FICHA DE TRABALHO N.º 8 MATEMÁTICA A - 10.º ANO FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

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1 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades FICHA DE TRABALH N.º 8 MATEMÁTICA A - 0.º AN FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÃ CMPSTA E FUNÇÃ INVERSA; GENERALIDADES; MNTNIA, EXTREMS E CNCAVIDADES Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei. Considere as unções :,,0,, 0,,,, deinida por, g : a, b, c a, b, c g a b, g b c e g c a, com abc,, e : h deinida por h. tal que.. Deina em etensão o conjunto G e justiique que não é injectiva nem sobrejectiva... Mostre que g admite inversa e caracterize-a, designando por g a sua inversa... Mostre que h admite inversa e caracterize-a, designando por.. Determine: h a sua inversa. a) h b) g b c) h d) g g c e) h 0, sem utilizar a epressão analítica de h... Determine D h e caracterize por meio de uma tabela a unção h..6. Seja A : A B um conjunto B de modo que. Indique um conjunto,,0,, A seja bijectiva. A, com o maior número possível de elementos, e. Sejam e g duas unções de domínio. Sabe-se que: a unção é bijectiva e o ponto de coordenadas, pertence ao seu gráico a unção g é aim os pontos de coordenadas 0, Qual é o valor de g? e, pertencem ao seu gráico A B C D Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

2 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades. Considere as unções :,,0,,,6,,,,, deinida graicamente e g, de domínio 0,,,,6,8, deinida por um diagrama. 0 g Indique o contradomínio da unção g e justiique que g não é injectiva nem sobrejectiva... Mostre que a unção admite inversa... Determine D g e caracterize g recorrendo a uma tabela... Determine, caso eista: a) b) 6 c) g d) g.. Represente graicamente a unção, unção inversa de..6. Resolva em as seguintes condições: a) g 0 b) 0 c) 0. Seja g uma unção bijectiva tal que o ponto de coordenadas, pertence ao seu gráico. Considere a unção h, deinida por h g. Qual dos pontos seguintes pertence necessariamente ao gráico da unção h, unção inversa de h? A 0, B 0, C,0 D, Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

3 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades. Na igura está representado, num reerencial o.n., parte do gráico de uma unção g, polinomial de grau, de domínio e estritamente crescente em que é o seu único zero. g.. Qual é o valor de g g? A B C D.. Seja h a unção deinida por h. Qual é o valor de 0 h g? ( g designa a unção inversa de g) A B C D.. Qual das seguintes unções pode ser ímpar? A g B g C g D g.. Na igura está representado em reerencial o.n., parte do gráico da unção, de domínio. A unção é deinida por g a b, com ab,. Quais são os valores de a e de b? A a e b B a e b C a e b D a e b Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

4 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades 6. Seja g uma unção de domínio tal que o ponto de coordenadas, pertence ao seu gráico. Considere a unção h, de domínio, deinida por h g. Qual dos seguintes pontos pertence necessariamente ao gráico de h? A, B,7 C,7 D, 7. Na igura está representada em reerencial o.n. z parte do gráico de uma unção g de domínio. Tal como a igura sugere, o gráico de g intersecta o eio no ponto de abcissa. g Em qual das seguintes opções pode estar representado o gráico da unção deinida por g? AI BI CI DI Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

5 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades 8. Considere uma unção, de domínio. Sabe-se que a unção é ímpar e tem eactamente três zeros 8.. Qual das seguintes pode ser a epressão analítica da unção? A B C D 6 Numa pequena composição indique a opção correcta e apresente, para cada uma das restantes opções, uma razão para a rejeitar. 8.. Seja g uma unção de domínio, par. Mostre que a unção h, também de domínio, deinida por h g é par. 8.. Considere agora que um dos zeros da unção é o. Quais são os zeros das unções i, j e m, deinidas por: a) i b) j c) m 8.. Suponha agora que o contradomínio da unção é,. Qual é o contradomínio da unção t, deinida por t? 9. Considera a unção h, de domínio \, cujo gráico está parcialmente representado na igura seguinte h 9.. Determine os valores reais de de modo que h h Estude a unção h quanto à monotonia e à eistência de etremos relativos e absolutos. Caso eistam, indiqueos. Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

6 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades 9.. Indique, justiicando, o valor lógico das seguintes proposições. a) A unção h é contínua em todo o seu domínio. b) ab, \, a b ha hb c),0 : h h 9.. Determine os valores reais de k para os quais a equação h k Indique o domínio e o contradomínio da unção g, deinida por tem eactamente duas soluções. g h Considere a unção h, :,, cujo gráico é uma semi-recta. Designe-a por g. a) Mostre que g. b) Mostre que a unção g é bijectiva e conclua que admite inversa. c) Sem determinar a epressão analítica da unção inversa de g, determine, g. d) Caracterize a unção g. e) Seja a unção de domínio deinida por. Determine o domínio da unção g. 0. Sejam e g duas uma unções de domínio tais que é ímpar e g é deinida por g 0.. Mostre que o ponto de coordenadas 0,0 pertence ao gráico de Mostre que a unção g é par. 0.. Na igura seguinte apresenta-se parte da tabela de variação do sinal da unção g: Qual é o conjunto solução da equação g g 0? Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano 6

7 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades. Considere a unção g, de domínio e cuja tabela de variação da monotonia se apresenta a seguir: 0 g 0.. Qual das seguintes airmações não é necessariamente verdadeira? A g é crescente em,0 e em,. B g tem pelo menos um zero. C é um mínimo da unção g. D g é decrescente em 0,... Considere agora que a unção g é contínua em todo o seu domínio. Quais são os etremos da unção deinida por g? A e 7 B e 0 C 0 e D e. Seja uma unção de domínio tal que e 9. Sabe-se que o gráico de tem a concavidade voltada para cima no intervalo,. Qual das seguintes airmações é necessariamente verdadeira? A,, 0 B,, 0 C,, 0 D,, 0 h k k k, com k.. Considere a unção h, de domínio, deinida por.. Para que valores reais de k a unção h é estritamente crescente?.. Mostre que h nunca pode ser uma unção ímpar... Indique o valor lógico da proposição, k : é uma unção par... Para a k considere a unção, de domínio, deinida por. Determine a de modo que a unção seja ímpar. n h a, com n natural e par e Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano 7

8 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades. Na igura está representada uma circunerência de centro em Q e raio. s arcos AB e CD têm o mesmo comprimento que o raio da circunerência. C D Q P A B Considere que um ponto P, partindo de Q, se desloca a uma velocidade constante ao longo percurso sugerido pelas setas: de Q para A, seguindo pelo arco AB, em seguida de B para C, depois pelo arco CD e terminando em Q. Seja d a unção que dá a distância do ponto P ao ponto Q em unção do tempo t, onde t 0 é o instante em que o ponto P inicia o movimento. Numa pequena composição indique a opção onde pode estar representado o gráico da unção d e apresente, para cada uma das restantes opções, uma razão para rejeitar o gráico dessa opção. AI BI d d t t CI DI d d t t Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano 8

9 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades. Para cada m \ 0 e b, considere a unção g, de domínio, deinida por g m b... Mostre que g é bijectiva... Mostre que se a unção g coincidir com a sua inversa, então m m... Admita que g g,. Sabendo que o gráico g de intersecta o eio no ponto de ordenada, determine m e b... Considere m e 0 a) Determine o valor de b e seja h a unção de domínio deinida por h g g g estritamente crescente em. b) Mostre que a unção h não é injectiva.., para quaisquer, e distintos. Justiique que a unção g é c) Mostre que o gráico da unção h tem a concavidade voltada para baio em. Adaptado de dois eercícios do manual Dimensões 0 da Editora Santillana 6. Na igura estão representados em reerencial o.n. parte dos gráicos das unções g e h, ambas de domínio. Sabe-se que: o gráico de g intersecta o eio nos pontos de abcissa, e g o gráico de g intersecta o eio no ponto de ordenada 8 o gráico de h intersecta o eio nos pontos de abcissa 8, e h o gráico de h intersecta o eio no ponto de ordenada 6.. Qual é o valor de g h 8? A 0 B C D Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano 9

10 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades 6.. A unção h é deinida por h ag b, com, \ 0 ab. Quais são os valores de a e de b? A a e b B a e b C a e b D a e b 7. Sejam uma unção aim de domínio tais que 6 e h, de domínio,, deinida por h. 7.. Qual é o valor de g h9? 6 6, g a unção inversa de e a unção A B 8 C 6 D Qual é o domínio da unção h? A, B, C, D, 7.. Qual das seguintes é a epressão analítica da unção g, unção inversa de? A C g B g 9 D g g Seja t a unção de domínio deinida por t Qual das seguintes airmações é verdadeira? A A unção t tem máimo absoluto em. B A unção t tem máimo absoluto em 6. C A unção t tem mínimo absoluto em 6. D A unção t tem mínimo absoluto em. Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano 0

11 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades 8. Nas iguras estão representadas em reerencial o.n. as unções, g e h, todas de domínio. g a b a c h a c 8.. Quais das três unções tem um etremo relativo no ponto de abcissa a? A Apenas h B e g C g e h D, g e h 8.. gráico da unção h é composto por partes de duas parábolas. Considere as seguintes airmações: I. gráico da unção h tem a concavidade voltada para cima em. II. Em,a o gráico da unção h tem a concavidade voltada para cima. Quais das airmações são verdadeiras? A Nenhuma B I C II D I e II. 8.. Qual das seguintes airmações é necessariamente alsa? A ha 0 B h gc 0 C g ha 0 D g b 0 Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

12 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades 9. Considere a unção, de domínio, deinida por k, com \ 0 k. Sejam A, B e C os pontos de abcissas a, b e c, respectivamente, com ab c, pertencentes ao gráico de tais que mab mbc, onde m AB designa o declive da recta AB e m BC designa o declive da recta BC. 9.. Qual das seguintes airmações é necessariamente verdadeira? A k 0 B k 7 C k 0 D k 9.. Considere a, b e m. Qual é o valor de k? AB A B 6 C 7 D 8 0. Considere as unções :,,0,,6,0,,, tais que G,0,,, 0,,,, 6, e a unção g, de domínio, deinida por g 0.. Qual das seguintes airmações é verdadeira? A B 6 0 C g 0 0 D g 0.. Determine o conjunto solução da equação g.. Na igura, está representada em reerencial o.n. o gráico da unção de domínio, Construa a tabela de variação da monotonia da unção... Qual é o contradomínio da unção g, deinida por g? Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

13 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades.. Considere a unção h, deinida por a) Determine os zeros da unção h. h. b) Estude a unção h quanto à eistência de etremos relativos e absolutos. Caso eistam, indique-os... ponto de coordenadas 6, não pertence ao gráico da unção: A C 6 B D 8.. Considere a unção t, de domínio, deinida por t Determine o conjunto solução da equação t..6. Caracterize a unção j, unção inversa da unção da unção :,,.7. Considere a unção i, deinida por i.., Numa pequena composição indique a opção onde pode estar representado o gráico da unção j e apresente, para cada uma das restantes opções, uma razão para rejeitar o gráico dessa opção. AI BI CI DI 6 7 Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

14 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades SLUCINÁRI.. G,,,, 0,0,,,, ; e.. g : a, b, c a, b, c tal que g b a, g c b e ' não é injectiva; D 0,, g a c. B não é sobrejectiva.. h : tal que h... a).. b) a.. c) 0.. d) c.. e)...6. Por eemplo A 0,, e B 0,, h 0 D h,,,,. A '.. D,0,,6,0,,,6,7 g não é sobrejectiva; g g g.. é bijectiva, isto é, é injectiva e sobrejectiva. Logo, admite inversa. 0 e g não é injectiva a) 0.. g D g,,6,8.. c) 0.. d) a).6. b),,.6. a),0. B.. D.. C.. C.. B 6. A 7. B 8.. B 8.. a),, 8.. b),0, 8.. c),0, 8.., Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano

15 Função Inversa e Função Composta; Generalidades; Monotonia, Etremos e Concavidades 9.. 6,, A unção h é estritamente crescente em, ; é estritamente decrescente em 9, e em, ; é constante em,. 9 8 é um máimo relativo em 9 ; é um máimo relativo para todo o, ; é um mínimo relativo para todo o,. A unção h não tem etremos absolutos. 9.. a) Verdadeira 9.. b) Falsa. Por eemplo, c) Verdadeira. h h h mas h h 6 0 ; h não é injectiva k, \ Dg ; Dg 7, 9.6. c) d) g :,, tal que g 0..,, 9.6. e),0,.. C.. A. B.. k,,.. h0 0. Se uma unção aim é ímpar, então o seu gráico contém o ponto de coordenadas 0,0. Logo, h nunca pode ser ímpar... Verdadeira.. a. C.. m e b.. a).. b) h h 6.. B 6.. A e h não é injectiva 7.. B 7.. C 7.. B 7.. D 8.. C 8.. C 8.. D 9.. A 9.. C 0.. B 0..,.. 7 n.d... 0,.. a),6,9.. b) 6 é um mínimo absoluto em ; é um mínimo relativo para todo o 9 para todo o, ; é um máimo relativo em 9, ; é um máimo relativo.. C..,,7.6. j :,, tal que.7. B j. Ficha de Trabalho n.º 8 Matemática A 0.º Ano