1. Considere a representação gráfica da função f. Determine: 1.1. A variação de f em 2, A variação de f em 0,6.

Transcrição

1 mata Considere a representação gráica da unção Determine: A variação de em,4 A variação de em 0,6 tmv 0,6 4 Indique um intervalo do domínio onde a taa média de variação é A igura representa um reservatório com três metros de altura Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado O reservatório ica vazio ao im de catorze horas Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada por h t t log 8, 0,4 Prove que a taa de variação média de h no intervalo 0, é 0, Interprete este valor no conteto da situação descrita Dada a unção, real de variável real, deinida por Calcule a razão incremental, tmv, de entre os pontos e Calcule h h h 4 Indique o valor da derivada de no ponto de abcissa h 0 h h h h h, h 4 Seja uma unção de domínio e que 4 Determine 4 Indique o valor de tmv, 4 Mostre que ' / 7

2 mata Recorrendo à deinição de derivada de uma unção num ponto, determine: '0, considerando ', considerando ', considerando 4 ', considerando ', considerando e 6 ', considerando ln 6 Seja uma unção tal que a sua derivada no ponto de abcissa - é Determine o valor de: h h0 h 4 7 Considere a unção, real de variável real, deinida por 7 Recorrendo à deinição de derivada de uma unção num ponto, determine ' 7 Escreva uma equação reduzida da reta tangente ao gráico de no ponto de abcissa 7 Escreva uma equação da reta normal ao gráico de no ponto 8 Seja uma unção, real de variável real, e ' a, a derivada de no ponto de abcissa a Mostre que uma equação reduzida da reta tangente a no ponto a é dada por y a a a ' 4 9 Seja a unção deinida por 9 Determine ' a, onde a 9 Determine o ponto do gráico de onde a reta tangente é horizontal e escreva a respetiva equação da reta 0 Considere a unção 0 Utilizando as potencialidades da máquina de calcular gráica, aça um esboço do gráico da unção 0 Por observação do gráico, o que pode concluir acerca do sinal de ' e de '? / 7

3 mata 0 Conirme a resposta da alínea anterior calculando ' e ' através da deinição 04 Escreva as equações das retas tangentes ao gráico da unção, nos pontos Considere as unções e g representadas graicamente Mostre que eiste '0, mas não eistem g '0 e ' g Escreva a equação da reta tangente à curva y, em a que a reta tangente à curva contém a origem do reerencial, sabendo que ' a e Na igura encontra-se parte da representação gráica da unção, sendo r uma semitangente ao gráico no ponto de abcissa Determine ' e ' Eiste '? º Deina por uma condição as semitangentes ao gráico em 4 Seja a unção deinida por: Investigue se tem derivada em 0 e se 0 se 0 Indica a veracidade de cada uma das seguintes airmações Numa certa unção sabe-se que ', então a unção é contínua no ponto Se g tem g g, então a unção g é derivável no ponto Se é contínua no ponto, então é derivável nesse mesmo ponto / 7

4 mata 6 Considere a unção de domínio representada graicamente na igura ao lado 6 Em a unção é descontínua Justiique esta airmação 6 Qual o resultado de 6 As derivadas laterais de são iguais? Justiique? 7 Considere a unção g representada graicamente 7 Determine g ', g ', g '4 e g '4 7 Comente a airmação A unção g é derivável em porque g' g' 7 A unção é derivável em 4? Justiique 8 Prove, recorrendo a processos analíticos, que a unção h deinida por h contínua no ponto de abcissa, mas não tem derivada nesse ponto é 9 Consideremos uma unção de domínio é contínua em 4 e que: não eiste '4 ' 0 ' 0 Faça um esboço de um possível gráico de 0 Sabe-se que g é uma unção deinida em 4, e que: g g ' g '7 eiste 7 0 Justiique que g é contínua em 0 Indique o valor de g '7 g é um máimo 0 Determine o valor de g g 70 4 / 7

5 mata Na igura encontra-se representada graicamente a unção de domínio,4 Qual o domínio da derivada de? Na igura encontra-se a representação de parte do gráico de uma unção g de domínio Qual o domínio de g, derivada de g? Caraterize g Caraterize a unção derivada da unção deinida por: se 0 se 0 Bom trabalho!! / 7

6 mata Soluções , 4 Por eemplo: A altura da água no reservatório desceu, em média, 0, metros por hora, entre os instantes correspondentes a seis e onze horas após a abertura da válvula 4 h h h h e y y 4 4 ' a a 4 9 a, y 4 6 h ' 0 e ' 0 0 ', ' 04 Tangente: y Normal: y y ', ' Não y 6 e y 9 4 Verdadeiro Falso Falso 6 6 Porque 6 6 Não, ' e ' 7 derivada inita 7 g ' g '4, g ', e g '4 tem 6 / 7

7 mata 7 Falso, pois g ' têm derivada inita 7 Não 8 9 Por eemplo: e g ' não 0 0 Eiste derivada inita em, logo a unção é contínua nesse ponto g ' D ',4 \,, D g ' \, 0 se g ' se -< se se 0 6 se 0 7 / 7