ESCOLA SECUNDÁRIA JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROÍSMO

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROÍSMO PLANIFICAÇÃO ANUAL ANO LECTIVO: 008/009 DISCIPLINA: Matemática ANO: 1º Aulas previstas 1º período: 7 (5 ) º período: 7 (5 ) 3º período: 0 (5 ) Unidade temática Introdução ao cálculo de probabilidades. Áreas de Conteúdo Competências / Objectivos Aulas (de 5 ) Simulação de uma actividade recorrendo à calculadora. Fenómenos aleatórios e fenómenos deterministas. Conjunto de resultados. Acontecimento como subconjunto. Operações com acontecimentos. Experiências compostas. Tabela de dupla entrada. Diagrama de árvore. Técnicas de contagem. Lei dos grandes números. Descrever e/ou Identificar experiências aleatórias. Determinar o espaço amostral de uma experiência aleatória. Calcular a probabilidade de um acontecimento. Distinguir acontecimentos independentes de acontecimentos dependentes. Verificar as propriedades da axiomática aplicadas aos vários conceitos de probabilidade. Adquirir técnicas de registo e organização de resultados. Aplicar técnicas de registo e organização de resultados. 1

2 Conceito frequencista de probabilidade. Acontecimentos equiprováveis. Definição de probabilidade segundo Laplace. Probabilidade em experiências compostas Definição axiomática de probabilidade. Demonstrações, usando as propriedades e os teoremas. Probabilidade condicionada e independência. Resolver problemas partindo de jogos e de actividades. Seleccionar e estruturar os dados importantes para a organização de raciocínios. Aplicar as propriedades das operações com acontecimentos. Criar estratégias de contagem modelos para conduzir à solução. Explicar raciocínios, usando correctamente a linguagem específica das probabilidades. Probabilidade da intersecção de acontecimentos. Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades. Acontecimentos independentes. Verificação da axiomática das probabilidades. Variável aleatória Função massa de probabilidade: Distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta. Distribuição de frequências versus distribuição de probabilidades. Obter o gráfico da distribuição de frequências. Calcular a média e o desvio padrão da variável em estudo. Obter o gráfico da função massa de probabilidade.

3 Média versus valor médio Desvio padrão amostral versus desvio padrão populacional Calcular o valor médio e o desvio padrão populacional. Modelo Normal; histograma versus função densidade Comparar valores obtidos para uma amostra com os correspondentes valores esperados para a população. Propriedades de uma curva normal. Obter o histograma/polígono de frequências da distribuição. Calcular a média e o desvio padrão amostral. Efectuar cálculos. Fazer a análise da curva/tirar conclusões a partir do valor dos parâmetros. Combinatória e probabilidades. Modelo binomial. Técnicas de contagem. Produto cartesiano. Cardinal de um conjunto. Permutações. Arranjos completos. Calcular probabilidades em distribuições binomiais. Usar a calculadora para obter gráficos de distribuições binomiais. Usar a calculadora para efectuar cálculos relativos a distribuições binomiais. Resolver problemas de contagem, utilizando tabelas, diagramas em árvore, etc. Utilizar as fórmulas do cálculo combinatório para simplificar e organizar melhor as contagens. 3

4 Função exponencial e função logarítmica. Arranjos sem repetição ou arranjos simples. Partes de um conjunto. Conjunto das partes. Combinações. Propriedades aritméticas dos números n n A e C. p Triângulo de Pascal. p Propriedades das combinações. Deslocamentos sobre uma quadrícula. Formula do binómio de Newton. Aplicação ao cálculo das probabilidades Definição de função exponencial de base a. Crescimento exponencial. Estudo das propriedades analíticas e gráficas da família de funções definida x por f( x) = a com a> 1. Função exponencial de base e. Definição de logaritmo. Efectuar contagens, com aplicação de técnicas diversas, em vários contextos. Construir e explorar o Triângulo de Pascal. Demonstrar/utilizar as propriedades n n n n n 1 Cp = Cn p e Cp+ C + p+ 1= Cp 1 Desenvolver potências de um binómio. Aplicar as fórmulas do cálculo combinatório na determinação de probabilidades. Interpretar gráfica e analiticamente as propriedades das funções exponenciais. Investigar a influência da variação de parâmetros em famílias de funções exponenciais. Analisar o crescimento exponencial. Aplicar as regras operatórias sobre exponenciais.

5 Descrever o comportamento de funções exponenciais. Interpretar fenómenos descritos por funções exponenciais. Resolver problemas envolvendo funções exponenciais. Valorizar a importância das funções exponenciais no estudo de fenómenos reais. Função logarítmica de base superior a um. Logaritmos decimais e logaritmos neperianos. Propriedades analíticas da família de funções definidas por f x = log a x, com a >. ( ) 1 Regras operatórias dos logaritmos. Aplicações concretas de exponenciais e logaritmos Interpretar gráfica e analiticamente as propriedades das funções logarítmicas. Investigar a influência da variação de parâmetros em famílias de funções logarítmicas. Analisar o crescimento logarítmico. Aplicar as regras operatórias sobre logarítmicas. Descrever o comportamento de funções logarítmicas. Interpretar fenómenos descritos por funções logarítmicas. Resolver problemas envolvendo funções logarítmicas. 5

6 Limites e continuidade. Limite segundo Heine - limites laterais Valorizar a importância das funções logarítmicas no estudo de fenómenos reais. Lidar de forma mais rigorosa com conceitos já utilizados antes de forma intuitiva: limites laterais e limite de uma função num ponto. Propriedades operatórias sobre limites. Limites notáveis 0 Indeterminações,, 0 e 0 Aplicar as propriedades operatórias sobre limites em diversos contextos. Calcular limites de funções. Identificar limites notáveis. Aplicar limites notáveis no levantamento de indeterminações. Determinação de assimptotas. Levantar indeterminações. Determinar assimptotas. Continuidade: - definição ; - operações com funções contínuas; - continuidade lateral; - continuidade num intervalo. Interpretar graficamente as assimptotas do gráfico de uma função. Lidar de forma mais rigorosa com conceitos já utilizados antes de forma intuitiva: continuidade lateral e continuidade de uma função num ponto. Interpretação gráfica do conceito de continuidade de uma função num ponto. Estudar a continuidade de uma função.

7 Derivadas. Teorema de Bolzano Cauchy. Recordar a definição e demonstração de derivada num ponto e sua interpretação geométrica. Aplicar o teorema de Bolzano-Cauchy ao estudo de funções. Lidar de forma mais rigorosa com conceitos já utilizados antes de forma intuitiva: derivadas laterais e derivada de uma função num ponto. Função derivável. Função derivada. Derivadas laterais. Funções deriváveis e continuidade. Interpretação geométrica de derivada de uma função num ponto. Relacionar a derivada com a continuidade de uma função na resolução de problemas. Regras de derivação: - da soma; - do produto; - da potência; - da radiciação; - do quociente. Conhecer regras de derivação. Calcular derivadas. Aplicar o conceito de derivada na resolução de problemas. Derivadas de funções elementares: - exponencial de base a e de base e; - logarítmica de base a e de base e; Segunda definição do número e; Teorema da derivada da função composta. 7

8 Segunda derivada: - sentido da concavidade - pontos de inflexão Interpretação geométrica da segunda derivada de uma função num ponto. Estudo de funções em casos simples. Estudar funções combinado métodos analíticos com o uso da calculadora gráfica. Integrar novos conhecimentos em processos de modelação matemática. Integração do estudo do Cálculo Diferencial num contexto histórico. Localizar o desenvolvimento do cálculo diferencial na História da Matemática. Problemas de optimização. - determinação de máximos e mínimos. Resolver problemas de optimização. Resolver problemas usando funções. Funções trigonométricas Estudo intuitivo tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora gráfica das funções: Seno; Co-seno; Tangente. Analisar características de funções trigonométricas por processos analíticos e por processos gráficos (sinal, zeros, monotonia, paridade, período, continuidade, extremos e gráfico) Investigar a influência da variação de parâmetros em famílias de funções trigonométricas. Razões trigonométricas do ângulo soma e diferença. Deduzir as fórmulas trigonométricas da soma e da diferença. 8

9 senx Estudo intuitivo do lim. x 0 x Derivadas das funções trigonométricas: Seno; Co-seno; Tangente. Calcular limites aplicando senx lim. x 0 x Derivar funções trigonométricas. Resolver problemas envolvendo funções trigonométricas. Problemas de optimização. Utilizar modelos trigonométricos na resolução de problemas reais. Números complexos Evolução histórica do conceito do número. Representar no plano complexo Z, Z e -Z. Definição de número i. Definição do conjunto C. Definição número complexo Re(Z) e Im(Z). Calcular raízes quadradas de um real negativo Representação geométrica de números complexos. Operar com números complexos na forma algébrica. Definição: Z Interpretar geometricamente as operações com números complexos. Z -Z igualdade de dois complexos. Interpretar geometricamente o produto de um número complexo z por i e por i. 9

10 Operações com números complexos: Adição e subtracção. Multiplicação Potênciação Divisão Representação de números complexos na forma trigonométrica. Argumento de um complexo. Argumento positivo mínimo ou principal. Definição na forma trigonométrica de: Conjugado; Simétrico; iz Operações com complexos na forma trigonométrica: Multiplicação; Potenciação; Divisão; Inverso. Radiciação Domínios e condições em variável complexa. Converter a forma algébrica na trigonométrica e vice-versa. Resolver equações simples. Representar geometricamente um número complexo na forma trigonométrica. Operar com complexos na forma trigonométrica. Determinar as n raízes índice n de um número complexo não nulo. Representar geometricamente as n raízes de índice n de um complexo Identificar domínios planos definidos por condições em z, com z C Representar domínios planos através de condições com variável complexa. 10

11 Planificação por Período Períodos Áreas de Conteúdo Avaliação N.º de aulas para avaliação 1º Período Probabilidades e Combinatória Função Exponencial Dois testes Um trabalho individual 1 º Período Função Logarítmica Limites e Continuidade Derivadas Dois testes Um trabalho individual 1 Funções Trigonométricas ( introdução ) 3º Período Funções Trigonométricas Números Complexos Dois testes 8 11

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