Monotonia de uma função Dominar os conceitos. Função Par e Função Impar. Fazer exercícios.

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Neusa Barateiro de Carvalho
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1 p-p6 : Generalidades sobre funções reais de variável real. Conceito de Ler com atenção. Monotonia de uma função Dominar os conceitos. Função Par e Função Impar. Fazer eercícios. Função Periódica. Conceito de Função Limitada. Função (Aplicação). Correspondência Unívoca. Classificação de funções reais de variável real. Domínio e Contradomínio de uma função. Função Sobrejectiva, Injectiva e Bijectiva. Identidade, Restrição, e Etensão de uma função. Função Composta. Função Inversa. Operações com funções. Função (Aplicação) Sejam A e B conjuntos quaisquer e seja f uma relação binária de A para B. Diz-se que f é uma aplicação de A em B ou uma função definida em A com valores em B se A, y B : y Note-se que se trata de uma correspondência unívoca definida de A para B, ou seja, qualquer elemento de A tem correspondente em B e o correspondente é único. Os elementos de A desinam-se por objectos. Os elementos de B desinam-se por imaens ou transformados. O conjunto A desina-se por conjunto de partida ou domínio. O conjunto B desina-se por conjunto de cheada. Domínio O domínio de uma função f : A B é o conjunto dos objectos A tais que eiste y B correspondente a cada um deles, e representa-se por D f A, y B : y Contradomínio O contradomínio de uma função f : A B é o subconjunto de B cujos elementos são as imaens por meio de f dos elementos do domínio, e representa-se por CD f

2 Função Sobrejectiva A função f : A B diz-se sobrejectiva se o contradomínio de f coincide com o conjunto de cheada, CD f = B, isto é y B, A : y Função Injectiva A função f : A B diz-se injectiva se a objectos diferentes correspondem imaens diferentes, Df, ) f( ) Função Bijectiva A função f : A B diz-se bijectiva se for sobrejectiva e injectiva. y B, A : y Identidade de funções Diz-se que duas funções f e são idênticas se - Têm o mesmo domínio - Têm o mesmo conjunto de cheada - f( = (, Df Restrição de uma função Seja f : A B e C, um subconjunto de A, C A. Chama-se restrição de f a C à função : C B tal que C, ( Etensão de uma função Se : C B é uma restrição de uma função f : A B onde C A, então f diz-se uma etensão, ou prolonamento, de a A 6 Função Composta Dadas duas funções quaisquer f e, chama-se composta com f, e representa-se por o f, ou (f) à função assim caracterizada - O domínio de o f é o subconjunto do domínio de f constituído pelos elementos cujas imaens pertencem ao domínio de. { : D f( D } Do f = f ) - O conjunto de cheada de o f é o de. - ( o f)( = [ f( ], D of 7 Eemplo: f : A B com = {,, } : C D com = {,,, } A, B = {,,,7 } e f( = + C, D = {,,,7} e ( = C - - D f A B D o = {, } O conjunto de cheada é D = {,} f o f CD o f [ f( ] = ( + ) = + =

3 Função Inversa Seja f : A B uma função injectiva. Chama-se função inversa de f, e representa-se por f, a função tal que - Tem por domínio o contradomínio de f, D = CDf - Tem por contradomínio o domínio de f, CD = D f f = - y f ( y) Só as funções injectivas têm função inversa Função Identidade Chama-se função identidade num conjunto A, e representa-se por I A, a função que a qualquer elemento de A faz corresponder o próprio elemento, A, IA ( =. f 9 Propriedades da composição e da inversão de funções. A composição de funções é associativa Para quaisquer funções f,, h tem-se: ( f o ) o h = f o ( o h). A composição de funções não é comutativa Para quaisquer funções f e, tem-se em eral que: f o o f Se f o = o f, então f e dizem-se permutáveis.. A aplicação identidade é elemento neutro para a composição de aplicações, f o I = I o f f. A A =. A composição entre uma função e a sua inversa é a aplicação identidade. Sendo f : A B, então f o f = I B e f o f = I A.. A inversa da composta de duas funções é iual à composta das inversas dessas funções, em ordem inversa, ( f ) = f o o. Função Real de Variável Real Chama-se função real de variável real a qualquer função dum subconjunto de R em R, f : A R R, y É usual usar a variável para indicar qualquer objecto, e a variável y para indicar a correspondente imaem. Diz-se que é a variável independente e y a variável dependente. Domínio É usual indicar uma função real de variável só pela sua epressão analítica, neste casos convenciona-se que o domínio da função é o maior subconjunto de R para o qual a epressão analítica é possível (em R ). Sendo A ( e B ( quaisquer epressões analíticas, indicam-se na tabela as condições a impor para a determinação do domínio Epressão Condição A( B( B ( n A(, com n par A ( ( A( ), ( a >, a ) loa A ( > B( A ( A ( >

4 Eemplo: Domínio da função real de variável real ( ) ( ) + f =? Por definição de potência de epoente real, a base tem de ser positiva. > < < { R : < < } D = Re(f() Im(f( ))... Contradomínio No caso eral a determinação do contradomínio de uma função real de variável real implica o - Estudo da função: continuidade; assimptotas; monotonia; etremos locais; etc. Nos casos mais simples o contradomínio pode ser determinado - A partir da definição. - A partir do domínio da relação binária inversa Eemplo: Determine o contradomínio da função ( =. Operações com funções Adição ( f + )( + (, Df + = Df D 6 y = y = lo( y) = ± lo( y) = Subtracção ( f )( (, Df = Df D Multiplicação y < y ( f )( (, Df = Df D Divisão, D = D D { R : ( ) } ( f )( ( f f CD = [, [ Composição o, D = { R : D ( D } ( f )( ( ) fo Inversão y = f ( y), D = CD f f, CD = D f f f

5 Eemplo: 7 Monotonia de uma função 8 Considerando as funções reais de variável real f ( = se < se ( = se < se > Uma função r.v.r. diz-se monótona num subconjunto A do seu domínio se é crescente ou decrescente em A. Função crescente. f ( é crescente em A se caracterize ( f )(, A : > ) f( ) Função estritamente crescente. f ( é estritamente crescente em A se D \{,} f = R f ( = + + se < se < < se, A : > ) > f( ) Função decrescente. f ( é decrescente em A se, A : > ) f( ) Função estritamente decrescente. f ( é estritamente decrescente em A se, A : > ) < f( ) Função Par e Função Impar Uma função r.v.r. diz-se uma função par se Df : f( Uma função par é simétrica em relação ao eio das ordenadas. Uma função r.v.r. diz-se uma função impar se Df : f( = f( Uma função impar é anti-simétrica em relação ao eio das ordenadas. Função Periódica Uma função r.v.r. diz-se periódica se eistir um T R \{ } tal que Df : f( + T ) O menor valor positivo de T diz-se o período fundamental da função. 9 Função Limitada Seja f ( uma função r.v.r. e A um subconjunto do seu domínio. f( diz-se uma função minorada em A se o conjunto f (A) for minorado. f( diz-se uma função majorada em A se o conjunto f (A) for majorado. f( diz-se uma função limitada em A se o conjunto f (A) for limitado. Chama-se supremo, ínfimo, máimo, e mínimo de f ( em A, ao supremo, ínfimo, máimo e mínimo do conjunto f (A), se eistirem. Se f ( for limitada em A, chama-se oscilação de f ( em a A sup( f( ) inf( f( ). A A

6 Classificação de funções reais de variável real Funções Polinomiais Uma função r.v.r. diz-se polinomial se a sua epressão analítica é da forma n n n f ( = a + a + a an + an a, a,..., an em que são números reais, ditos os coeficientes do polinómio, e n, n,...,, são inteiros não neativos, sendo n o rau do polinómio.. Função Afim f ( = m + b, a, b R y y m = b = y m y y b y b f a. Função Quadrática f ( = a + b + c, a, b, c R a > a < = b a Funções Racionais Uma função r.v.r. diz-se uma função racional se a sua epressão analítica é da forma n n n P( a + a + a an + an f( = = Q( m m m b + b + b bm + bm. Função Homoráfica Uma função r.v.r. diz-se uma função homoráfica se a sua epressão analítica é da forma a + b f ( =, a, b, c, d R c + d Eemplo: f( = + lim f( = lim = ± ± + lim f( = = + lim f( = = A representação eométrica duma função homoráfica é uma Hipérbole Equilátera com as assimptotas paralelas aos eios coordenados 6

7 Funções Irracionais Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional se na sua epressão analítica eistem operações sobre a variável independente não redutíveis à adição, subtracção, multiplicação e divisão em número finito.. Irracionais alébricas Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional alébrica se na sua epressão analítica as operações sobre a variável independente são apenas as de adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação de epoente inteiro e radiciação em número finito. Eemplo: f ( = + +. Irracionais transcendentes Uma função r.v.r. diz-se uma função irracional transcendente se não é alébrica. Eemplos: f ( = sen( ; f ( = e 7

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