Aula 0. Análise Matemática I. Aula 0 - Conhecimentos Prévios 1

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1 Análise Matemática I. Aula 0 - Conhecimentos Prévios 1 Aula 0 Introdução Frequentemente se diz que a álgebra é a aritmética das sete operações, querendo com isto sublinhar que às quatro operações matemáticas, conhecidas de todos, a álgebra acrescenta mais três: a potenciação e as suas inversas. A adição e a multiplicação têm cada uma a sua operação inversa, a subtracção e a divisão, respectivamente. A quinta operação aritmética, a potenciação ou a elevação a epoentes, tem duas operações inversas: a determinação da base e a determinação do epoente. Quando a incógnita é a base, temos a seta operação matemática, denominada etracção da raiz. A determinação do epoente, a sétima operação, chama-se cálculo logarítmico. É fácil compreender por que motivo a potenciação tem duas operações inversas, enquanto que a adição e a multiplicação têm apenas uma. É que a ordem das parcelas (1 a e 2 a ) na adição, pode ser alterada, o mesmo acontecendo com os factores, na multiplicação. Contudo, os elementos da potenciação, isto é, a base e o epoente, não gozam desta propriedade, pelo que não podem trocar-se as suas funções (p.e., ). Daqui resulta que para determinar cada um dos termos da adição e da multiplicação se usem os mesmos processos, enquanto que a base da potência se determina por um processo diferente do utilizado para determinar o seu epoente.

2 Análise Matemática I. Aula 0 - Conhecimentos Prévios 2 Conhecimentos Prévios Potenciação Definição: a n = a }... {{ a }, n N. n vezes Da definição vem que: a 1 = a a 0 = 1, a 0 a n = 1 a n, a 0 a m n = a m Propriedades a n a m = a n+m a n a = m an m (a n ) m = a n m a n b n = (a b) n a n b n = ( a b ) n Radiciação Definição: n = y y n =, n N, n ímpar se R, n par se R +. Propriedades a n b = a b m a = m n a a b = n a b Simplificação, a R an = a, para n ímpar an b = a b, para n ímpar an = a, para n par. an b = a b, para n par a ± y a = ( ± y) a Logaritmo Definição: log a = y a y =, a R + \ {1}.

3 Análise Matemática I. Aula 0 - Conhecimentos Prévios 3 Da definição vem que: log a a = 1 pois a 1 = a log a 1 = 0 pois a 0 = 1 Simplificação: a log a b = b log a a b = b Propriedades log a ( y) = log a + log a y log a ( y ) = log a log a y log a p = p log a Mudança de base log a = log log a = ln ln a Notação: log 10 = log log e = ln Módulo, 0 Definição: =, < 0 Equações com módulos (a R + ) = a = a = a Inequações com módulos (a R + ) a a a a a a < a < a > a > a > a < a

4 Análise Matemática I. Aula 0 - Conhecimentos Prévios 4 Casos Particulares, b R : = 0 = 0 0 = 0 < 0 0 R > 0 R \ {0} = b b < b b R > b R Polinómios. Operações com polinómios Definição de polinómio Chama-se polinómio de grau n numa variável a uma epressão algébrica do tipo: a n n + a n 1 n a 0, com a i R,i = 1,...,n e a 0 0. Operações com polinómios Adição e subtracção ( ) ( 3) = = Multiplicação ( (3 2) 1 ) = = Divisão = Nota: N D = Q+ R, com N de numerador, D de denominador, Q de quociente e R de resto. D

5 Análise Matemática I. Aula 0 - Conhecimentos Prévios 5 Regra de Ruffini Esta regra utiliza-se para determinar o quociente e o resto da divisão de um polinómio por um binómio do 1 o grau. ( ) ( 3) = ( 3)( ) + 55 Casos Notáveis (a + b)(a + b) = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b)(a b) = (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 Gráficos Rectas y = m + b, equação reduzida da recta (equação do 1 o grau) em que m representa o declive da recta e b a ordenada na origem. m > 0, b 0 m < 0, b 0 y y

6 Análise Matemática I. Aula 0 - Conhecimentos Prévios 6 m 0, b = 0 y =, y = y 2,y 5 y,y Rectas Horizontais m = 0, y = b y y 1 Rectas Verticais = k Tabela 1: Parábolas:y = a 2 + b + c, a 0, equação do 2 o grau em que a representa o sentido da concavidade da parábola > 0 = 0 < 0 a > 0 a < 0 Função Eponencial Função Logarítmica e : R R + y e y ln ln : R + R lim + e = + lim e = 0 lim ln = lim 0 + ln = + +