RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA UNICAMP a Fase Professora Maria Antônia Gouveia.

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1 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA UNICAMP 8 a Fase Professora Maria Antônia Gouveia. Instruções: Indique claramente as respostas dos itens de cada questão, fornecendo as unidades, se for o caso. Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolução das questões. Expressões incompreensíveis, bem como respostas não fundamentadas, não serão aceitas. Ao apresentar a resolução das questões, evite textos longos e dê preferência às fórmulas e expressões matemáticas. Não use aproximações para os valores de π ou e. Toda a resolução das questões deve ser a caneta, não apenas as respostas numéricas. QUESTÃO. Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura abaixo. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem m, a base maior tem,8m e as arestas laterais têm 5cm de comprimento. Supondo que um trecho de km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões. a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia? b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6m de comprimento,,5m de largura e,6m de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a brita?

2 RESOLUÇÃO: a) Representemos a base sobre a qual estão assentados os trilhos e os dormentes, como um prisma reto e trapezoidal. O volume do prisma, representado acima, será o volume pedido. A diferença entre as bases do trapézio isósceles, que representa a base do prisma, é:,8m m,8m.,8 Como o trapézio ABCD é isósceles, BE, m. A altura h desse trapézio será calculada aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo BCE: h (,5) (,),5,6,9, m. O volume do prisma é dado por: V S base H prisma. Como ( a base do prisma é um trapézio e a sua altura H km.m, +,8 ), V 7m. RESPOSTA: O volume de brita a ser utilizado nesse trecho da ferrovia é de 7m. b) Considerando que a parte interna da caçamba tenha a forma de um paralelepípedo de 6m,5m,6m, o seu volume é: (6,5,6) 9m. Então para o caminhão transportar toda a brita dará: 7 : 9 8 viagens. RESPOSTA: 8 viagens. QUESTÃO Uma passagem de ônibus de Campinas a São Paulo custa R$7,5. O preço da passagem é composto por R$,57 de tarifa, R$,9 de pedágio, R$, de taxa de embarque e R$,69 de seguro. Uma empresa realiza viagens a cada 5 minutos, sendo que o primeiro ônibus sai às 5 horas da manhã e o último, à meia-noite. No período entre o meio-dia e as duas horas da tarde, o intervalo entre viagens sucessivas é de minutos. a) Suponha que a empresa realiza todas as viagens previstas no enunciado e que os ônibus transportam, em média, 6 passageiros por viagem. Qual o valor arrecadado pela empresa, por dia, nas viagens entre Campinas e São Paulo, desconsiderando as viagens de volta? b) Se a taxa de embarque aumentar,% e esse aumento for integralmente repassado ao preço da passagem, qual será o aumento percentual total do preço da passagem?

3 RESOLUÇÃO: a) HORÁRIOS DE SAÍDA DOS ÔNIBUS: HORÁRIOS A 5: 5:5 5: 5:5 6:... : :5 : B : : : C : :5 : :5 5:... : :5 : Analisando a linha A da tabela, conclui-se que das 5 horas às horas existem ( 5) + 9 horários de saída de ônibus. Analisando a linha B, conclui-se que das,5 horas às,5 horas existem horários de saída de ônibus. Analisando a linha C, conclui-se que das horas às horas existem ( ) + horários de saída de ônibus. Ao todo são (9 + + ) 7 horários. Como em cada viagem são transportados 6 passageiros, a arrecadação da empresa ao final do dia é: 7 6 R$ 7,5 R$ 5. 99, RESPOSTA: R$ 5.99, b) Se o aumento da taxa de embarque:, R$, R$,9989 R$, for repassado integralmente para o preço da passagem, então a razão percentual do aumento é:,, ,8%. 7,5 RESPOSTA: 6,% QUESTÃO Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo. a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F, F e F indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras, e, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja F n. Calcule F e escreva a expressão geral de F n. b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 5 figuras. RESOLUÇÃO: a) F, F e F, F 8,... Observando esta seqüência numérica percebemos que ela constitui uma P.A. cujo primeiro termo é e a razão é r 8. Então, a expressão geral de F n é: F n F + (n ). r + (n ).8 8n

4 F n 8n e F 8 76 RESPOSTA: O número de palitos da figura F é 76 e a expressão geral de F n é: F n 8n. b) F A soma dos n termos de uma P.A. é: S n ( a + a ) n n. ( ) Então, S 5.5. RESPOSTA: Para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 5 figuras são necessários. palitos. QUESTÃO Dois atletas largaram lado a lado em uma corrida disputada em uma pista de atletismo com m de comprimento. Os dois atletas correram a velocidades constantes, porém diferentes. O atleta mais rápido completou cada volta em exatos 66 segundos. Depois de correr 7 voltas e meia, o atleta mais rápido ultrapassou o atleta mais lento pela primeira vez. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento para percorrer cada volta? b) Em quanto tempo o atleta mais rápido completou a prova, que era de. metros? No momento em que o atleta mais rápido cruzou a linha de chegada, que distância o atleta mais lento havia percorrido? RESPOSTA: a) Como os dois atletas largaram juntos com velocidades constantes, e a primeira ultrapassagem aconteceu depois do mais rápido completar 7,5 voltas, então nesse instante o mais lento completava 6,5 voltas. Se o atleta mais rápido completa cada volta em 66 segundos, então 7,5 voltas correspondem a 7,5 66 s 55 s. 55, Nesse mesmo tempo o mais lento deu 6,5 voltas, ou seja, levou 7 segundos em 6,5 cada volta. RESPOSTA: O atleta mais lento percorreu cada volta em 7 segundos. b) Se a velocidade dos atletas era constante, e o mais rápido percorria m a cada 66 segundos, 66s isso quer dizer que ele percorreu. metros em 5 66s 65s O mais lento, quando o mais rápido cruzou a linha de chegada (ou seja aos 65 segundos), tinha percorrido x metros, logo: x.7s 65s 7x.65 x.,57 98,57 m. RESPOSTA:.65 segundos e 9.8,57m aproximadamente.

5 QUESTÃO 5 Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja y(x) ax + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso. Distância(m) Altura(m),,7, a) Determine os valores de a, b e c. b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso. RESOLUÇÃO: a) Na função y ax + bx + c substituindo x e y pelos valores correspondentes da tabela acima: a + b + c a + b + c,7 9a + b + c, (L (L a + b + c L) a + b,7 (L L ) 8a + b, L a + b + c ) a, a -, Substituindo este valor sucessivamente nas equações a + b,7 e a + b + c, tem-se:, + b,7 b e, + + c c,. RESPOSTA: Os valores de a, b e c são, respectivamente,,; e,. b) Na função y ax + bx + c substituindo x e y por seus valores numéricos determinado no item anterior: y,x + x +,. Determine-se as raízes da função y,x + x +,: Multiplica-se todos os termos da equação,x + x +, por : x x (x ).(x + ) x ou x - A trajetória do peso está representado pela parte da parábola contida no intervalo [,] do eixo dos x. Resposta: A distância total alcançada pelo peso é medida na horizontal. Essa distância é de metros

6 QUESTÃO 6 Seja C o conjunto dos números (no sistema decimal) formados usando-se apenas o algarismo, ou seja C {,,,,,,... }. a) Verifique se o conjunto C contém números que são divisíveis por 9 e se contém números divisíveis por 6. Exiba o menor número divisível por 9, se houver. Repita o procedimento em relação ao 6. b) Escolhendo ao acaso um número m de C, e sabendo que esse número tem, no máximo, algarismos, qual a probabilidade de m ser divisível por 9? RESOLUÇÃO: a) Como os números que são elementos do conjunto C são representados apenas com o algarismo, e num número divisível por 9, a soma dos valores de seus algarismos é um número também divisível por 9, o subconjunto de C cujos elementos são números divisíveis por 9 é o conjunto A {..,...,...}. As quantidades de ordens dos elementos de A formam a seqüência (9, 8, 7, 6,... 9n) que constitui uma P.A. com a 9 e razão 9. O número 6 é par, então todo múltiplo de 6 é par, logo o conjunto C formado apenas de números ímpares não possui nenhum elemento divisível por 6. RESPOSTA: O conjunto C contém números divisíveis por 9 e o menor desses números é... O conjunto C não possui elemento divisível por 6. b) No item anterior vimos que as quantidades de ordens dos números pertencente ao conjunto C e divisíveis por 9 formam a seqüência (9, 8, 7, 6,... 9n). Considerando o conjunto E, subconjunto de C, formado com todos os números cuja quantidade de ordens é menor ou igual a., n(e).. Considerando B o conjunto formado por todos os elementos de E divisíveis por 9, o maior elemento de B tem 999 ordens, o que nos leva a deduzir que 9n 999 n, ou seja, n(b). n(b) n(e) A probabilidade pedida é: p,,%. RESPOSTA:,%. QUESTÃO 7 A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como R β + log I, em que R β é a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m. No Brasil, a unidade mais usada para medir ruídos é o decibel, que equivale a um décimo do bel. O ruído dos motores de um avião a jato equivale a 6 decibéis, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge 8 decibéis, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. a) Escreva uma fórmula que relacione a medida do ruído R d β, em decibéis, com a intensidade sonora I, em W/m. Empregue essa fórmula para determinar a intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano. b) Usando a fórmula dada no enunciado ou aquela que você obteve no item (a), calcule a razão entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.

7 RESOLUÇÃO: a) Como o decibel equivale a um décimo do bel, R β. R d β, e como R β I + log R d β. ( + log I ).. ( + log I ) 8 ( + log I ) 8 RESPOSTA: R d β. ( + log I ) e b) Intensidade sonora do motor do avião:. ( + I ) 6 I log log I W/m. I I. + log 6 log I I. Intensidade sonora do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade: A razão entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade é: RESPOSTA: 8. QUESTÃO 8 8. I. Sejam dadas as funções f(x) px e g(x) x + 5, em que p é um parâmetro real. a) Supondo que p 5, determine para quais valores reais de x tem-se f(x). g(x) <. b) Determine para quais valores de p temos g(x) f(x) para todo x [ 8, ]. RESOLUÇÃO: a) f(x) g(x) < (x + 5) ( 5x) <. A raiz de x + 5 é x e a de 5x é x. 5 Estudemos a variação dos sinais do produto (x + 5) ( 5x): 5 RESPOSTA: f(x). g(x) < para x, ], + [. b) g(x) f(x) g(x) f(x) x + 5 px A desigualdade x + 5 px deve ser verdadeira para todo x [ 8, ]. Fazendo x 8 tem-se: p 8p p. 8 Fazendo x tem-se: p p. Logo [ p e p ] p RESPOSTA: g(x) f(x) para p. 8

8 QUESTÃO 9 Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P T P, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa. a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que P P I, em que I é a matriz identidade. / / / P / a / / b / b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x A b. / Q / / / / / / /, R, b 6. RESOLUÇÃO: a) P T P P T P P P P T P I / / / / / / / a b / a / / / / / b / No primeiro membro da equação multiplicando-se a linha da primeira matriz sucessivamente pelas colunas da segunda matriz, teremos o sistema: a b 9 6a 6b (L : ) a + b + a + b a + 6b a 6b L L 9 + 9a + 9b 9 9a + 9b 5 a b + 9 9b b a a + a a RESPOSTA : b (VERIFICAÇÃO) b) Se Q é uma Matriz Ortogonal então Q é uma matriz real cuja inversa coincide com a sua transposta A QR e Ax b QR x b Q QR x Q b R x Q b. R e Q são de ordem e b é de ordem x é de ordem.

9 Consideremos x p n m e sendo R x Q b p n m 6 x p n m p n m RESPOSTA: x QUESTÃO Uma ponte levadiça, com 5 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões abaixo. a) Se o tempo gasto para girar a ponte em equivale a segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de,5m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada? b) Se α 75º, quanto mede AB?

10 RESOLUÇÃO: a) No triângulo retângulo ADE, temos:,5 o sen α α. 5 Se para girar a ponte em o leva-se segundos, para girá-la em o necessita-se de segundos 9 segundos 5 minutos. RESPOSTA: 5 minutos. b) No triângulo retângulo ADE, temos: cos75 o x (I). 5 o o o cos 75 cos( 5 + ) cos75 o 6 (II) x 6 De (I) e (II), tem-se: 5 ( 6 ) 5 x 5 x AB 5 RESPOSTA: O segmento AB mede ( 6 ) 5 ( 6 ) 5 ( 6 ) ( 6 ) 5