Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat - Polinômios

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1 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios. (Espcex (Aman) 05) O polinômio (x) x x deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( ) é a) 0. b) 4. c) 0. d) 4. e) 0. 5 f(x) x x x, uando dividido por. (Unicamp 05) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão 0 e a 0. a) Mostre ue x é uma raiz do polinômio cúbico p(x) a bx cx dx. b) Sejam e e f números reais uaisuer e considere o sistema linear nas variáveis x e y, a c x e. Determine para ue valores da razão esse tem solução única. d b y f. (Unicamp 04) O polinômio p(x) x x 9x 8 tem três raízes: r, r e s. a) Determine os valores de r e s. b) Calcule p(z) para z = +i, onde i é a unidade imaginária. 4. (Espcex (Aman) 04) Sabendo ue é uma raiz do polinômio então o conjunto de todos os números reais x para os uais a expressão é: a) {x / x } b) {x / x } c) {x / x ou x } d) {x / x } e) {x / x e x } P(x) x 5x x, 5. (Uerj 04) Observe o gráfico da função polinomial de em definida por P(x) x 6x x. P(x) está definida Página de

2 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios Determine o conjunto solução da ineuação P(x) (Unesp 04) O polinômio P(x) a x x b é divisível por x e, uando divisível por x +, deixa resto 45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são a) e 4. b) e. c) e. d) e 6. e) e. 7. (Pucrj 04) Assinale a alternativa correta: 4 a) x x x x 8 6 b) 4 c) 4 4 d) x x x x e) x x x x 4 8 x x x x 4x 8 6 x x x x 4x (Unesp 04) Sabe-se ue, na euação x 4x x 6 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta euação é a) S = {,, } b) S = {,, + } c) S = {+, +, + } d) S = {, +, + } e) S = {, +, + } 9. (Fuvest 04) Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) x ax bx c são reais. Sabendo ue e αi, com α 0, são raízes da euação p(x) 0 e ue o resto da divisão de p(x) por (x ) é 8, determine a) o valor de α ; b) o uociente de p(x) por (x ). i é a unidade imaginária, i. Página de

3 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios 0. (Espm 04) O trinômio a) 0 b) c) d) e) 4. (Pucrj 04) Sabendo ue é raiz do polinômio ue p(x) é igual a: a) x x b) xx x c) xx d) xx x e) xx x x ax b é divisível por x e por x. O valor de a b é: p(x) x ax x, podemos afirmar. (Espcex (Aman) 0) Um polinômio (x), do º grau, é definido por x ax bx c, com a, b e c reais, a 0. Dentre os polinômios a seguir, auele ue verifica a igualdade x x, para todo x real, é a) b) c) d) x a x x c x a x x c x a x x c x a x x c e) x a x c. (Espm 0) O resto da divisão do polinômio a) x b) x + c) x d) x + e) x 5 x x pelo polinômio x é: 4. (Esc. Naval 0) Sejam F(x) x ax b e G(x) x x 6 dois polinômios na variável real x, com a e b números reais. Qual valor de (a b) para ue a divisão F(x) G(x) seja exata? a) b) c) 0 d) e) 5. (Espcex (Aman) 0) Os polinômios A(x) e B(x) são tais ue A x B x x x x. Sabendo-se ue é raiz de A(x) e é raiz de B(x), então A B é igual a: a) 98 b) 00 c) 0 d) 0 Página de

4 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios e) (Ime 0) Considere o polinômio solução da forma a) n 5 b) 6 n 0 c) 0 n 5 d) 5 n 0 e) 0 n 0 5x x 60x 6 0. Sabendo ue ele admite uma n, onde n é um número natural, pode se afirmar ue: 4 7. (Fuvest 0) O polinômio p(x) x ax bx cx 8, em ue a, b, c são números reais, tem o número complexo + i como raiz, bem como duas raízes simétricas. a) Determine a, b, c e as raízes de p(x). b) Subtraia de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, ue possuam esses novos valores como raízes. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Notações : Conjunto dos números naturais; : Conjunto dos números reais; : Conjunto dos números reais não negativos; i: unidade imaginária; i ; P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A; n(a) : número de elementos do conjunto finito A; AB : segmento de reta unindo os pontos A e B; arg z : argumento do número complexo z; a,b x : a x b A \ B x : x A e x B c A : complementar do conjunto A; n k n akx a0 ax a x... anx,n. k0 Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. 8. (Ita 0) As raízes x, x e x do polinômio p(x) 6 ax (4 )x x estão x relacionadas pelas euações: x x e x x x 0. Então, o coeficiente a é igual a a) ( ) b) 4 c) ( ) d) 4 e) 4( ) Página 4 de

5 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios Gabarito: Resposta da uestão : [A] 5 4 x 0x x x 0x x 0x x 5 4 x 0x x x x x x 0x x 0x 6x 4 Portanto, x 6x r(x) x 6x e Resposta da uestão : a) Tem-se ue b a, c a e r( ) ( ) 6( ) 0. d a. Logo, vem p a a a a a a a a 0. Por conseguinte, x é uma raiz do polinômio p(x). b) De (a), obtemos a c x e a a x e. d b y f a a y f Sabendo ue a 0, 0 e, o sistema terá solução única se, e somente se, a a a a 5 0 a a 0 a ( )( ) 0. Portanto, além de 0, deve-se ter. Resposta da uestão : a) Fatorando p(x), obtemos p(x) x x 9x 8 x (x ) 9(x ) (x )(x 9). Portanto, r e s. Página 5 de

6 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios b) Se z i, então p(z) ( i )(i 9) i 9i i 9 7 i. Resposta da uestão 4: [C] z ( i) i. Logo, Já ue é raiz, podemos utilizar do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as outras raízes e então fazer o estudo do sinal dessa função polinomial. Logo, P(x) ( x ) ( x x), fazendo outras duas raízes. x temos x = ou x = -/, ue são as x 0, Fazendo agora o estudo do sinal do polinômio P(x), temos: A expressão P(x) estará definida para P(x) 0, ou seja, x / x ou x Resposta da uestão 5: O número é raiz, pois p() = 0. Dividindo p(x) por (x ), temos: Logo, Px x x x Onde suas raízes são x, x. Página 6 de

7 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios Resolvendo, agora a ineuação P(x) 0 através do gráfico do polinômio P(x). Portanto, a solução da ineuação será dada por S x / x ou x. Resposta da uestão 6: [E] De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos ue: P() = 0 e P( ) = 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos: 8a 4 b 0 7a 6 b 45 Multiplicando a primeira euação por e somando com a segunda temos: 5a = 5, ou seja, a =. Substituindo a = na primeira euação, temos: b = 0, ou seja, b =. Resposta da uestão 7: [B] Tomando convenientemente x, é fácil ver ue as únicas opções possíveis são as identidades dos itens [A] e [B]. Agora, basta fazer x para concluir ue a identidade correta é a do item [B]. Resposta da uestão 8: [B] Sejam r, s e t as raízes da euação x 4x x 6 0 e considere ue r = s + t. Utilizando a relação de soma de Girard, temos: 4 r s t r r 4 r Página 7 de

8 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios Concluímos então ue dois é uma de suas raízes. Dividindo, agora x 4x x 6 por (x ) x 4x x 6 (x ) (x x ) 0 x 0 x x x x ou x Logo, S = {,, + }. Resposta da uestão 9: a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se ue suas raízes são, αi e αi. Logo, p(x) (x ( ))(x ( αi))(x ( αi)) (x )(x x α ). Sabendo ue o resto da divisão de p(x) por (x ) é 8 e α 0, pelo Teorema do Resto, vem p() 8 ()( α ) 8 α 4 α. b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue ue o uociente de p(x) por x é p(x) (x )(x x 5) x x 5. x x Resposta da uestão 0: [D] Tem-se ue x ax b (x )(x ) x x. Daí segue ue a, b e, portanto, a b ( ). Resposta da uestão : [B] Se p() 0, então a 0. Logo, a 0 e, portanto, Página 8 de

9 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios p(x) x x x(x ) x(x )(x ). Resposta da uestão : Questão anulada no gabarito oficial. Se (x) ( x), então ax bx c a( x) b( x) c ax (a b)x a b c. Assim, obtemos o sistema b a b a b a b c c a b a a 0 a 0 e b 0 ou a e b Dado ue a 0, segue ue a e b. Portanto, lado, como a a, vem ue as alternativas [B] e [C] estão corretas. Resposta da uestão : [E] (x) x x c a(x x) c. Por outro Dividindo 5 x x por x, obtemos 5 x x x 5 x x x x x x x x x x x x Portanto, o resto é x. Resposta da uestão 4: [B] Página 9 de

10 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios De acordo com a divisão efetuada acima, temos: a 4 0 a 4 b 0 b Logo, a b. Resposta da uestão 5: [C] Como é raiz de A(x) e é raiz de B(x), segue ue A( ) 0 e B() 0. Logo, A( ) B( ) ( ) ( ) ( ) B( ) e A() B() A() 0. Portanto, A() B( ) 0 0. Resposta da uestão 6: [C] 5x x 60x 6 0. x 5x 5x 0 (5x )(x ) 0 5x 0 x / 5 ou x 0 x Considerando n =, temos 0 n 5. Resposta da uestão 7: a) Como os coeficientes são reais, as raízes complexas aparecem com suas respectivas conjugadas, então (+i), (-i), r e r são raízes de P(x) Utilizando, agora, a relação do produto das raízes, temos: 8 ( i) ( i) r ( r).r 8 r Portanto, as raízes de p(x) são (+i), (-i), e - Escrevendo o polinômio na forma fatorada, temos: Página 0 de

11 Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios P x. x i.(x i. x. x 4 P x x x x 8x 8 Logo, a, c e c 8. b) Subtraindo de cada uma das raízes, temos; i i i i Portanto, x k. x i. x i. x. x x k. x. x. x Para k diferente de zero. Resposta da uestão 8: [C] Temos ue p(x) x (4 ) x ax 6 x x x 4 Portanto, x x x 4 x x x x x x 0 Resolvendo o sistema por escalonamento, temos: x x x 4 Logo, para a raiz x a a 4 Página de