(r) = Como o ite resultou em uma indeterminação do tipo logo: r 0 sen (r ) 1 cos(r) = cos(r )r r 0 sen(r) [ ] 0 0 [ 0 0], pode-se aplicar o teorema de L'hospital, = r 0 cos(r ) r 0 sen(r) r Desse modo, como o ite eiste, tal mudança de variável não prova que o ite não eiste. Assim, a armativa é falsa. = Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 4

5 Questão 4. Nos itens a seguir, faça o que se pede. (a) Dena as derivadas parciais de f(, y) em relação a e em relação a y no ponto (a, b). A derivada parcial em relação a da função f(, y), é calculada de forma análoga à uma função de uma variável, pois para tal cálculo toma-se um y constante e calcula-se a variação somente em relação a, ou seja, para calcular a derivada parcial em relação a de f(, y), no ponto (a, b), faz-se f(, y) virar uma função de uma variável, pois toma-se y = b, logo: g() = f(, b). relação a é denida como: g (a) = h 0 f(a + h, b) f(a, b) h A derivada parcial em A denição é análoga para a derivada parcial em relação a y, com j(y) = f(a, y) dessa forma: j (b) = k 0 f(a, b + k) f(a, b) k (b) Interprete geometricamente as denições do item (a). Para o caso da derivada parcial em relação a, como g() = f(, b), tem-se que g() é a curva resultante da interseção do gráco de f(, y) e o plano y = b. Logo, como g () é a inclinação da reta tangente à curva g(), tem-se que as derivadas parciais podem ser interpretadas como as inclinações das retas tangentes às curvas g() e j(y) no ponto (a, b, f(a, b)), de modo que tais curvas são resultantes da interseção do gráco de f(, y) com os planos = a (originando a curva j(y)) e y = b (originando a curva g()). Segue uma gura que representa a derivada parcial em relação a y, no ponto (1, 1, ), para quando f(, y) = + y (c) Determine uma regra para determinar as derivadas parciais de f(, y). As derivadas parciais são calculadas pelos ites apresentados anteriormente na alternativa a) desta questão. Contudo, eiste um modo mais prático, pois para se derivar em relação a a-se um determinado y (ou seja, y é constante) e aplica-se a derivada em relação a. Desse modo, uma regra prática para se determinar as derivadas parciais é: Caso queira-se determinar f(,y), deve-se tratar a variável y como uma constante e derivar em relação a. Caso queira-se determinar f(,y), deve-se tratar a variável como uma constante e derivar em relação a y. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 5

6 (d) Se f(, y) = y 1, determine f (4, 5) e f y (4, 5) e interprete geometricamente. Logo, f(4, 5) = + 3y = f(4, 5) f(4, 5) = 7 = 7 é a inclinação da reta tangente à curva que é a interseção do gráco de f(, y) e o plano y = 5, e f(4, 5) = 13 é a inclinação da reta tangente à curva a qual é a interseção do gráco de f(, y) com o plano = 4. Segue a imagem das retas tangentes descritas, cujas inclinações = 13 são iguais às derivadas parciais em relação a e em relação a y, respectivamente, no dado ponto. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 6

7 Questão 5. Considere a função: f(, y) =, se (, y) (0, 0) + y 0, se (, y) = (0, 0) Podemos dizer que f(, y) é diferenciável em (0, 0), pois suas derivadas parciais em (0, 0) eistem? Justi- que. Não necessariamente, pois a eistência das derivadas parciais em (0, 0) não implica na diferenciabilidade de f(, y) em (0, 0). Para f(, y) ser diferenciável em (0, 0), as derivadas parciais devem eistir e serem contínuas em (0, 0). Desse modo, calculando as derivadas parciais de f(, y) para o ponto (0, 0): f(0, 0) f(0, 0) f(0 + k, 0) f(0, 0) = = k 0 k k 0 f(0, 0 + h) f(0, 0) = = h 0 h h 0 k.0 0 +k k h.0 0 +h h Além disso, as derivadas parciais para quando (, y) (0, 0) são dadas por: = 0 = 0 Logo, = y( + y ) () ( + y ) = y3 y ( + y ) = ( + y ) y() ( + y ) = 3 ( + y ) = = y 3 y ( + y, se (, y) (0, 0) ) 0, se (, y) = (0, 0) 3 ( + y, se (, y) (0, 0) ) 0, se (, y) = (0, 0) Assim, deve-se vericar se as funções que representam as derivadas parciais são contínuas em (0, 0). Desse modo, considerando a função que representa a derivada parcial em relação a e o caminho C 1 (t) = (0, t), tem-se: y 3 y ( + y ) = t 3 t 0 t 4 = 1 t 0 t Agora, considerando a função que representa a derivada parcial em relação a y e o caminho C (t, 0), tem-se: 3 y ( + y ) = t 3 t 0 t 4 = 1 t 0 t Logo, as derivadas parciais não são contínuas no ponto (0, 0), assim, isso implica que a função não é diferenciável em (0, 0). Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 7