CPV O cursinho que mais aprova na fgv

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1 O cursinho que mais aprova na fgv FGV economia a Fase 0/dezembro/00 MATEMÁTICA 0 Na parte sombreada da figura, as extremidades dos segmentos de reta paralelos ao eixo y são pontos das representações gráficas das funções definidas por f(x) x e g(x) x +, conforme indicado Admitindo-se que o corpo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à situação inicial, a menor quantidade de líquido derramada corresponde a um percentual do líquido contido inicialmente no copo de 8% % 8% % 8% A medida do comprimento do maior desses segmentos localizada na região indicado na figura é x 7, cm 78 x x 78 7, cm 5º,5,5,75 7 A medida de qualquer segmento vertical da região sombreada é dada por: g(x) f(x) x + x O maior comprimento é: y V yv,5 a Alternativa B Pela figura o nível de líquido cai em x 7,, cm A porcentagem de líquido derramada é dado por:, 0, % Alternativa D 5 0 Considere a função polinomial definida por P(x) ax + bx + cx + d, com a, b, c, d sendo números reais e cuja representação gráfica é dada na figura 0 Inclinando-se em 5º um corpo cilíndrico reto de altura 5 cm e raio da base, cm, derrama-se parte do líquido que completava totalmente o copo, conforme indicada a figura fgv0fdezeco

2 fgv 0//00 o cursinho que mais aprova na fgv É correto afirmar que < a + b + c + d < 0 0 < d < para x, P(x) > 0 o produto de suas raízes é menor que há uma raiz de multiplicidade P(x) ax + bx + cx + d P() a + b + c + d 05 Na figura, a reta suporte do lado BC do triângulo ABC passa pelo centro da circunferência λ Se  5º, BC cm, e o raio de λ mede cm, a área sombreada na figura, em cm, é igual a 9 π π 9 π π π P() Pelo gráfico temos que < P() < 0 < a + b + c + d < 0 Alternativa A 5º )0º D H 0 Uma urna contém bolas numeradas de até 0000 Sorteando-se ao acaso uma delas, a probabilidade de que o algarismo mais à esquerda do número marcado na bola seja, é igual a,0%,%,%,%,0% Números Total números com algarismo números com algarismos números com algarismos números com algarismos números com 5 algarismos ,,% Alternativa C Pelo teorema do ângulo inscrito, DÔB DÂB 0º No DOH; sen (DÔB) DH OD sen 0º DH DH cm A área sombreada S é dada por: OC DH 0º π (OD) S 0º área do triângulo área do setor S π() S 9 ð cm O π 9 π Alternativa A fgv0fdezeco

3 o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0//00 0 As matrizes A (a ij ) x e B (b ij ) x são tais que a ij b ij Se o determinante da matriz A é igual a, então o determinante da matriz B é igual a Substituindo em () temos: x + x + x x x x + x x x x x + x 0 x (x x x + ) 0 x (x ) (x ) 0 x (x ) (x ) x 0 (não convém) x 0 x y x + y y 5 + y (não convém) Temos: a ij b ij a ij b ij x + y (não convém) det A det A 8 det B det B 8 det B det B 7 Alternativa B 07 Sendo x e y números reais (x 0, 0 y ), o número de pares ordenados (x, y) do conjunto solução do sistema de + y equações x é y x + x x y zero um dois três quatro + x y () y y x + x x y x + x x y x + x x Portanto, a equação possui apenas a solução, 5 Alternativa B 08 Seja PQRS um quadrado de diagonal PR, com P e R sendo pontos pertencentes à reta de equação x y 0 Se Q (, ), então a distância S à origem (0, 0) do sistema cartesiano de coordenadas retangulares é Obtemos o ponto S, pelo gráfico: A distância do ponto S à origem é dada por: d ( ) ( ) y Q (; ) P 7 R Se Q (; ) então S (7; ) S (7; ) x y 0 x Alternativa D fgv0fdezeco

4 fgv 0//00 o cursinho que mais aprova na fgv 09 O gráfico que representa uma função logarítmica do tipo f(x) + a log (b x), com a e b reais, passa pelos pontos de coordenadas, 50 e, Esse gráfico cruza o 5 eixo x em um ponto de abscissa Substituindo os pontos ; e ; na função, temos: 50 5 b + a log 50 b + a log 5 (I) (II) b Da equação (II) temos: a log 0 b 5 ou a 0 (não serv 5 5 Substituindo na equação (I): a log 50 a No cruzamento com eixo x, f(x) 0 É correto apenas o que está contido em I e II II e IV I, II e III I, II, III e IV II, III, IV e V A soma n + p n+p pode ser escrita como n p A soma de números irracionais pode ser: racional não-nulo Ex: ( + ) + ( ) irracional Ex: ( + ) + ( + ) zero Ex: ( ) + ( + ) O produto de dois números irracionais pode ser: racional Ex: ( ) ( + ) irracional Ex: ( + ) ( ) Logo n+p pode ser: I, II, III, IV n p Alternativa D Um tronco de cone circular reto foi dividido em quatro partes idênticas por planos perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano da sua base, como indica a figura 0 + ( ) log (5x) log 0 5x 0 5x x 0 5 Alternativa C 0 Considere as frações n e, com n e p sendo números p irracionais Sobre o resultado da soma + afirma-se n p que pode ser: I inteiro não nulo; II racional não inteiro; III irracional; IV zero; V imaginário puro Se a altura do tronco é 0 cm, a medida da sua geratriz, em cm, é igual a fgv0fdezeco

5 o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0//00 5 Na figura dada, calculamos R e r r r cm R R cm No tronco, temos: R r r 0 R g Como a mediana BM tem a mesma medida do segmento AC dividido por, então AC é hipotenusa e ABC é retângulo em B A B 0º 0º M Por Pitágoras, temos BC + BC BN AB + BN AN + AN AN 0º C 7 g 0 + ( ) g 00 + g 0 cm Alternativa B Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC, e ABM é um triângulo equilátero cuja medida do lado é A medida do segmento GN é igual a 5 7 Como o ponto G é baricentro então AN k e GN k k 7 k 7 Dados A ( 5, ), B (, ) e C (, 7), sabe-se que o triângulo A B C é simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo x, com A, B e C sendo vértices simétricos a A, B e C, respectivamente Assim, a equação da reta suporte da altura do triângulo A B C relativa ao lado A B é x y + 0 x y 0 x + y + 0 x + y + 0 x + y 0 Se o A B C é simétrico ao ABC em relação ao eixo Ox temos que A ( 5; ), B ( ; ) e C ( ; 7) O coeficiente angular da reta A B é m A B A reta suporte da altura é perpendicular à base A'B', então m, portanto a equação da reta suporte da altura y + 7 (x + ) y + x y + x + 0 Alternativa C fgv0fdezeco

6 fgv 0//00 o cursinho que mais aprova na fgv Sendo k um número real positivo, o terceiro termo do desenvolvimento de ( x + k), ordenado segundo expoentes decrescentes de x, é x 0 Assim, é correto afirmar que k é igual a 58 T p + p ( x) p k p No o termo: T ( x)0 k x 0 0 x 0 k x 0 k 0 k Alternativa E 5 A figura indica a representação dos números Z e Z no plano complexo Z + i θ 0 θ 0 Z θ 0 ρ, sendo Z c + di d sen0 ρ d, c, então Z + i c cos0 ρ Portanto Z Z ( + i) ( + i) + i a e b a + b ( ) Alternativa A Uma empresa tem n vendedores que, com exceção de dois deles, podem ser promovidos a duas vagas de gerente de vendas Se há 05 possibilidades de se efetuar essa promoção, então o número n é igual a n número de candidatos que concorrem a uma das vagas ( n )( n )! 05 Se Z Z a + bi, então a + b é igual a (n ) (n ) 0 n 7 Alternativa E ( ) ( ) ( + ) 8 ( ) 7 ( + ) 7 O número de soluções da equação + sen x cos x 0, com 0 x < π, é fgv0fdezeco

7 o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0// sen x cos x 0 + sen x cos x f g A B C f g 9 Um importante conceito usado em economia para analisar o quanto uma variação do preço unitário p > 0 influencia na variação da receita é o de elasticidade da demanda, denotado por E(p), uma vez que a elasticidade E é dada em função de p Se E(p) >, então se diz que a demanda é elástica, o que quer dizer um pequeno aumento do preço unitário resulta em uma diminuição da receita, ao passo que um pequeno decréscimo do preço unitário irá causar um aumento da receita Admitindo a elasticidade de demanda p p + dada por E(p), então, o intervalo de p p + para o qual a demanda é elástica é Portanto, há 7 soluções Alternativa B 8 Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divisão de 5x + (m )x + (m m)x m + p + 9 por x, respectivamente Permutando-se os coeficientes de Q(x) obtém-se o polinômio Q (x) tal que Q (x) R(x) para qualquer x IR Se m e p são constantes reais positivas, então, m + p é igual a ð ð ð Fazendo o Briot-Rufini, tem-se: 5 m m m m + p m m p + Q(x) 5x + (m ) x + m e R(x) p + Sendo g(r) 0 e Q (x) R(x), o grau de Q (x) deve ser igual a zero Das permutações possíveis de Q(x); as únicas possíveis são: Q (x) (m )x + (m )x + 5 ou (m )x + (m )x + 5 π Como o g(q ) 0, então m e p + 5 p Alternativa C D 5ð E ð F 7ð G π 0, ] +, + [, 8 ] 0, [ 0, ], + [, + p p + > p + p p + + p > 0 p + p + p > 0 p + N p + p D p x N D F / + Alternativa D fgv0fdezeco

8 8 fgv 0//00 o cursinho que mais aprova na fgv 0 Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado,7 m e,70 m, respectivamente A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a,70,7,7,7,7 Vamos indicar as alturas, em ordem decrescente, por A, B, C e D A + B + C + D Assim, temos:,7 A + B + C + D 0,88 (I) Da mediana, temos: B + C,70 B + C,0 (II) Substituindo (II) em (I), vem: A +,0 + D,88 A + D,8 A + D,7 Alternativa E Sobre os gastos de João com a compra dos bens de consumo X e Y, sabe-se que seja qual for sua renda, 0% dela será destinada ao consumo dos bens X e Y; do dinheiro que é gasto com o consumo de X e Y, a parcela destinada a cada um dos bens não varia se não houver variação nos preços dos bens X e Y; aumento no preço do bem X implica em diminuição do seu consumo, e queda no preço do bem X implica em aumento do seu consumo; aumento no preço do bem Y implica em diminuição do seu consumo, e queda no preço do bem Y implica em aumento do seu consumo Sabendo-se que nos meses de janeiro, fevereiro e março não houve variação nos preços dos bens X e Y, e que a renda de João aumentou de janeiro para fevereiro e de fevereiro para março, um gráfico que pode expressar as possibilidades de consumo dos bens X e Y por parte de João é De forma geral, os gastos de João com os bens x e y estão relacionados na equação: 0,R p x x + p y y receita de João preço do bem x quantidade do bem x px ou seja: y x + 0, py R py preço do bem y quantidade do bem y Como só houve variação da receita (e não dos preços) a inclinação p das retas m x py é a mesma, e decrescente Alternativa E fgv0fdezeco

9 o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0//00 9 Admita que oferta (S) e demanda (D) de uma mercadoria sejam dadas em função de x real pelas funções S(x) x + x+ e D(x) x + 0 Nessas condições, a oferta será igual à demanda para x igual a log log log log + log log log log log log Devemos ter: x + x x + 0 x ( ) + x + x 0 0 Fazendo x y, tem-se: y + y 0 0 y 8 (não convém) ou y 5 x 5 x log 5 x log 5 log 0 log log log 0 log log log log Alternativa D O capital de R$ 000,00 foi dividido em duas partes (x e y), sendo que a maior delas (x) foi aplicada à taxa de juros de % ao ano, e a menor (y), à taxa de 8% ao ano, ambas aplicações feitas em regime de capitalização anual Se, ao final de um ano, o montante total resgatado foi de R$ 00,00, então y está para x assim como 7 está para Sendo x o capital aplicado, calculamos os juros totais no período: 0,x + ( 000 x)0, ,x 0,08x ,0x 0 x y 500 y x Alternativa C 7 O gráfico a seguir indica a massa de um grupo de objetos Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa kg cada, sabe-se que a média não se altera, mas o desvio padrão se reduz à metade do que era Assim, é correto afirmar que n é igual a I massa (kg) freqüência total de objetos Massa média: M I + + τ I ( ) ( ) ( ) kg + + II massa (kg) freqüência + n n + Massa média: τ II + n M II kg (enunciado) total de objetos ( ) + ( + n) ( ) + ( ) + n n 8 fgv0fdezeco

10 0 fgv 0//00 o cursinho que mais aprova na fgv 5 No teodolito indicado, cada volta completa da manivela aumenta em 0,5º o ângulo de observação em relação à horizontal y Vem y + y 0 y y tg º0 Então tg (0º + º0 ) + h + + ( ) ( + ) + h h ( ) Alternativa C Se a partir da situação descrita na figura são necessárias mais 5 voltas completas da manivela para que o teodolito aponte para o topo da parede, a medida de h, em metros, é igual a 0,75 ( + ) ( ) ( ) + Em relação aos cinco dados indicados na figura, sabe-se que cada dado tem faces numeradas de a ; a soma das faces opostas em cada dado é igual a 7; a soma das faces em contato de dois dados é igual a 8 Nas condições dadas, a probabilidade de que as quatro faces sombreadas na figura tenham o mesmo número marcado é igual a 8 α ) Inicialmente, compomos as faces laterais de cada um dos dados, a partir das faces identificadas na figura; vendo as figuras de cima: x Com 5 voltas teremos α º0 + Temos que tg0º x tg º0' Temos que tg5º tg º0' fazendo tg º0 y x ( + ) tg º0' tg º0', dado encoberto dados inferiores 5 dado superior fgv0fdezeco

11 o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0//00 Note que: I Nos três dados inferiores e não encobertos, há, em cada um deles, duas únicas possibilidades para as faces horizontais: ou II No dado encoberto, há, em princípio, duas possíveis distribuições para as faces horizontais: para baixo (em contato com o chão) e 5 para cima (em contato com o dado superior); nesse caso, o dado superior deveria ter em contato com o encoberto (que é um valor já usado em uma face lateral) ou 5 para baixo e para cima; nesse caso, o dado superior deveria ter em contato com o dado encoberto e voltado para cima Assim, devemos ter face voltada para cima nos dados inferiores (no dado superior, isto é certo, porque a outra hipótese é absurd P Alternativa B 8 7 A condição necessária e suficiente para que a representação gráfica no plano cartesiano das equações do sistema linear ( ) m + x y nas incógnitas x e y seja um par de x + y n retas paralelas coincidentes é m e n m e n m m e n m e n y (m + ) x n y x + Paralelas coincidentes: m + m e n n m e n Alternativa E x x x x x 9 7 x x lim S n x x x x + 0 S ; Alternativa A 9 Três números inteiros distintos de 0 a 0 foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo O número de maneiras diferentes de se fazer essa escolha é Temos à disposição: 0 números negativos 0 números positivos Para o produto ser negativo temos: (+) (+) ( ) ou ( ) ( ) ( ) C 0, C 0, + C 0, x ou x Alternativa A 8 O conjunto solução da equação x x x x x é 9 7,, {, } {, } {, } Programa Nacional das Nações Unidas para o Desenvolvimento PNUD Ajustando um modelo linear afim aos dados tabelados do IDH brasileiro, de acordo com esse modelo, uma vez atingido o nível alto de desenvolvimento humano, o Brasil só igualará o IDH atual da Argentina (0,8) após fgv0fdezeco

12 fgv 0//00 o cursinho que mais aprova na fgv 5,5 anos,5 anos,5 anos,5 anos,5 anos Seja t 0 ano de 00 t ano de 005 f (t) a t + b f (0) 0,790 a 0 + b 0,790 b 0,790 f () 0,79 a + 0,790 0,79 a 0,00 f (t) 0,00 t + 0,790 Tempo para atingir o nível alto de desenvolvimento humano: f (t) 0,800 0,00 t + 0,790 0,800 t 5 após 5 anos Tempo para igualar o IDH atual da Argentina: f (t) 0,8 0,00 t + 0,790 0,8 t,5 após,5 anos Logo, ainda levará:,5 5,5 anos Alternativa E fgv0fdezeco