Questão 2. Questão 1. Questão 3. Resposta. Resposta

Transcrição

1 Instruções: Indique claramente as respostas dos itens de cada questão, fornecendo as unidades, caso existam. Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolução das questões. Expressões incompreensíveis, bem como respostas não fundamentadas, não serão aceitas. Ao apresentar a resolução das questões, evite textos longos e dê preferência às fórmulas e expressões matemáticas. Atenção: Não basta escrever apenas o resultado final: é necessário mostrar os cálculos ou o raciocínio utilizado. Questão Um carro irá participar de uma corrida em que terá que percorrer 70 voltas em uma pista com 4,4 km de extensão. Como o carro tem um rendimento médio de,6 km/l e seu tanque só comporta 60 litros, o piloto terá que parar para reabastecer durante a corrida. a) Supondo que o carro iniciará a corrida com o tanque cheio, quantas voltas completas ele poderá percorrer antes de parar para o primeiro reabastecimento? b) Qual é o volume total de combustível que será gasto por esse carro na corrida? a) Com o tanque cheio, o carro pode percorrer, em média,,6 60 km. Como a pista tem 4,4 km,6 60 de extensão e,8, o carro pode percorrer até voltas completas antes de parar 4,4 para o primeiro reabastecimento. b) O carro gasta, para percorrer as 70 voltas da 4,4 km corrida, 70 voltas volta litro 9,5 litros,6 km de combustível. Questão Uma empresa tem 5000 funcionários. Desses, 48% têm mais de 0 anos, 6% são especializados e 400 têm mais de 0 anos e são especializados. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quantos funcionários têm até 0 anos e não são especializados? b) Escolhendo um funcionário ao acaso, qual a probabilidade de ele ter até 0 anos e ser especializado? Temos que 48% de funcionários têm mais de 0 anos; 6% de funcionários são especializados e 400 têm mais de 0 anos e são especializados. Considerando o conjunto A formado pelos funcionários com mais de 0 anos e B o conjunto dos funcionários especializados, obtemos o diagrama de Venn apresentado a seguir: a) Os funcionários que têm até 0 anos e não são especializados não pertencem ao conjunto A nem pertencem ao conjunto B, totalizando funcionários. b) O número de funcionários com até 0 anos e especializados é 400, logo a probabilidade pedida é ,08 8%. Questão Um cidadão precavido foi fazer uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm

2 matemática de comprimento, 9 cm de largura e 0 cm de altura. O cidadão só pretende carregar notas de R$ 50,00. Cada nota tem 40 mm de comprimento, 65 mm de largura, 0, mm de espessura e densidade igual a 0,75 g/cm. a) Qual é a máxima quantia, em reais, que o cidadão poderá colocar na mala? b) Se a mala vazia pesa,6 kg, qual será o peso da mala cheia de dinheiro? a) Para a quantidade de notas na mala ser máxima, as mesmas podem ser dispostas com 56 cm 9 cm 4 notas no comprimento, 4 cm 6,5 cm 6 no- 0 cm tas na largura e 0,0 cm 500 notas na altura, conforme a figura. O total de notas na mala é ,ou seja, o cidadão poderá colocar na mala, no máximo, reais. b) A massa dessas notas é cm 6,5 cm 0,0 cm 0,75 g /cm 6 80 g 6,8 kg. Portanto a massa da mala cheia é 6,8 +,6 8,98 kg. Questão 4 Seja S o conjunto dos números naturais cuja representação decimal é formada apenas pelos algarismos 0,,, e 4. a) Seja x um número de dez algarismos pertencente a S, cujos dois últimos algarismos têm igual probabilidade de assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual a probabilidade de que x seja divisível por 5? b) Quantos números menores que um bilhão e múltiplos de quatro pertencem ao conjunto S? a) Temos que x é divisível por 5 se, e somente se, x é divisível por e por 5. Como x S, x é divisível por 5 se, e somente se, o seu último algarismo é 0. Sendo, então, x, a {0,,,, 4}, x é divisível por 5 se, e somente se, x é divisível por, ou seja, a soma dos algarismos de x é divisível por. Assim, devemos ter 6 + a divisível por, o que ocorre apenas para a. Portanto, a probabilidade pedida é a probabilidade de o último algarismo de x ser 0 e o penúltimo ser, que é igual a b) Um número é múltiplo de 4 se, e somente se, as suas duas últimas casas decimais (dezenas e unidades) formam um múltiplo de 4. Conseqüentemente, os elementos de S múltiplos de 4 terminam em 00, 04,, 0, 4,, 40 ou 44. Temos ainda que os números menores que um bilhão têm, no máximo, 9 casas decimais. Logo há 8 possibilidades para as duas últimas casas decimais dos números considerados e 5 possibilidades de escolha para cada uma das sete 7 primeiras casas, isto é, existem números menores que um bilhão e múltiplos de quatro pertencentes a S. Questão 5 Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente 4 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração a seguir. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45 o com a horizontal. Pergunta-se:

3 matemática a) Qual é a distância entre a parede da casa e o muro? b) Qual é o comprimento da escada de Roberto? Seja d, em metros, a distância entre a parede da casa e o muro. Depois que a base da escada escorregou, tocando o muro, formou-se um triângulo retângulo isósceles e, assim, o topo da escada ficou a uma altura d e o comprimento da escada éd. Antes de a base escorregar, ela estava a d m da parede, e o topo da escada estava a uma altura de 4 m. Aplicando o Teorema de Pitágoras, (d ) (d ) + ( 4 ) d + d 5 0 d. Portanto: a) a distância entre a parede e o muro éd m. b) o comprimento da escada éd m. Questão 6 A concentração de CO na atmosfera vem sendo medida, desde 958, pelo Observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados mostram que, nos últimos anos, essa concentração aumentou, em média, 0,5% por ano. É razoável supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO irá se manter constante nos próximos anos. a) Escreva uma função C(t) que represente a concentração de CO na atmosfera em relação ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial ou seja, aquele em que t 0 o ano de 004, no qual foi observada uma concentração de 77,4 ppm de CO na atmosfera. b) Determine aproximadamente em que ano a concentração de CO na atmosfera será 50% superior àquela observada em 004. Se necessário, use log 0 0,00, log 0,0 0,0 e log 0 0,477. a) Como a concentração de CO aumentará, em média, 0,5% ao ano, e no ano de 004 (t 0)a concentração observada foi de 77,4 ppm, t t C(t) 77,4 ( + 0,005) 77,4,005. b) Em 004 a concentração de CO na atmosfera é C(0) 77,4 ppm. Assim,,5C(0) C(0),005 t log,5 t log,005 log,5 t. log,005 log Usando as aproximações dadas, t log,0 log log 0,477 0,00 0,76, log,0 log 0,0 0,00 0,00 ou seja, t 80. Portanto, a concentração de CO será, em 084, 50% superior àquela observada em 004. Obs.: utilizando aproximações mais precisas para os logaritmos, encontramos t 8,0. Questão 7 Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 5 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 0 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo. a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danificado. b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que revestirá o abajur.

4 matemática 4 O x O x x 0 0 A 5 B 0 5 C revestimento do abajur D planificação do revestimento a) O comprimento da geratriz de um cone é igual ao comprimento do raio do setor circular obtido de sua planificação. Assim, como ΔAOB ~ ΔCOD, AB OB CD OD 5 x x 0 cm e, portanto, os x raios são 0 cm e 60 cm. b) A área do tecido utilizado é igual à diferença entre as áreas laterais dos cones cujos raios das bases são CD eab, ou seja, π CD OD π AB 5 OB π 5(0 + 0) π 0 5 π cm. Questão 8 De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60 o, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75 o. Sabendo que o teodolito está a uma altura de,6m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo. a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa? b) Qual a altura da escarpa? Seja AB, em metros, a distância entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa. No triângulo retângulo ABC, AB AC sen 60o. Como AD é bissetriz interna do ΔABC, aplicando o teorema da bissetriz interna, temos AB BD AC CD BD BD m. Ainda no ΔABC, tg 0 o CB AB + AB AB + m. Portanto: a) A distância entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa é AB + m. b) A altura da escarpa é ED,6 + m. Questão 9 Sejam dados: a matriz x x x m A x, o vetor b e x 5 y o vetor y y. y a) Encontre o conjunto solução da equação det(a) 0. b) Utilizando o maior valor de x que você encontrou no item (a), determine o valor de m para que o sistema linear Ay b tenha infinitas soluções.

5 matemática 5 a) det(a) x x x x 0 x x x ( x ) + (x )( ) 0 x x (x )(x ) 4 0 x ou x. Logo V {, }. b) Para x, Ay b y m y + y + y m y y + y + y y 5 y + y y 5 y m y + y y y + y + y y m. 4y 5 y O sistema possui infinitas soluções se, e somente se, m m + 7. Questão 0 Sabe-se que a reta r( x) mx + intercepta o gráfico da função y x em dois pontos distintos, A e B. a) Determine os possíveis valores para m. b) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima. a) O número de interseções dos gráficos de y mx + ey x é igual ao número de soluções da equação: (x mx + e x 0) x mx + ou ( x mx + e x 0) ((m )x e x 0) ou ( ) ((m + )x ex 0) Como os gráficos têm duas interseções, a equação (m )x tem uma raiz não negativa e a equação (m + )x tem uma raiz não positiva. Logo devemos ter: 0 m m < 0 < m < m + > 0 0 m + b) As abscissas das interseções são 0 e m 0. Logo são os pontos m + ; ; m m m m e ; ;. m + m + m + m + Assim, a área do triângulo AOB é: 0 0 m m m + m m m m m + m Como < m < m > 0, tal área é 4 m, que é mínima quando m é máximo, ou seja, quando m é mínimo, o que ocorre para m 0. Questão Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC 6 cm, AB 8cmeBC 0 cm. Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente. a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO. b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F.

6 matemática 6 Consideremos a figura a seguir: o (FD) (FO) + (DO) (FO) (DO) cos(90 + α ) o (ED) (EO) + (DO) (EO) (DO) cos(90 + β) (FD) ( senα) (ED) ( senβ) 4 (FD) (ED) FD 0 cm ED 9 cm Assim os comprimentos dos lados do triângulo DEF são FE 7 cm, FD 0 cm e ED 9 cm. a) Como o triângulo ABC é retângulo em A, o centro O da circunferência a ele circunscrita é o ponto médio da hipotenusa BC. Já que D, E e F são os centros dos quadrados de lados BC, ACeABeOA OB OC, podemos afirmar que EO eacsão perpendiculares e também FO eab. Sendo G o ponto médio de AC eh o ponto médio de AB, DO BC 5 cm, AC AB EG cm e FH 4 cm. AB Pelo teorema da base média, GO 4cm AC e analogamente HO cm. Assim EO EG + GO cm e FO FH + HO cm. b) Sendo α a medida dos ângulos ACB e HOB e β a medida dos ângulos ABC e GOC, como α + β 90 o, temos m (FOE) o o o Portanto o triângulo OFE é retângulo em O e (FE) (FO) + (EO) (FE) FE 7 cm. Aplicando-se a lei dos co-senos aos triângulos FOD e EOD, como as medidas dos ângulos FOD e EOD são respectivamente 90 o +αe 90 o +β,temos: Questão As três raízes da equação x x + x q 0, onde q é um parâmetro real, formam uma progressão aritmética. a) Determine q. b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre as raízes (reais e complexas) da equação. a) Sejam a r, a e a + r as raízes da equação, a, r C. Pelas relações entre coeficientes e raízes, (a r) + a + (a + r) a. Assim, uma das raízes da equação é. Utilizando Briot-Ruffini, obtemos: q 0 0 q Logo0 q 0 q 0. b) x x + x q 0 x ou x x x ou x + i ou x i. Logo as raízes da equação são, + i e i.