Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:

Transcrição

1 EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n a x + a 0 = 0 onde a o, a,..., a n são chamados coeficientes e podem ser números reais ou complexos. e a n 0 é chamado coeficiente dominante. O conjuntos solução ou conjunto verdade de uma equação algébrica, no conjunto universo U, é o subconjunto de U que contém as raízes da equação. Duas equações são ditas equivalentes em U, quando apresentam o mesmo conjunto solução nesse domínio.. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA: Todo polinômio de grau n admite ao menos uma raiz complexa. COROLÁRIO : Toda equação polinomial de grau n admite exatamente n raízes complexas. COROLÁRIO : Todo polinômio P(x) = a n x n + a n x n +a n x n a x + a 0 de grau n pode ser colocado na forma fatorada: P(x) = a n (x r )(x r )...(x r n ), onde r, r,..., r n são as raízes de P(x). COROLÁRIO : Se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes, então ele é identicamente nulo. EXEMPLO: Verificar que uma raiz da equação x x +4x = 0 é o número, obter as outras raízes e obter a forma fatorada de P(x). Podemos aplicar diretamente o algoritmo de Ruffini: 4 0

2 Como o resto da divisão por x é 0, então é raiz de P(x). O quociente é q(x) = x x +, cujas raízes são i. RAÍZES:, + i e i. P(x) = (x )(x i)(x + i). MULTIPLICIDADE Dizemos que r é raiz de multiplicidade m (m ) da equação P(x) = 0 se, e somente se, P(x) = (x r) m Q(x) e Q(r) 0 ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0 quando o polinômio P é divisível por (xr) m e não é divisível por (xr) m+. Quando m = dizemos que r é uma raiz simples; quando m =, dupla; tripla quando m =, etc. 4. RELAÇÕES DE GIRARD Seja a equação algébrica a n x n + a n- x n- + a n- x n a x + a x + a 0 = 0 escrevendo a equação na forma fatorada a n (x-r ).(x-r )...(x-r n )=a n x n + (r +r +...+r n )x n- + (r r +r r +...+r n- r n )x n (-) n a n r r...r n. Igualando as duas formas temos: a r r... r n - a r r r r... r r n n... n 0 rr... r n a n a n n a a n n No caso da equação do grau ax bx c 0, de raízes r e r, a soma das raízes é b b S r r a a e o produto das raízes é c c P r r a a. EXEMPLO: Sendo o polinômio Px x 6x x 6 cujas raízes são, e, então temos:

3 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 6 ( )( )( ) ( ) 6 5. RAÍZES COMPLEXAS DE EQUAÇÕES COM COEFICIENTES REAIS Se um complexo z a bi, a R e b R, é raiz de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o conjugado z a bi também é raiz da equação. COROLÁRIOS: ) Toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite pelo menos uma raiz real. ) Se o complexo z é raiz de multiplicidade m de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o conjugado z também é raiz de multiplicidade m da equação. EXEMPLO: Resolver a equação x 4 +4x 7x +6x 4 = 0 sabendo que i é uma de suas raízes. Como trata-se de uma equação de coeficientes reais, se i é raiz, então +i também é raiz. Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini: i 5 i 6i 7 +7i 0 +i x +6x 7 = 0 raízes: x = ou x =7 S = {, 7, +i, i}

4 6. RAÍZES RACIONAIS DE EQUAÇÕES COM COEFICIENTES INTEIROS p Se r, p e q inteiros primos entre si, é uma raiz racional da equação de coeficientes inteiros q p(x) = a n x n + a n x n +a n x n a x + a 0 = 0 então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. EXEMPLO: Verificar se a equação x +x +x = 0 admite raízes racionais. p r p {, } e q {,,, } q p r {,, q, } p(x) = x +x +x p() = p() = P(/) = 0 p(/) = / Logo, a única raiz racional da equação é ½. 7. REGRA DE EXCLUSÃO DE NEWTON Suponhamos que uma equação polinomial P(x), com coeficientes inteiros, admita a raiz a raiz x=a. Devemos ter: P(x) (x a) Q(x) sendo Q(x) um polinômio inteiro, do grau m P(x) (a- x).q(x) P(x) Q(x) a x Substituindo x = e x = temos P() Q() a P( ) Q( ) a Concluímos toda raiz inteira positiva a, a, diminuída de uma unidade deve dividir P() e aumentada de uma unidade deve dividir P( ). 4

5 8. M.M.C e M.D.C. DE POLINÔMIOS O máximo divisor comum (M.D.C.) entre polinômios é o polinômio unitário formado pelos fatores comuns aos polinômios elevados aos seus menores expoentes, de forma que ele é o polinômio de maior grau que divide todos aqueles. As raízes comuns aos polinômios são também raízes de seu MDC, com a menor multiplicidade. Se o MDC de dois polinômios é, diz-se que eles são primos entre si. Quando os polinômios não estão na forma fatorada, o seu MDC pode ser obtido pelo método das divisões sucessivas. EXEMPLO: Obtenha o MDC dos polinômios p(x) = x 4 x +x x + e q(x) = x 4x +. x +x +4 x 0 0 quocientes x 4 x +x x + x + 4x 0x0 0x 0 0 restos mdc(p, q) = (0x 0) = x 0 vale notar que a divisão por 0 se faz necessária para que o mdc seja um polinômio unitário. O mínimo múltiplo comum entre polinômios é o polinômio unitário formado por todos os fatores que aparecem nos polinômios, comuns ou não, elevados ao seu maior expoente, de forma que ele é o polinômio de menor grau que é múltiplo de todos aqueles. Todas as raízes dos polinômios são raízes do seu mmc. EXEMPLOS: P(x) = x(x ) (x ) e Q (x) = x (x )(x - ). mdc (P, Q) = x(x ) mmc (P, Q) = x (x ) (x ) (x ) 5

6 9. RAÍZES COMUNS As raízes comuns de P(X) e Q(X) são as raízes do MDC(P(X), Q(X)). Seja a uma de P(X) com multiplicidade M>, isto é, A é raiz de multiplicidade M- de P (X) ou ainda, podemos dizer que o número A é raiz de multiplicidade M- do MDC(P(X),P (X)). 0. FÓRMULA DE NEWTON n n Seja o polinômio Px anx an x ax ax a0, onde an 0, e r,r,r,,r n as suas raízes, k k k k definimos S r r r r. Assim, para k, temos: k n a S a S a S a S 0 n k n k kn 0 kn Observe ainda que S r r r r n e n a S r r r r. n n an 6

7 EXERCÍCIOS DE COMBATE. (FUVEST 004) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = x mx +4x + é igual a. Determinar a) o valor de m b) as raízes de p.. (UFRJ 999) Encontre as raízes de x +5x +66x +80 = 0, sabendo que são reais e estão em progressão aritmética.. (FGV 00) a) Sejam a, b e c as raízes da equação x 4x +6x = 0. Calcule o valor da expressão:. ab ac bc b) Resolva a equação x x 5x +6 = 0, sabendo que a soma de duas raízes vale Verificar qual é a multiplicidade da raiz na equação x 4 +6x +x +x +8 = 0 e obter as outras raízes. 5. (IME004) Considere o polinômio P(x) = x + ax + b de coeficientes reais, com b 0. Sabendo que suas raízes são reais, demonstre que a < (ITA-79) Se a, b, c são raízes da equação x rx + 0 = 0, onde r, podemos afirmar que o valor de a + b + c é: a) 60 b) 6 + r c) 6 + r d) 6 + r e) 6 r 7. (AFA) Considere a equação x + px + qx + r = 0, de coeficientes reais, cujas raízes estão em progressão geométrica. Qual das relações é verdadeira? a) p = rq b) p + r = q c) p = r q 7

8 d) p = rq e) q = rp 8. a) É dado o polinômio do 0 grau P(x)=x x 9x +λ, onde λ é um número real não negativo. Determine o menor valor do parâmetro λ de modo que o polinômio p(x) possua raízes reais e distintas. b) Encontre um polinômio de grau mínimo tal que p(i)=, p()=+i e P(0)=. 9. Mostre que é raiz tripla do polinômio x 5-5x 4 +7x -x +4x Calcular as raízes iguais da equação, f(x) x 4 8x + x 4x + 9 = 0. (ITA) O número complexo + i é raiz do polinômio x 4 x p.x x q, com p e q sendo reais. Determine todas as raízes do polinômio.. (ITA) Mostre que é racional: 5 5. (IME) Resolva as equações abaixo sabendo-se que a primeira tem uma raiz cujo valor é o triplo do valor de uma raiz da segunda. x 7.x 04x 60 0 x 5.x 94x Considere a equação x + px + qx + r = 0, de coeficientes reais, cujas raízes estão em progressão geométrica. Qual das relações é verdadeira? a) p = rq b) p + r = q c) p = r q d) p = rq e) q = rp 8

9 5. (EN 0) Sejam a, b, c as raízes da equação x 4x x 0. Qual o valor de a b c? a) 9 b) 7 c) 7 9 d) e) 9 6. (IME 00) Seja o polinômio zero. A soma dos cubos das raízes de p(x) depende a) apenas de a e é positiva. b) de a e b e é negativa c) apenas de b e é positiva. d) apenas de b e é negativa. e) de a e b e é positiva. b p(x) x (ln a)x e, onde a e b são números reais positivos diferentes de Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e ln a função logaritmo neperiano. 7. (EFOMM 0) O valor de na equação progressão geométrica, é: a) 07 b) 056 c) 078 d) 098 e) y 6y y 58 0 de modo que suas raízes estejam em 8. (ITA 0) Se é uma raiz de multiplicidade da equação é igual a: a) 64 4 x x ax b 0, com a,b, então a b 9

10 PROF. HAROLDO FILHO b) 6 c) 8 d) 8 e) 7 9. (ITA) Se as dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retangular são dadas pelas raízes da equação 4x 6x 9x 0, então o comprimento da sua diagonal é igual a: a) b) c) d) e) 7 cm 9 4 cm 4 cm 6 cm 7 cm 0. (IME007) Seja p(x) = x 5 + bx 4 + cx + dx + ex + f um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as cinco raízes de p(x) são números inteiros positivos, sendo quatro deles pares e um ímpar. O número de coeficientes pares de p(x) é: a) 0 b) c) d) e) 4. (IME007) Sejam x e x as raízes da equação inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para m. x (m 5)x m 0. Sabendo que x e x são números. (IME008) Encontre o polinômio P (x) tal que Q (x) + = (x ). P (x) e Q (x) + é divisível por x 4, onde Q (x) é um polinômio do 6º grau. 0

11 GABARITO. raízes: a, b, c bc = Pelas relações de Girard: abc = / a() = / a = / ab + ac + bc = a(b +c) + bc = (b c) b +c = a +b +c = + = m m = 7 b c bc x x = 0 x S = {/,, } RESPOSTA: a) m = 7 b) S = {/,, }. raízes: a r, a, a +r soma = a = 5 a = 5 produto = (5 r)(5)(5 +r) = 80 r 5 = 6 r = raízes: 8, 5, S = {8, 5, } RESPOSTA: S = {8, 5, }. a) Pelas Relações de Girard: a +b +c = 4 e abc = c b a 4 4 ab ac bc abc b) raízes: a, b,c b +c = 4 Pelas relações de Girard: a +b +c = a +4 = a =

12 (x +)(x 4x +) = 0 raízes:,, S = {,, } RESPOSTA: a) 4 b) S = {,, } P(x) = (x +) (x +) tem multiplicidade 5. ª SOLUÇÃO: P(x) não tem raiz tripla, pois como a soma das raízes é nula, a raiz tripla seria 0, contradizendo b 0. Logo P(x) tem pelo menos duas raízes reais distintas. Se a = 0, P(x) = x + b tem uma única raiz real, b (as outras são b i ), logo a 0. Se a > 0, a derivada P (x) = x + a é positiva para todo x R, o que significa que a função P : R R é estritamente crescente, contradizendo o fato de P(x) ter pelo menos duas raízes reais distintas. Logo, como a R, devemos ter a < 0. ª SOLUÇÃO: Suponha r, r e r as raízes de P(x). Pelas relações de Girard: r. r. r = -b 0 r + r + r = 0 (I) (II) r r + r r + r r = a (III) A equação (I) nos dá r + r + r > 0. Como (r + r + r ) = r + r + r + (r r + r r + r r ), então: (r r r ) r r + r r + r r = a = 0.

13 6. Substituindo a, b e c na equação acima e somando obtemos: a + b + c r(a + b + c) + 60 = 0 a + b + c = 60 RESPOSTA: A 7. a b c p (I) ab ac bc q (II) abc r (III) b ac (IV) por III e IV b r por II e IV b(a+b+c)=q -bp=q -b.p q r.p q RESPOSTA: E 8. Considere o polinômio t(x) = x x 9x raízes Logo a derivada de t(x) é t (x)=x 6x 9 raízes {,} t() = 5 e t() = 7 gráfico de t(x) {0, 5 } como p(x) =t(x) +λ e λ 0 o gráfico de t(x) é exatamente o mesmo gráfico de T(x) deslocado de λ para cima, logo, se λ<7 o polinômio terá raízes distintas

14 se λ=7 o polinômio terá raiz simples e uma raiz dupla igual a. logo o menor valor de λ é igual a zero. b) p(x)=a(xi).(x(+i)).(x0). 9. p()=p ()=p ()=0 e p () Temos f (x) = 5x 4 + 4x 5x x + 8 e o m.d.c. entre f(x) e f (x) é = x x +. Apliquemos novamente o processo, determinando o m.d.c. entre os polinômios e = x. Achamos x, como resultado. Logo, pondo x = 0, vê-se que a unidade é raiz dupla de = x x + = 0 cuja outra raiz simples é. Portanto, a unidade é raiz tripla e raiz dupla para a equação considerada. Suas raízes serão pois:,,,,.. Sabendo que, se + i é raiz, então seu conjugado i também será. Desta forma, P(x) será divisível por: x i x i x 4x 5 4 x x p.x x q x 4x 5 4 x 4.x 5.x x 5x p 5 5x p 5.x x q 5x 0.x 5.x p 5x 4x q p 5x 4p 60x 5p 75 4p 6.x q 5p 75 Como P(x) é divisível por 4p 6 0 p 9; q 0 q 5p 75 0 x 4x 5, o resto da divisão acima deve ser identicamente nulo. As outras raízes de P(x) serão raízes do quociente da divisão. Ou seja, serão raízes de x² + 5x + 6, isto é, - e -. De onde segue que as raízes de P(x) serão:,, i, i. Chamemos de x a expressão a ser analisada: x 5 5 A B 4

15 Elevando a expressão ao cubo: x A B A B.A B A.B A B.A.B. A B A B.A.B.x 5 5.x x. 4 x x³ + x 4 = 0 Por inspeção, é raiz do polinômio acima, logo, x x. x x 4 0 As demais raízes serão as raízes de x² + x + 4, que são complexas. Como os radicais são números reais, concluímos que x Sendo k a raiz da segunda equação podemos escrever: k 7. k 04 k 60 0 k 5.k 94k Multiplicando a segunda equação por, dividindo a primeira por 9 e arrumando o sistema chegamos a:.k 7.k 68k 40 0.k 45.k 8k 50 0 Subtraindo a segunda equação da primeira: k 4.k 80 0 k ou 9 Testando as raízes, temos que a raiz é k =. Com isso, utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini, podemos fatorar os dois polinômios originais: x 7.x 04x 60 x 6. x 4. x 5 0 x 5.x 94x 840 x. x 8. x 5 0 Temos então as soluções das duas equações, respectivamente: x 6, 4,5 ; x,8, 5 5

16 4. a b c p (I) ab ac bc q (II) abc r (III) b ac (IV) III e IV b r II e IV b(a+b+c)=q bp=q b.p q r.p q RESPOSTA: E 5. Seja S a b c n n n n, onde n, temos: S0 a b c 4 S a b c S a b c ab c ab ac bc 9 8 Pela fórmula de Newton, temos: x 4x x 0 Sn 4Sn Sn Sn n S 4 S S S 0 S 4 S S S Logo, S a b c 7 e a b c. 7 9 RESPOSTA: A 6. Sejam x, x, x as raízes de px e Como S x x x, k. k k k k b e 0, b, não há raízes nula e S0. Pelas relações de Girard: S 0 b b Pela fórmula de Newton: S 0S lnas e S 0 S e Logo, a soma dos cubos das raízes de RESPOSTA: D 0 px depende apenas de b e é negativa. 6

17 7. Sejam as raízes da equação a,a,aq q, pelas relações de Girard, temos: a 6 a aq 6 a q 6 8 q 6 q q q q q 8 a a 6 a aq aaq a q q q q 8 a a aq 58 a 58 a 8 q RESPOSTA: D 8. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini: Se é uma raiz de multiplicidade da equação 0 a b a+ a+b+ 4 a+6 4 x x ax b 0, então: a b 0 a 6 0 a 6 b 4 a b ( 6) Essa questão poderia ser feita observando que deve ser raiz do polinômio Px x x ax b e da sua primeira derivada P' x 4x x a. Logo, P' 4 a 0 a 6 e 4 P 6b 0 b 4, o que implica RESPOSTA: C a b ( 6) Sejam p, q e r as raízes da equação, então p q r p qr pqpr qr d p q r 6 9 Pelas Relações de Girard: p qr e pq pr qr p q r d p q r u.c. 44 RESPOSTA: D 7

18 0. Pelas relações de Girard, b, c, d, c e f são a soma dos produtos das raízes tomadas a, a, a, 4 a 4 e 5 a 5, respectivamente. A soma de 4 números pares e ímpar é ímpar, logo, b é ímpar. Todos os produtos de duas ou mais raízes são pares. Logo, c, d, e e f são pares. Então, há 4 coeficientes pares. RESPOSTA: E. Devemos determinar os valores de m para os quais existem dois números inteiros x e x tais que x + x = - (m - 5) xx m x x x x 5 xx m (x )(x ) 6 xx m Como os divisores de 6 são +, +, + 4, + 8, + 6, supondo sem perda de generalidade que x x, a tabela a seguir reúne todos os possíveis valores para x, x e m. x + x + x x m Ou seja, o conjunto de todos os valores possíveis de m é {0, 7, 9, 5, 7, 4}.. Como Q(x) é do 6º grau, temos Q(x) = x 4 (ax + bx + c), logo (x ). P (x) = ax 6 + bx 5 + cx 4 Substituindo x por, obtemos a + b + c =. Aplicando BRIOT-RUFFINI: 8

19 Concluímos que a + b = 4, logo (x ) P (x) = ax 4 4x x x. BRIOT-RUFFINI novamente: Logo a =0 e P(x) = 0x + 6x + x +. 9