2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações

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1 Capítulo 2 2. Expressões Algébricas, Equações e Inequações Como exposto no tópico 1.3, uma expressão algébrica é uma a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas. As letras constituem a parte variável da expressão, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. Este capítulo detém-se a estudar particularidades de tais estruturas matemáticas: os polinômios e as frações algébricas. Além disso, devido a importâncias para os próximos capítulos, também serão abordadas equações e inequações 2.1. Polinômios Monômio Um monômio é uma expressão algébrica composta apenas pela multiplicação de um número por potências inteiras não negativas de variáveis. 1) As expressões abaixo são monômios: a) 4x 3 y b) ab 8 c 5 c) 10 2) As expressões abaixo não são monômios: a) w z Há divisão entre as variáveis b) 2a 3 c A potência c tem expoente não inteiro c) x 2 y 3 Há uma diferença entre as potências.

2 O fator numérico presente no monômio é denominado coeficiente. Enquanto que o restante é a parte literal. A soma dos expoentes das potências das variáveis envolvidas é dita grau. Identifique o grau, parte literal e o coeficiente dos monômios abaixo. coeficiente: 1 1) m 2 n 7 = ( 1)m 2 n 7 { parte literal: m 2 n 7 grau: n = = 9 2) ab8 c 5 5 coeficiente: 1 = 1 5 ab8 c 5 5 { parte literal: ab 8 c 5 grau: n = = 14 coeficiente: 20 3) 20 { parte literal: ausente grau: n = Polinômios de uma variável Define-se um polinômio como a soma algébrica (soma ou diferença) de monômios. É de interesse os polinômios de apenas uma variável denotado por p(x) de grau n, cuja forma é: p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + +a 1 x + a 0 x 0 Em que os coeficientes a n, a n 1,, a 1 e a 0 são números reais e n é um número inteiro. O grau do polinômio é grau de seu termo (monômio) de maior potência. O polinômio b(x) = 3 5x 2 + x é um polinômio de 2º grau completo. O polinômio c(x) = x 3 x é de 3º grau, com coeficientes a 2 = a 0 = 0.

3 Um caso especial de polinômio ocorre quando a n = a n 1 = = a 1 = a 0, sendo assim denominado polinômio nulo. Tal polinômio assume o valor numérico zero para todo os valores de x real Igualdade de Polinômios Dizemos que dois polinômios p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 e q(x) = b n x n + b n 1 x n b 1 x + b 0 são iguais ou idênticos quando assumem valores numéricos iguais para todo x real. Para que isso ocorra, devemos ter: m = n ; a n = b n ; a n 1 = b n 1 ; ; a 0 = b 0 Exemplo: Dados os polinômios f(x) = (a 1)x 2 + bx + c e g(x) = 2ax 2 + 2bx c, qual é condição para que f(x) = g(x)? Devemos ter a 1 = 2a a = 1 { b = 2b b = 0 c = c c = 0 Assim, a condição necessária para que f(x) = g(x) é a = 1 e b = c = Adição e Subtração de Polinômios Para adicionar ou subtrair dois polinômios devemos somar ou subtrair os termos de mesmo grau. 1) Sejam os polinômios: p(x) = 5 3x 2 x + 2x 3 q(x) = 4x 2 + x 4 6x 2 a) Calcule r(x) = p(x) + q(x)

4 r(x) = [ 5 3x 2 x + 2x 3 ] + [4x 2 + x 4 6x 2 ] (organize por ordem decrescente do grau) r(x) = [ 2 x 3 3x 2 x + 5] + [x 4 6x 2 + 4x 2] (agrupe os termos de mesmo grau) r(x) = x x 3 3 x 2 6 x 2 x + 4x r(x) = x 4 + 2x 3 + ( 3 6)x 2 + ( 1 + 4)x + + (5 2) r(x) = x 4 + 2x 3 9x 2 + 3x + 3 b) Calcule s(x) = p(x) q(x) s(x) = [ 5 3x 2 x + 2x 3 ] [4x 2 + x 4 6x 2 ] s(x) = [ 2 x 3 3x 2 x + 5] [x 4 6x 2 + 4x 2] s(x) = 2 x 3 3x 2 x + 5 x 4 + 6x 2 4x + 2 s(x) = x x 3 3 x x 2 x 4x s(x) = x 4 + 2x 3 + ( 3 + 6)x 2 + ( 1 4)x + (5 + 2) s(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 5x + 7 2) Calcule r(x) = 2 p(x) 3 q(x), onde p(x) = 2x 2 + 5x 2 q(x) = 3x 3 + 2x 1 r(x) = 2 ( 2x 2 + 5x 2) 3( 3x 3 + 2x 1) r(x) = 4x x 4 + 9x 3 6x + 3 r(x) = 9x 3 4x 2 + (10 6)x + ( 4 + 3) r(x) = 9x 3 4x 2 + 4x 1 No caso de adição e subtração de dois polinômios podemos organizar o polinômio por ordem decrescente do grau de seus monômios, e efetuar estas operações como usualmente fazemos na forma: 1) Sejam os polinômios: p(x) = 2x 3 x + 5 3x 2 e q(x) = 6x 2 x 4 + 4x 2

5 a) Calcule a Soma: p(x) + q(x) +2x 3 3x 2 x +5 + x 4 6x 2 +4x 2 x 4 +2x 3 9x 2 +3x +3 b) Calcule a Subtração: p(x) q(x) +2x 3 3x 2 x +5 x 4 6x 2 +4x 2 x 4 +2x 3 +3x 2 5x Multiplicação de Polinômios Para multiplicar dois polinômios, utiliza-se a propriedade distributiva da multiplicação: (a + b)(c + d + f) = = (ac) + (ad) + (af) + (bc) + (bd) + (bf) 1) Sejam os polinômios p(x) = x + x 3 e q(x) = x 5 x 3.Calcule s(x) = p(x). q(x) s(x) = ( x + x 3 )(x 5 x 3 ) s(x) = ( x). (x 5 ) + ( x). ( x 3 ) + (x 3 )(x 5 ) + (x 3 )( x 3 ) s(x) = x. x 5 + x. x 3 + x 3. x 5 x 3. x 3 s(x) = x 6 + x 4 + x 8 x 6 s(x) = x 8 + ( 1 1) x 6 + x 4 s(x) = x 8 2 x 6 + x 4 2) Sejam os polinômios: p(x) = 2x 1 q(x) = x 2 + 3x Calcule r(x) = p(x). q(x)

6 r(x) = (2x 1). ( x 2 + 3x) r(x) = (2x). ( x 2 ) + (2x). (3x) + ( 1). ( x 2 ) + +( 1). (3x) r(x) = 2. x. x x. x + 1. x 2 3. x r(x) = 2x 3 + 6x 2 + x 2 3x r(x) = 2x 3 + 7x 2 3x 3) Dado a figura abaixo, expressar o polinômio que representa a área formada nas regiões I e II. A x E 5x + 1 B 3x I II D F C Sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto de seus lados. O retângulo ABCD é formado pela soma das áreas I e II. Sua área é calculada pelo produto de AD por AB. Assim temos: 3x. (x + 5x + 1) = 3x(6x + 1) = 18x 2 + 3x Podemos efetuar a multiplicação de dois polinômios como usualmente fazemos esta operação com números reais na forma: 2x 1 x 2 +3x 6x 2 3x 2x 3 + x 2 2x 3 + 7x 2 3 x Produtos Notáveis Alguns produtos são utilizados frequentemente e são chamados de produtos notáveis. Eis alguns deles:

7 a) Produto da soma pela diferença de dois termos: (x + a). (x a) = x 2 a 2 b) Quadrado da soma de dois termos: (x + a) 2 = (x + a). (x + a) = x 2 + 2ax + a 2 c) Quadrado da diferença de dois termos: (x a) 2 = (x a). (x a) = x 2 2ax + a 2 d) Cubo da soma de dois termos: (x + a) 3 = x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a 3 e) Cubo da diferença de dois termos: (x a) 3 = x 3 3x 2 a + 3xa 2 a 3 1) (k 5) 2 = k 2 2. k = k 2 10k ) (2 t + 3) 2 = (2 t) (2 t). (3) = 4 t t + 9 3) (3 2x)(3 + 2x) = (3) 2 (2x) 2 = 9 4x 2 4) 9y 2 + x 2 6yx = (3 y) 2 2. (3y). (x) + (x) 2 = (3y x) Divisão de Polinômios Para dividir dois polinômios a(x) e b(x), o processo é semelhante ao da divisão de dois números reais. Os termos do quociente q(x) são escolhidos de modo que os termos de maior grau dos dividendos ao longo da operação sejam eliminados. O resto r(x) é o dividendo que tem grau menor que o divisor. Calcule 1) f(x)/(g(x), sendo: a(x) = b(x). q(x) + r(x) a(x) r(x) = q(x) + b(x) b(x)

8 f(x) = x 3 2x e g(x) = x + 1 x 3 2x x + 1 x 3 x 2 x 2 x + 1 x 2 2x +x 2 + x x +x Sabendo que: (x 3 2x) = ( x 2 x + 1). (x + 1) + 1 Tem-se: f(x) g(x) = (x3 2x) (x + 1) = (x2 x 1) + ( 1 x + 1 ) 2) p(x) = f(x)/(g(x), sendo: f(x) = x 3 + 5x 2 + 8x + 4 e g(x) = x + 2 x 3 + 5x 2 + 8x + 4 x + 2 x 3 2x 2 x 2 + 3x + 2 3x 2 + 8x + 4 3x 2 6x 2x + 4 2x 4 0 p(x) = f(x) g(x) = x2 + 3x Raiz de um Polinômio Raízes ou zeros de um polinômio p(x) são os valores de x que tornam p(x) = 0, ou seja, os valores que zeram a equação. Teorema Fundamental da Algebra (T.F.A.): Todo polinômio não nulo admite ao menos uma raiz complexa.

9 Uma consequência do T.F.A. juntamente com outros teoremas é que um polinômio de grau n tem exatamente n raízes que podem ser reais ou complexas, distintas ou repetidas. Se x 1, x 2,, x n são raízes de polinômio p(x) de grau n, então p(x 1 ) = 0, p(x 2 ) = 0, p(x n ) = 0. Um polinômio de 1 0 grau na forma p(x) = ax + b tem uma raiz x 1 que pode ser calculada como ax 1 + b = 0 x 1 = b a Um polinômio de 2 0 grau na forma p(x) = ax 2 + bx + c tem duas raízes x 1 e x 2 que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara. b ± x = onde = b 2 4 a c 2 a Se > 0 então x 1 e x 2 são raízes reais e distintas Se = 0 então x 1 e x 2 são raízes reais e iguais Se < 0 então x 1 e x 2 são raízes complexas Graficamente, os zeros reais do polinômio p(x) são as interseções do gráfico da função p(x) com o eixo x. Caso 1: Raízes reais distintas

10 Caso 2: Raízes reais iguais Caso 3: Raízes complexas

11 Verifique se x = 3 é raiz dos polinômios abaixo: 1) p(x) = 3 x + 9 p( 3) = 3. ( 3) + 9 = p( 3) = 0 Portanto x = 3 é raiz de p(x). 2) r(x) = x x + 9 r( 3) = ( 3) ( 3) + 9 r( 3) = r( 3) = 0 Portanto x = 3 é raiz de r(x). 3) s(x) = x 3 + 9x s( 3) = ( 3) 3 + 9( 3) s( 3) = = 54 s( 3) 0 Portanto x = 3 não é raiz de s(x). Encontre as raízes dos polinômios abaixo: 4) p(x) = 3x 6

12 p(x) = 3x 6 = 0 3x 6 = 0 3x = 6 x = 6 3 x = 2 5) s(t) = 6 t + 18 s(t) = 6t + 18 = 0 6t + 18 = 0 6t = 18 t = 18 6 t = 3 6) g(x) = x 2 3 x + 2 x 2 3x + 2 = 0 Usando Bhaskara: a = 1, b = 3 e c = 2, = ( 3) = 9 8 = 1 > 0 ; raízes reais distintas ( 3) ± 1 x = 2.1 x 1 = x 2 = 3 1 = 4 2 = 2 = 2 2 = 1 = 3 ± ) g(x) = 4x x x x + 16 = 0 Usando Bhaskara: a = 4, b = 16 e c = 16, = (16) = 0 = 0 ; raízes reais iguais (16) ± 0 x = 2.4 x 1 = = 16 ± 0 8 = 2

13 x 2 = 16 0 = 2 8 8) p(t) = t 2 2 t t 2 2 t = 0 Usando Bhaskara: a = 1, b = 2 e c = 0, = ( 2) = 4 t = ( 2) ± = 2 ± 2 2 t 1 = = 2 2 t 2 = 2 2 = 0 2 Como o polinômio é incompleto (c = 0) podemos resolvêlo diretamente na forma: t 2 2 t = 0 t. (t 2) = 0 Para um produto ser zero um dos dois fatores deve ser zero, assim: t = 0 ou { t 2 = 0 t 1 = 0 t 2 2 = 0 t 2 = 2 9) p(x) = 4x x 2 16 = 0 Usando Bhaskara: a = 4, b = 0 e c = 16, = (0) ( 16) = 256 t = (0) ± = 0 ± 16 8 = ± 16 8

14 x 1 = = 2 x 2 = 16 8 = 2 Como o polinômio é incompleto (b = 0) podemos resolvê-lo diretamente na forma: 4x 2 16 = 0 x 2 = 16 4 x2 = 4 x 2 = 4 x = 2 x 1 = 2 ou x 2 = 2 10) p(x) = x 3 + x 2 6x x 3 + x 2 6x = 0 x ( x 2 x 6) = 0 x = 0 x 1 = 0 { x 2 x 6 = 0 Usando Bhaskara para resolver a equação: x 2 x 6 = 0: = ( 1) ( 6) = 25 ( 1) ± 25 x = 2.1 x 2 = = 3 2 x 3 = 1 5 = 2 = 1 ± Assim: x 1 = 0 ; x 2 = 3 ; x 3 = Fatoração Assim como os números inteiros, as expressões algébricas podem ser fatoradas, ou seja, pode-se transforma-las em produtos de outras expressões.

15 Em geral, qualquer expressão algébrica pode ser fatorada, mas tal prática é mais utilizada e útil em polinômios. Neste caso, a finalidade é obter fatores que também sejam polinômios, mas com grau menor. Antes de estudar os métodos e os casos de fatoração é necessário entender e saber como se calcula o m.m.c. e, principalmente, o m.d.c. de monômios M.D.C. de Monômios O máximo divisor comun entre dois ou mais monômios com coeficiente inteiros pode ser calculado de acordo com a seguinte regra prática: Calcula-se o m.d.c. entre os coeficientes dos monômio. Este será o coeficiente do monômio mdc. Geralmente tal valor é positivo. Escolhe-se a menor potência de cada variável presente em todos os monômios. Esta será a potência de tal variável no monômio m.d.c. Calcule o m.d.c. dos monômios: 1) 3a e 6ab Temos que m. d. c. (3,6) = 3; A menor potência para a variável a é a 1 = a; A menor potência para a variável b é b 0 = 1. Logo m. d. c. (3a, 6ab) = 3 a 1 b 0 = 3a 2) 10m 3 p 2 e 4mp 4 Temos que m. d. c. (10,4) = 2;

16 A menor potência para a variável m é m 1 = m; A menor potência para a variável p é p 2. Logo m. d. c. (10m 3 p 2, 4mp 4 ) = 2 m 1 p 2 = 2mp 2 3) 8x 2 y 3 z, 12x 3 z 3 e 18x 4 y 5 Temos que m. d. c. (8,12,18) = 2; A menor potência para a variável x é x 2 ; A menor potência para a variável y é y 0 = 1; A menor potência para a variável z é z 0 = 1; Logo m. d. c. (8x 2 y 3 z 12x 3 z 3, 18x 4 y 5 ) = 2 x 2 y 0 z 0 = 2x M.M.C. de Monômios Para o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais monômios com coeficiente inteiros tem-se a seguinte regra prática: Calcula-se o m.m.c. entre os coeficientes dos monômio. Este será o coeficiente do monômio m.m.c. Geralmente tal valor é positivo. Escolhe-se a maior potência de cada variável presente em pelo menos um dos monômios. Esta será a potência de tal variável no monômio m.m.c. Calcule o m.m.c. dos monômios: 1) 3a e 6ab Temos que m. m. c. (3,6) = 6; A maior potência para a variável a é a 1 = a;

17 A maior potência para a variável b é b 1 = b. Logo m. m. c. (3a, 6ab) = 6 a 1 b 1 = 6ab 2) 10m 3 p 2 e 4mp 4 Temos que m. m. c. (10,4) = 20; A maior potência para a variável m é m 3 ; A maior potência para a variável p é p 4. Logo m. m. c. (10m 3 p 2, 4mp 4 ) = 20 m 3 p 4 = 20m 3 p 4 3) 8x 2 y 3 z, 12x 3 z 3 e 18x 4 y 5 Temos que m. m. c. (8,12,18) = 36; A maior potência para a variável x é x 4 ; A maior potência para a variável y é y 5 ; A maior potência para a variável z é z 3 ; Logo m. m. c. (8x 2 y 3 z 12x 3 z 3, 18x 4 y 5 ) = 36 x 4 y 5 z 3 = 36x 4 y 5 z Fatoração de Expressões Algébricas Existe diversos métodos e casos para se fatorar um expressões algébricas, nesta seção serão abordados os principais. Caso 1: Fator comum Neste caso usa-se o m.d.c. dos monômios como um fator comum e calcula-se os cofatores por meio da divisão de cada monômio pelo m.d.c. 1) 2x 4 y + 4x 2 y 3 =??

18 Temos que m. d. c. (2x 4 y, 4x 2 y 3 ) = 2x 2 y. Assim, os cofatores serão 2x 4 y = 2x 2 y x2 e 4x2 y 3 = 2xy 2y2. Assim: 2x 4 y + 4x 2 y 3 = 2xy(x 2 + 2y 2 ) 2) a + 5ab Neste caso temos m. d. c. (a, 5ab) = a e os cofatores são a a = 1 e 5ab a = 5b. Logo a + 5ab = a(1 + 5b) 3) 20 15x O m.d.c é m. d. c. (20, 15x) = 5 e os seus repectivos cofatores são 20 = 4 e 15x = 3x. Então: x = 5(4 3x) Caso 2: Agrupamento É a aplicação do 1º caso à partes da expressão, as quais, após fatorado pela primeira vez, apresentam um novo fator comum entre si. 1) ac 2 + bc 2 + a 2 + ab =?? ac 2 + bc 2 + a 2 + ab = c 2 (a + b) + a(a + b) = (a + c 2 )(a + b) 2) ab + 3b + 7a + 21 =?? ab + 3b + 7a + 21 = b(a + 3) + 7(a + 3) = (b + 7)(a + 3) 3) x 3 + x 2 + x + 1 =??

19 x 3 + x 2 + x + 1 = x 2 (x + 1) + 1(x + 1) = (x 2 + 1)(x + 1) Caso 3: Trinômio quadrado perfeito Ocorre quando a expressão é resultado de um quadrado da soma ou da diferença. Neste caso, deve-se verificar se de fato tal trinômio é um quadrado. 1) x 2 y 2 14xy + 49 =?? x 2 y 2 14xy + 49 = (xy) 2 2 xy = (xy 7) 2 2) u u 3 v + 25v 2 =?? u u 3 v + 25v 2 = (u 3 ) u 3 (5v) + (5v) 2 = (u 3 + 5v) 2 3) a 4 12ab 2 + 6b 4 =?? Não se trata de trinômio quadrado perfeito, pois a 4 = (a 2 ) 2 e 6b 4 = ( 6b 2 ) 2, mas 12ab 2 2 a 2 6b 2 Caso 4: Diferença de Quadrados Ocorre quando a expressão é resultado do produto da soma pela diferença. Há necessidade de verificação. 1) 9z 2 4u 2 =?? 9z 2 4u 2 = (3z) 2 (2u) 2 = (3z 2u)(3z + 2u) 2) 1 100a 2 b 2 =?? 1 100a 2 b 2 = (1) 2 (10ab) 2 = (1 + 10ab)(1 10ab)

20 3) 4a b 2 =?? Não se trata de uma diferença de quadrados, mas sim de uma soma, logo não se aplica o método. Caso 5: Soma de cubos Ocorre quando a expressão é tipo a 3 + b 3. Neste caso, a fatoração obedece a fórmula: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) 1) x 3 y =?? x 3 y = (xy) = (xy + 2)((xy) 2 xy ) = (xy + 2)(x 2 y 2 2xy + 4) 2) u =?? 3 Por mais que 6 = ( 6) 3, não é de interesse prática usar tal método, pois a expressão resultante será um pouco mais complexa. Entretanto, em algumas ocasiões, tal prática torna-se útil. 3) a 6 + b 9 =?? a 6 + b 9 = (a 2 ) 3 + (b 3 ) 3 = (a 2 + b 3 )((a 2 ) 2 a 2 b 3 + (b 3 ) 2 ) = (a 2 + b 3 )(a 4 a 2 b 3 + b 6 ) Caso 6: Diferença de cubos Ocorre quando a expressão é tipo a 3 b 3. Neste caso, a fatoração obedece a fórmula: a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 1) w 3 1 =??

21 w 3 1 = (w) = (w 1)(w 2 + w ) = (w 1)(w 2 + w + 1) 2) x 6 y 6 =?? x 6 y 15 = (x 2 ) 3 (y 5 ) 3 = (x 2 y 5 )((x 2 ) 2 x 2 y 5 + (y 5 ) 2 ) = (x 2 y 5 )(x 4 x 2 y 5 + y 10 ) 3) a 6 8b 3 =?? a 6 8b 3 = (a 2 ) 3 (2b) 3 = (a 2 2b)((a 2 ) 2 a 2 2b + (2b) 2 ) = (a 2 2b)(a 4 2a 2 b + 4b 2 ) Fatoração sucessivas Em alguns casos pode-se aplicar os casos estudados anteriormente sucessivamente afim de se obter uma fatoração completa. 1) x 4 y 4 =?? x 4 y 4 = (x 2 ) 2 (y 2 ) 2 = (x 2 y 2 )(x 2 + y 2 ) = (x y)(x + y)(x 2 + y 2 ) 2) a 3 b 6 a 6 b 3 =?? a 3 b 6 a 6 b 3 = a 3 b 3 (b 3 a 3 ) = a 3 b 3 (b a)(b 2 + ab + a 2 ) 3) x 2 y 2 8yx x 2 =?? x 2 y 2 8yx x 2 = x 2 (y 2 8y + 16) = x 2 (y 4) Fatoração de polinômios de uma variável

22 Considere o polinômio p(x) de grau n p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + +a 1 x + a 0 Se x 1, x 2,, x n são raízes de p(x) então, p(x) pode ser fatorado como: p(x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n 1 )(x x n ) onde a n é o coeficiente do termo de maior grau do polinômio. Se x 1, x 2,, x n são raízes de p(x) então, p(x) é divisível (resto igual a zero) por (x x i ) com i = 1,, n, onde x i é cada uma de suas raízes. Fatores os polinômios abaixo: 1) g(x) = x 2 3x + 2 Devemos primeiro encontrar as raízes do polinômio. x = ( 3) ± ( 3) x = 3 ± x 1 = 2 ; x 2 = 1 Para g(x) tem-se que a n = 1, x 1 = 2 e x 2 = 1, então: g(x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) g(x) = x 2 3x + 2 = (x 2)(x 1) 2) k(x) = 8x + 2x Raízes: x = ( 8) ± ( 8) x = 8 ± x 1 = 3 ; x 2 = 1 para k(x) tem-se que a n = 2, x 1 = 3 e x 2 = 1: k(x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) k(x) = 2x 2 8x + 6 = 2 (x 3)(x 1) 3) Fatore e simplifique a expressão

23 2x 2 + 4x + 2 x + 1 Para faturar o numerador 2x 2 + 4x + 2, calculamos as raízes. x = (4) ± (4) x = 4 ± x 1 = 1 ; x 2 = 1 Tem-se que a n = 2, x 1 = 1e x 2 = 1 2x 2 + 4x + 2 = 2(x ( 1))(x ( 1)) 2x 2 + 4x + 2 = 2 (x + 1)(x + 1) Calculando a expressão: 2x 2 + 4x + 2 x + 1 = 2x2 + 4x + 2 x + 1 = 2 (x + 1)(x + 1) x + 1 = 2(x + 1) 2.3 Frações Algébricas Uma Fração Algébrica é uma divisão de expressões algébricas (geralmente polinômios) e que possui pelo menos uma variável no denominador 1) 2yz 2) 3) x 3 1 x 2 y 2 2ab 2 c a 3 3ab+5df Simplificação de Frações Algébricas Para simplificar frações algébricas devemos seguir a seguinte regra: fatorar o numerador e o denominador e assim, dividir o numerador e denominador em seus fatores comuns. Fique atento: Só podemos simplificar os fatores (termos) que estejam multiplicando tanto o numerador quanto o denominador.

24 2x 4y 2 (x 2y) 1) = = 2 2x 2 x 2 x 2y x 2y = 1 = x x a x + b x x (a + b) 2) = a + b a + b x 2y x 3) 2xy3 z 6 4x 4 y = (2xy) (y2 z 6 ) (2xy) (2x 3 ) = y2 z 6 2x 3 4) 5) 2x + 2y x 2 y 2 = = a + b = x = x 1 = x a + b 2 (x + y) (x y) (x + y) = 2 x y a 3 + b 3 a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)(a2 ab + b 2 ) = a2 ab + b 2 (a + b)(a + b) a + b Soma de Frações Algébricas A soma de frações algébricas é semelhante à de frações numéricas: verifica-se se os denominadores são iguais e, caso negativo, calcula-se o m.m.c. entre eles Exemplos x 2 1) x x + 1 = x2 1 (x 1)(x + 1) = = x 1 x + 1 x + 1 2) a b + b a Como m. d. c. (b, a) = ab, temos: a b + b (a a + b b) = = a2 + b 2 a a b ab

25 x 3) 2x 2 2y x + y Temos m. d. c. (2x 2 2y 2, x + y) = 2x 2 2y 2. Logo x 2x 2 2y x + y = x 2(x y)(x + y) + 1 x (x y) = x + y 2x 2 2y 2 3x y = 2x 2 2y Equações Uma equação é igualdade envolvendo valores desconhecidos denominados incógnitas. Qualquer valor numérico que quando substituído no lugar da incógnita resultar em uma sentença verdadeira é denominado solução. O conjunto de os valores que satisfazem a equação é denominado conjunto solução da equação, representado por S. 1) x = x 8 ; S = {10} 5 2) x 2 5x + 4 = 0 ; S = {1, 4} 3) log x (5x 6) = 2; S = {2, 3 } Equações Impossíveis e Identidades Matemática Nem sempre uma equação possui solução, neste caso podemos dizer que S =. Tais equações são denominadas Equações Impossíveis. Isso pode ocorre naturalmente ou por meio de restrições quanto à solução da equação. Como exemplos de equações impossíveis:

26 1) 2x + 4 = 2x 10 2) x 5 = 10 3) 2x + 4 x 2 = 2 Em outros casos, pode ser que equação possuam infinitas solução e, até mesmo, qualquer valor numérico é solução. Neste último caso, por conceitos matemáticos, não se atribui o nome equação e sim a denominação de identidade matemática. Como exemplos de identidades matemáticas tem-se: 1) x(x 5) = x 2 5x 2) 3 2 x+2 = 8 2 x x 3) cos 2 (x) + sen 2 (x) = Domínio de Validade da Equação O conjunto solução de uma dada equação depende do conjunto numéricos e que se estuda a equação (naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, ímpares, etc...). Assim, para uma mesma equação, em alguns caso o conjunto S pode ser vazio para um determinado conjunto numérico, mas não para um outro. Além disso, devido às operações aritméticas não permitidas ou definidas, em alguns casos também se faz necessário determinar quais valores numéricos são aceitáveis de modo que, quando substituído na equação inicial, não resultam em indeterminação ou impossibilidade aritmética dentro do conjunto numérico em que se estuda a equação. Em questões práticas, quando não é dado tal conjunto, subtende-se que o mesmo seja o conjuntos dos números reais - R.

27 Desta forma, o conjunto dos valores aceitáveis na resolução da equação é denominado domínio de validade. É recomendado que ele seja encontrado antes de resolver a equação por meio da análise da condição de existência da equação. Determine o domínio de validade das equações abaixo no conjunto numérico especificado: 1) x 6 13x x = 0, em Z Como não há operação não permitidas pela aritmética, tem-se D = Z 2 2) = x 1, em Q x 2 A única restrição aritmética quando o denominador da fração algébrica do lado esquerdo, ele não pode ser nulo, pois não é permitida a divisão por 0. Logo: x 2 0 x 2 Assim: D = {x R; x 2} = R {2} 3) x 2 4x + 4 = 3x 2, em N Neste caso, a restrição aritmética diz respeito à definição de módulo, a qual é sempre um valor não negativo. Assim: 3x 2 x 2 3 Assim: D = {x N; x 2 3 } = {x N; x 1} = N 4) log x 1 ( x + 3) = x, em I Pela definição de logaritmos devemos ter.

28 x 1 > 0 x > 1 { x 1 1 x 2 x + 3 > 0 x < 3 Assim: D = {x I; 1 < x < 3 e x 2 } = {x I; 1 < x < 3 } Equações equivalentes Duas equações são equivalentes se possuírem o mesmo conjunto solução. Pode-se obter uma equação equivalente à outra dado por meio de operações como somar/subtrair uma constante de ambos os lados da igualdade; multiplicar ambos os lados por uma constante; dividi ambos os lados por um valor não nulo; aplicar a ideia de operação inversa (conceito abordado no capítulo 3) com devidos cuidados na geração de falsas raízes. Aplicar propriedades aritméticas de potenciação, radiciação, logaritmos, módulo, etc.. As raízes falsas surgem quando é obtida uma equação a parti de outra sem reciprocidade de implicação, ou seja, a primeira equação implica na segunda, mas o inverso não verdadeiro. Em geral, na resolução de equações busca-se encontrar equações equivalentes que ajudem a isolar a incógnita. 1) 2x + 5 = 4 e 2x = 1 são equações equivalentes pois possuem o mesmo conjunto solução: S = { 1 2 }

29 2) x 2 4 = 0 e x 3 4x = 0 não são equações equivalentes pois possuem conjuntos soluções diferentes: S 1 = { 2, 2} e S 2 = {0, 2, 2} Tipos equações e resolução A equações podem algébricas (ou polinomial) ou transcendentais. São equações algébricas aquelas que podem ser reduzida ao formato p(x) = 0,onde p(x) é um polinômio. Elas podem ser polinomiais, que evolvem apenas polinômios em ambos os lados da equação, ou algébricas racionais ou fracionárias, que envolve frações algébricas. Já as equações transcendentais envolve outras operações como frações algébricas, raízes de valores não constante, logaritmos, potências com expoente não constante, função trigonométricas, módulo, etc... Entre as equações transcendentais destacam-se as equações logarítmica, a exponencial, a modular e a irracional. A segui, será explorada cada tipo de equação, juntamente com seu processo de resolução -Equação Polinomial As equações polinomiais tem o formato p(x) = q(x), onde p(x) e q(x) são polinômios. O grau do polinômio reduzido é também o grau da equação: 1) 2x + 5 = 1 3 (x3 + 4x 5 12x 2 ) 2) x 4 + 3x 2 = (4x + 5)(x 3) Entre as polinomiais, as mais simples, e mais estudadas, são a equação do 1º e do 2ºe seu processor de resolução é análogo

30 ao utilizado na determinação de zeros de um polinômio. Em geral, quando possível, usa-se a fatoração na resolução de tais equações: 1) 2x + 5 = x 4 4 2x + 5 = x (2x + 5) = x 4 8x + 20 = x 4 8x x = x = 24 x = 24 7 Logo S = { 24 7 } 2) 4x 2 3x + 3 = 2x(2x + 7) 4x 2 3x + 3 = 2x(2x + 7) 4x 2 3x + 3 = 4x 2 14x 8x x + 3 = 0 x = 11 ± = 2 8 x 1 = = = 3 8 e x 2 = Logo S = { 3 8, 1} = = 1 11 ± ) x x x = 0

31 x x x = 0 x(x x ) = 0 x(x 2 + 9) 2 = 0 x = 0 ou { x = 0 x 2 = 9 (sem solução) Logo: S = {0} -Equação Fracionária As equações algébricas racionais pode ser redutível a uma polinomial com devidos cuidados quanto à condição de existência. 1) x2 + 2x + 1 = 3 x A condição de existência é: x x 2 Com isto, pode-se prossegui na resolução da equação. 6x 2 + 2x + 1 4x 2 = (6x 2 + 2x + 1) = 3 (4x 2 + 2) 12x 2 + 4x + 2 = 12x x = 6 2 = 4 x = 1 Como a solução encontrada satisfaz a condição de existência, temo: S = {1} 2) 2 x + 1 x x + 2 = 1 x 2 4 Condição de existência:

32 x 0 x 2 0 x 2 { x { 2, 0, 2} x x 2 x x 2 e x 2 Por lado, temos que m. m. c. (x, x 2, x + 2, x 2 4) = x(x 2)(x + 2), então: 2(x 2)(x + 2) + x(x + 2) + 2x(x 2) x(x 2)(x + 2) 2x x 2 + 2x + 2x 2 4x = x 5x 2 3x 8 = 0 x = ( 3) ± ( 3)2 4 5 ( 8) = 3 ± x 1 = = = 8 5 e = x x(x 2)(x + 2) x 2 = 3 13 = = 1 As duas soluções encontradas satisfazem a condição de existência. Então: S = { 8 5, 1} -Equação Irracional Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mais radicais. 1) x 2 = 3 3 2) 2x + 1 = 2 3) 3x + 2 = x + 2 4) 2x x 4 = 5

33 Aqui serão estudos dois casos particulares. O primeiro refere-se à equações do tipo: f(x) = g(x) Tal tipo de equação pode gerar falsas soluções se g(x) não for uma constante não negativa. Neste caso, estuda-se a condição g(x) 0. O método de resolução se restringe a elevar ambos os lados da equação ao quadrado. 3 Já o segundo tipo é da forma f(x) = g(x), a qual pode ser reescrita de forma equivalente em f(x) = [g(x)] 3. 1) 2x 3 = 5 Como g(x) = 5 > 0,não surgirá falsas ráizes. Assim: 2x 3 = 5 2x 3 = 5 2 x = 14 Então S = {14} 2) x 2 + 5x = 2x Temos: x 2 + 5x + 1 = 2x 1 Como g(x) não é uma constante não negativa, devemos fazer a restrição: g(x) = 2x 1 0 x 1 2 Assim: x 2 + 5x + 1 = (2x 1) 2 = 4x 2 4x + 1 3x 2 9x = 0 3x(x 3) = 0

34 x = 0 { ou x 3 = 0 x = 3 Das duas soluções encontradas, apenas x = 3 satisfaz a condição de existência. Então: S = {3} 3 3) x + 1 = 2x + 1 Temos: x + 1 = (2x + 1) 3 = 8x x 2 + 6x + 1 8x x 2 + 5x = 0 x(8x x + 5) = 0 x = 0 { ou 8x x + 5 Δ = = 36 < 0 (sem raizes reais) Assim: S = {0} -Equação Exponencial Equação Exponencial possue ao menos uma incógnita no expoente de uma base positiva e diferente de 1. Na resolução adota-se a propriedade de igualdade de potências de mesma base: a x = a y x = y ( se a > 0 e a 1) Nos exemplos abaixo, determine o valor de x: 1) 3 x = 9 Solução 3 x = 9 3 x = 3 2 x = 2 2) 2 x + 2 x+1 = 24 2 x + 2 x+1 = 24 2 x + 2 x 2 1 = 24 2 x ( ) = x = 24

35 2 x = x = 8 2 x = 2 3 x = 3 3) 6 x x 1 = 6 x 5 Temos 6 x x 6 6x = 5 6 x x x = x ( ) = x ( 5) = x = 36 6 x = 6 2 x = 2 -Equação Logarítmica Em uma equação Logarítmica a incógnita está presente na base e/ou logaritmando. Uma propriedade que pode ser utilizada na resolução de tais equação é a própria definição de logaritmo: log b a = c b c = a ( a, b > 0 e b 1) Na resolução também pode ser adotada a propriedade de igualdade de logaritmos de mesma base: log b x = log b y x = y ( se b > 0 e b 1) Em ambos os casos é necessário avaliar a condição de existência. Nos exemplos abaixo, determine o valor de x: 1) log x 1 4 = 2 Solução Condição de Existência: x 1 > 0 x > 1 { x 1 1 x 2 Assim: log x 1 6 = 1

36 (x 1) 2 = 4 x 1 = ± 4 = ±2 x = 3 ou x = 1 Apenas a solução x = 3 satisfaz as condições de restrição, logo: S = {3} 2) log 5 ( 2x + 6) = 3 Condição de Existência: 2x x 3 Deste modo: log 5 ( 2x + 6) = 3 2x + 6 = 5 3 = 125 x = Tal solução satisfaz as condições de restrição, logo: S = { } 3) 2 log(2x) = log(2x + 3) + log(x + 1) Solução Condição de Existência: 2x > 0 x > 0 { 2x + 3 > 0 x > 3 x > 0 2 x + 1 > 0 x > 1 Assim: 2 log(2x) = log(2x + 3) + log(x + 1) log(2x) 2 = log[(2x + 3)(x + 1)] log(4x 2 ) = log(2x 2 + 5x + 3) 4x 2 = 2x 2 + 5x + 3 2x 2 5x 3 = 0

37 x = ( 5) ± ( 5)2 4 2 ( 3) = 5 ± x 1 = = 3 4 e x 2 = 5 7 = = 1 2 Apenas a solução x = 3 satisfaz as condições de restrição, logo: S = {3} -Equação Modular Equações com módulo podem ser solucionadas usando a propriedade: x = a x = a ou x = a (a 0) Além dessa, outra propriedade útil é: x = y x = ±y 1) 2x + 1 = 3 2x + 1 = 3 x = 1 2x + 1 = 3 { ou 2x + 1 = 3 x = 2 Portanto: S = { 2, 1} 2) x 2 = 2x + 1. Condição de existência: x 2 0 x 0 Então:

38 x 2 = 2x + 1 x = 3 ou x 2 = 2x + 1 { x 2 = (2x + 1) x = 1 3 Apenas a solução x = 1 3 satisfaz a condição de existência. Portanto: S = { 1 3 } 3) 4x + 1 = 5 2x Pela propriedade 5 temos: 4x + 1 = ±(5 2x) 4x + 1 = 5 2x 6x = 4 x = 2 3 4x + 1 = 5 + 2x 2x = 6 x = 3 Portanto: S = {= 3, 2 } Mudança de Incógnita Em muitas situações, a equação não se encaixa nos métodos de resolução já estudados, mas uma simples mudança de incógnita do tipo z = g(x) transforma a equação em uma caso mais simples. Para isto é necessário substituir todas as incógnitas x por z por meio da relação estabelecida entre elas. Assim, encontra-se o valor de z e, por meio da equação z = g(x), acha-se o valor de x.

39 1) x 4 3x 2 4 = 0 Fazendo a mudança z = x 2, obtemos: (x 2 ) 2 3 (x 2 ) 4 = 0 z 2 3z 4 = 0 z = ( 3) ± ( 3)2 4 1 ( 4) 2 1 z 1 = = 4 2 e z 2 = 3 5 = 1 = 3 ± Assim: z 1 = x 2 x 2 = 4 x = ± 4 = ±2 z 2 = x 2 x 2 = 1 x = ± 1 Solução não real Logo S = { 2, 2} 2) 2 2x x+2 = 32 Temos: 2 2x x+2 = x x 2 2 = 32 2 (2 x ) 2 12 (2 x ) 32 = 0 Fazendo a mudança z = 2 x, obtemos: 2z 2 12z 32 = 0 2 z 2 6z 16 = 0 z = ( 6) ± ( 6)2 4 1 ( 16) 2 1 = 6 ± 100 2

40 z 1 = = 8 2 e z 2 = 6 10 = 2 2 Assim: z 1 = 2 x 2 x = 8 = 2 3 x = 3 z 2 = 2 x 2 x = 2 Solução não real Logo S = {3} 2.5 Inequações Inequação é uma expressão algébrica que contém sinal de desigualdade (< ; > ; ; ). Os soluções de equações reais são, e, sua maioria, intervslos ou união de intervalos Intervalos Intervalos são trechos contínuos da reta numérica Intervalos Limitados Sejam a e b números reais com a <b a) Intervalo aberto de a até b: Observe que, este intervalo é limitado por a e b, porém eles não pertencem ao intervalo. Assim, representamos na reta numérica com bolinha aberta e utilizamos o colchetes com abertura para fora para indicar que o intervalo é aberto. Caso, a e b pertencessem ao intervalo, veríamos o símbolo ou, para indicar que a ou b pertencem ao intervalos, além disso, na reta numérica a representação seria com bolinha fechada como veremos adiante. (a, b) = ]a, b[ = {x R a < x < b} a b

41 b) Intervalo fechado de a até b Neste caso, a e b fazem parte do intervalo, tendo assim os símbolos e, indicando que x é maior que a e menor que b. [a, b] = {x R a x b} Leia-se: x pertence aos reias, tais que, x maior que a e menor que b. a b c) Intervalo fechado em a e aberto em b: [a, b) = [a, b[ = {x R a x < b} a b d) Intervalo aberto em a e fechado em b (a, b] = ]a, b] = {x R a < x b} a b Intervalos Não Limitados Os intervalos não limitados são aqueles em que não há um limite definido previamente, por exemplo, o conjunto dos números reais maiores que 1. Temos apenas um dos limites definidos. Quando pensamos em números maiores que 1, podemos imaginar qualquer número até o infinito. A noção de infinito é abstrata, mostra que existem tantos números maiores que 1 que não possível mensurar. Ao se deparar com + ou -, lembre-se que não são números, e sim notações para intervalos não limitados. a) Intervalo aberto de a até + (a, + ) = ]a, + [ = {x R x > a} a

42 b) Intervalo fechado de a até + [a, + ) = {x R x a} a c) Intervalo aberto de até a (, a) = ], a[ = {x R x < a} a d) Intervalo fechado de até a (, a] = ], a] = {x R x a} a Exemplo 1: Dado o intervalo represente-o na reta numérica a) ] 2, 5 ] b) [ 1, 2 ] c) ], 4 [ Exemplo 2: Descreva o intervalo indicado na reta numérica:

43 a) I = [ 2, + ) = {x R x 2} b) I = {x R x 1 OU 3 x < 6} Propriedades da desigualdade Sejam a, b, c, d números reais: 1) Somar ou subtrair um número qualquer em ambos os lados da inequação não altera o sinal da mesma. Exemplo 1: Se a < b então a + c < b + c. Como em: a = 2; b = 4; c = 3. a < b 2 < 4 a + c < b + c 2 3 < < 1 Exemplo 2: Se a > b então a + c > b + c. Como em: a = 5 ; b = 4 ; c = 2. a > b 5 > 4 a + c > b + c > > 2 2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número POSITIVO não altera o sinal da mesma. Exemplo 1: Se a < b e c > 0 então a. c < b. c e Como em: a = 4; b = 4; c = 2. a < b 4 < 4 a c < b c 4 2 < < 8 a c < b c.

44 a c < b c 4 2 < < 2 Exemplo 2: Se a > b e c > 0 então a. c > b. c e Como em: a = 4 ; b = 2; c = 2. a > b 4 > 2 a c > b c 4 2 > > 4 a c > b c 4 2 > > 1 a c > b c. 3) Multiplicar ou dividir ambos os lados do inequação por um número NEGATIVO inverte o sinal da desigualdade. Exemplo 1: Se a < b e c < 0 então a. c > b. c e Como em: a = 2; b = 4; c = 3. a < b 2 < 4 a. c > b. c 2 ( 3) > 4 ( 3) 6 > 12 a c > b c 2 3 > > 4 3 Exemplo 2: Se a > b e c < 0 então a. c < b. c e Como em: a = 4; b = 2; c = 2. a > b 4 > 2 a. c < b. c 4 ( 2) < 2 ( 2) 8 < 4 a c < b c 4 2 < < 1 a c > b c. a c < b c. Obs.: As propriedades acima continuam válidas para as desigualdades não estritas e. 4) Desigualdade Triangular: x + y x + y

45 Exemplo 1: x = 4; y = ( 2) Obs.: x + y = x + y somente se x e y forem simultaneamente positivos ou negativos. 5) x a a x a Demonstração: Se x for positivo: x = x x a Se x for negativo: x = x x a x a Então: x a E x a, ou seja, a x a 6) x a x a ou x a Demonstração: Se x for positivo: x = x x a Se x for negativo: x = x x a x a Então x a OU x a n 7) x n x se n for par = { x se n for impar 2 Exemplo 1: Se x = = x = 2 = 2 2 Exemplo 2: Se x = ( 2) = x = 2 = 2 Resolver uma inequação é determinar todos os valores da variável que torna verdadeira a mesma. Este conjunto de valores é chamado conjunto solução da inequação. O conjunto solução da inequação representa um trecho contínuo da reta numérica, ou seja, é um intervalo.

46 Exemplo 1: Determine se os valores de x = 3; x = 0 e x = 2 são soluções da inequação x + 3 < 5x 1. Substituindo x = 3 na inequação: < 5 ( 3) 0 < 15 Falso Substituindo x = 0 na inequação < 5 (0) 3 < 0 Falso Substituindo x = 2 na inequação: < 5 (2) 5 < 10 Verdadeiro Portanto x = 2 é uma das soluções da inequação Exemplo 2: Resolva as inequações abaixo e represente o conjunto solução na reta numérica: a) x + 3 < 5x 1 x 5x < 1 3 4x < 4 4 x > 4 x > 1 1 (1, + ) S = {x R x > 1} b) 13 2x 3 5 Nesse caso, devemos separar em duas inequações, e realizar a interseção das soluções para que a solução seja válida para ambas as inequações. Interseção de dois intervalos é agrupar em um terceiro intervalo o que os dois intervalos tem de comum. Separando em duas inequações temos:

47 A) 13 2x x 2x 16 x 8 S A = {x 8} E (significa a interseção) B) 2x 3 5 2x 8 x 4 S B = {x 4} x 8 x 4 S A S B [4, 8] S = {x R 4 x 8} c) 3x Da propriedade 6 temos: 3x OU 3x Lembre que OU em matemática significa união. União, é agrupar em um mesmo intervalo as soluções das duas inequações. Resolvendo as inequações separadamente:

48 A) 3x x 3 x 1 B) 3x x 7 x 7 3-7/3 1 x 1 x 7 3-7/3 1 S A S B (, 7 3] [1, + ) S = {x R x 7 ou x 1} 3 d)(x 3) 4 16 (x 3) (x 3) 4 Da propriedade x x 3 2 x 3 2 E x 3 2 Lembre que E em matemática significa interseção. Resolvendo as inequações: A) x 3 2 x 5 B) 2 x 3 1 x x x 5 x 1 1 5

49 S A S B S = {x R 1 x 5}S = [1, 5] e) 2x 5 < 3. Da propriedade 5 temos: 3 < 2x 5 < 3 Resolvendo sem separar as inequações: < 2x < < 2x < < x < < x < S = {x R 1 < x < 4} f) 6 2x 7. Da propriedade 6 temos: A) 6 2x 7 2x 7 6 2x 13 x 13 2 OU

50 B) 6 2x 7 2x 7 6 2x 1 x /2-1/2-1/2 13/2 S = {x R x 1 2 ou x 13 2 } Inequações Produtos Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações dos tipo f(x) g(x) > 0, f(x) g(x) < 0, f(x) g(x) 0 e f(x) g(x) 0 são denominadas inequações produto. Devido ao formato desses tipos de inequações, é necessário apenas o estudos dos sinais de f(x) e g(x), ou seja, conhecer os valores de x em que elas possuem positivos e/ou negativos. Para isto, pode-se utilizar um processo prático denominado quadro de sinais. Neste capítulo as expressões g(x) e f(x) serão do tipo p(x) = ax + b, ou seja, polinômios de 1º grau. O zero do polinômio ocorre em x 0 = b a. O sinal do polinômio p(x) varia dependendo do sinal de a. Em geral tem-se o seguinte comportamento: Se a > 0, então p(x) < 0 para x < x 0 e p(x) > 0 para x > x 0.

51 Se a < 0, então p(x) > 0 para x < x 0 e p(x) < 0 para x > x 0. Estude o comportamento do sinal dos seguintes polinômios. 1) p(x) = x + 2 Como a = 1 > 0 e x 0 = 2 = 2, temos que: 1 p(x) > 0 para x > x 0 = 2 p(x) < 0 para x < x 0 = 2: Utilizando-se um diagramas, teríamos a seguinte situação O sinal negativo (-) indica que p(x) = x + 2 < 0 para os números à esquerda de = 2, ou seja, para x < 2. A interpretação para o sinal de (+) é análoga. 2) p(x) = 3x + 9 Como a = 3 < 0 e x 0 = 9 = 3, temos que p(x) > 0 para x < 3 x 0 = 3 e p(x) < 0 para x > x 0 = 3: O diagrama que representa tal situação de sinal é: Por meio dos diagramas montado nos exemplos 1) e 2) é torna-se fácil saber o comportamento do sinal de (x + 2)( 3x + 9), sendo necessário apenas realizar o jogo de sinais entre os intervalos em que a mudança do sinal. Neste casso, teríamos a seguinte configuração:

52 2 3 x x (x 2)( 3x + 9) + Observando o quadro é possível soluçar qualquer um dos tipos de formato de inequação produto. Por exemplo, a solução de (x 2)( 3x + 9) 0 será o intervalo S = [ 2,3]. Já e inequação (x 2)( 3x + 9) < 0 teria s solução S = (, 2) (3, + ). O que foi comentado é o processo prático na resolução de equações produtos. Ou seja: Primeiro encontra-se os zeros de cada polinômio; Coloca-se o sinal de cada polinômio no diagrama de acordo com o zero e o valor do coeficiente do termo de primeiro grau (para segundo grau será visto no próximo capítulo); Realiza-se o jogo de sinal; Por fim, escolha-se o intervalo de interesse de acordo com formato da inequação. Resolva das inequações produtos em R 1) (3x + 1)(2x 5) 0 Os zeros de cada fator são: 3x + 1 = 0 x = 1 3 e 2x 5 = 0 x = 5 { 2 O coeficiente do monômio x de cada fator é positivo. Logo temos o seguinte quadro de produtos:

53 x x 5 + (3x + 1)(2x 5) + + Como queremos que (3x + 1)(2x 5) 0. Então: S = {x R ; x 1 3 ou x 5 2 } 2) (3x 2)(x + 1)(3 x) < 0 Cálculo dos zeros: 3x 2 = 0 x = 2 3 e x + 1 = 0 x = 1 e { 3 x = 0 x = 3 Os coeficientes do monômio x em 3x 2 e x + 1 são positivos, mas em 3 x ele é negativo. Logo temos o seguinte quadro de produtos: x x x (3x 2)(x + 1)(3 x) + + Como queremos que (3x 2)(x + 1)(3 x) < 0. Então: S = {x R ; 1 < x < 2 ou x > 3} 3

54 2.5.4 Inequações-quociente Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações dos tipo f(x) f(x) f(x) > 0, < 0, 0 e f(x) 0 são g(x) g(x) g(x) g(x) denominadas inequações-quociente. A resolução de tais tipos de inequações é análoga à de uma inequação produto, exceto pelo fator do denominador g(x) não poder ser nulo. Logo, será necessário encontrar seu domínio de validade. Resolva das inequações-quociente em R 1) 3 4x 5x A restrição é: 5x x 1 5 Os zeros de cada fator são: 3 4x = 0 x = 3 4 e 5x + 1 = 0 x = 1 { 5 O coeficiente do monômio x de cada fator é positivo. Logo temos o seguinte quadro de quociente: x + + 5x x 5x

55 Como queremos que 3 4x 0, o intervalo interesse é [ 1, 3 ], mas 5x devido à condição de existência temos: S = {x R ; 1 5 < x < 3 4 } (1 2x)(3 + 4x) 2) > 0 4 x A condição de restrição é: 4 x 0 x 4 Cálculo dos zeros: 1 2x = 0 x = 1 2 e 3 + 4x = 0 x = 3 4 e { 4 x = 0 x = 4 Os coeficientes do monômio x em 4 x e 1 2x são negativos, mas em 3 + 4x ele é positivo. Logo temos o seguinte quadro de produtos: 3/4 1/ x x x (1 2x)(3 + 4x) 4 x + + Como queremos que (1 2x)(3+4x) > 0 e que satisfaça a condição x 4, Então: 4 x S = {x R ; 3 4 < x < 1 ou x > 4} 2

56 3) 3 + 4x 1 x 2 A inequação não está no formato de uma inequação produto, mas pode ser reduzida a tal: 3 + 4x 1 x x 1 x x 2(1 x) 0 1 x 6x x 0 Agora temos uma inequação quociente, cuja restrição é: 1 x 0 x 1 Os zeros de cada fator são: { 6x + 1 = 0 x = 1 6 e 1 x = 0 x = 1 De acordo com o coeficiente do monômio x de cada fator, temos o seguinte quadro -quociente: x x + + 6x x + Como queremos que 6x+1 1 x S = {x R x 1 ou x > 1} 6 0, com x 1, temos:

57 Lista de Exercícios Aqui estão questões relacionadas ao capítulo estudado. É importante o esforço para resolver todas as questões. Em caso de dúvidas os monitores do programa estão pronto para lhe ajudar. Bons estudos! 1) (F.Carlos Chagas) Dado o polinômio p(x) x 3 2x 2 + mx 1, onde m R, se p(2) = 3 p(0), então p(m) é igual a: a) 5 b) 3 c) 1 d) 1 e) 14 2) (Cescem-SP) Se os polinômios f 2x 3 (p 1)x + 2 e g qx 3 + 2x +2 são idênticos, então o valor da expressão p 2 + q 2 é: a) 13 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 3) (UFMG) Os polinômios P(x) = px 2 + q(x) 4 e Q(x) = x 2 + px + q são tais que P(x + 1) = Q(2x) para todo x real. Os valores de p e q são a) p = 1 e q = -4 b) p = 2 e q = 4 c) p = 4 e q = -4 d) p = 4 e q = 0 e) p = -4 e q = 0 4) Calcule os valores de a, b, c e d para que o polinômio p(x) = a(x + c) 3 + b(x + d) seja idêntico a q(x) = x 3 + 6x x ) Sendo f = x; g = x + x 3 e h = 2x 3 + 5x, obtenha os números reais a e b tais que h = af + bg 6) Determine h(x), tal que: h(x) = (x + 1). (x 2) + (x 2). (x 1) + 4(x + 1) 7) Demonstre que f = (x 1) 2 + (x 3) 2 2(x 2) 2 2 é um polinômio nulo. 8) Se A = 5x 2-2, determine o valor de A 2-3A + 1.

58 9) Quanto devemos adicionar ao quadrado de x + 2 para encontrarmos o cubo de x - 3? 10) Determine a quarta parte da diferença entre os quadrados dos polinômios x 2 + 2x - 1 e x 2-2x ) Determine o quociente e o resto da seguinte divisão 2x 3 9x x 2 x 2 3x ) Seja f: x 3 + ax + b e g: 2x 2 + 2x 6. Qual a condição para que a divisão de f por g seja exata? 13) Simplifique a expressão: 2(x 2 y). 3(x 2 y 3 ) x²y² 14) Determine m de modo que 2 seja a raiz do polinômio : k(x) = x 3 + (m + 2)x 2 + (1 + m)x 2 15) Dado os monômios 12a 4 b 4 c 2, 18 a 3 b 5 c 2 e 30a 2 c 6, escolhe-se dois de forma a obter um monômio mdc de maior grau, possível. Qual é m.m.c. dos dois monômios escolhidos?. 16) Fatore o quanto possível a expressão: (x 2 + 5x + 5) ) O que e é maior: ou ? De quanto é tal diferença? 18) Simplifique 2a 1 + x 2 x x 2 Sabendo que: x = 1 2 ( a b b a )

59 19) Calcule a expressão ( 2a x 3 + a x 2ax x 2 3x ). x 2a 20) Efetue a soma e dê seu resultado simplifcado: x 3 + x 2 x 1 x x (x + 1)(x + 2) 21) Resolva a expressão ( x + 1 x 2 + x 3 x + 2 ) 2x 2 2x + 8 x 2 22) Encontre o domínio de validade das equações abaixo em relação ao conjunto R: a) 2 x = x + 4 b) x 2 = 1 c) d) x 2 1 = x +2 7x 1 log 2 (x 2) = x2 + 1 e) x x = x 23) Resolva as equações algébricas fracionárias: 1 a) (x 1) 2 (x 2) (x 1) 3 (x 2) 2 = 0 b) 2x 1 x + 2 = 3 2x 5 c) x x x 5 = 1 2

60 d) 4x 2 x x 1 = 3 x + 1 e) x2 x 3 x + 6 x 3 = 1 24) Resolva as equações irracionais: a) 3x 2 = 4 b) 16 + x + 4 = 5 c) x + 25 x 2 = 7 d) 2x + 6x = x + 1 e) x x 1 = 1 25) Resolva as equações exponenciais: a) 2 x 5 = 16 b) 8 x = 32 c) 3 2x2 7x+5 = 1 d) 2 x 4 x+1 8 x+2 = 16 x+3 e) 3 x 1 3 x + 3 x x+2 = 306 f) 5 x 25 x+1 = (0,2) 1 x 26) Resolva as equações logarítimicas: a) log 3 (2x 3) = log 3 (4x 5) b) log 5 (x 2 3x 10) = log 3 (2 2x) c) log x (3x + 2) = 2 d) log 2 (x + 1) + log 2 (x + 1) = 3 e) log 2 (x 2) + log 2 (3x 2) = log ) Resolva as equações modulares e, caso precise, use uma mudança de incógnita. a) 5x 3 = 12 b) 3x + 2 = 5 x c) 3x + 1 = x 3

61 d) x 2 6x = 9 e) 2 x x = 2 f) x 2 + x 6 = 0 28) Por meio de uma mudança apropriada de incógnita, resolva as equações irracionais abaixo. a) x 2 + 3x + 6 3x = x b) x + 2 x 1 = 0 29) Por meio de uma mudança apropriada de incógnita e aplicação de propriedades, resolva as equações exponenciais abaixo. a) 16 x 4 2x 1 10 = 2 2x 1 b) 3 2x 1 3 x 3 x = 0 30) Por meio de uma mudança apropriada de incógnita e aplicação de propriedades, resolva as equações logarítmicas abaixo. a) log 2 [1 + log 3 (1 2x)] = 2 b) log 2 2 (x) log 2 (x) = 2 c) log 2 2 (x + 1) + 9 log 8 (x + 1) = 4 d) log 2 (x) + log x 2 = 2 e) 2 + log 3(x) + log 3(x) log 3 (x) 1 + log 3 x = 2 31) Quais os valores de x e y sabendo que: x + y = 13 log x + log y = log 36

62 32) Escreva na forma de intervalo cada representação geométrica dada abaixo. 33) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma de intervalo e na forma geométrica: a) {x R 6 x 10} b) {x R 1 < x 5} c) {x R x 4 d) {x R x < 1} 34) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma geométrica: a) [ 1 2, + ) b) (0, 7) c) (, 3) d) [ 6, + ) 35) Sendo A=]-3,4[ e B =[-1,6[, calcule A B, A B, A B e B A. 36) Dados A = ]-3,2]; B = ]-1,4[ e C = (-, + ) determine: a) (A U C) B b) (B U C) A c) A B d) B C e) (C A) B f) A B

63 37) Resolva as seguintes inequações a) x x + 1 x 2 b) (3x 2) 2 (3x 1) 2 (x + 2) 2 (x + 1) 2 c) 2x 3 5 3x < 3x ) Resolva as inequações simultâneas: a) 2 < 3x 1 < 4 b) 3x + 4 < 5 < 6 2x c) 2 x < 3x + 2 < 4x ) Resolva, em R, as inequações produto: a) (6x 1)(2x + 7) 0 b) (3 2x)(4x + 1)(5x + 3) 0 c) (5x + 2)(2 x)(4x + 3) > 0 d) (4 5x) 6 < 0 40) Resolva a seguinte inequações-quociente: 3 2x a) 3x x b) (5 x)(3 x) 0 6x c) x d) x x 2 3 x 3 < 0 e) x + 1 x + 2 > x + 3 x + 4 f) 4 x x