RESOLUÇÃO Matemática APLICADA FGV Administração

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1 FGV Administração VESTIBULAR FGV 015 1/1/01 RESOLUÇÃO DAS 10 QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA PROVA DA TARDE MÓDULO DISCURSIVO QUESTÃO 1 Um mapa de um pequeno parque é uma região em forma de quadrilátero, limitado pelas retas y = x, y = x +, y = x + e y = x, sendo que as unidades estão em quilômetros. A altitude em relação ao nível do mar em cada ponto (x, y) do parque é dada pela expressão (0,75x + y ) quilômetros. a) Demonstre que o quadrilátero do parque é um quadrado. b) Qual é a altitude do centro do parque, ponto de encontro das diagonais, em relação ao nível do mar? a) Sendo ABCD o quadrilátero, como indica a figura, temos: (r): y = x m r = 1 & (s): y = x m s = 1 e AB = BC = CD = DA =. Como os quatro lados têm medidas iguais e dois consecutivos são perpendiculares, ABCD é um quadrado. b) O centro do parque é o ponto médio da diagonal AC da figura. Como A = (0, 0) e C = (0, ), temos M = (0, ). Altitude: (0, ) km = km. a) Demonstração acima. b) km

2 FGV Administração QUESTÃO Certo município pode ser representado em um mapa como uma malha retangular, 0 # x # 5 e 0 # y # 5 com uma cidade na origem. Uma construtora estimou que o valor do metro quadrado no ponto (x, y) do mapa, x e y números naturais, é dado pela relação: a) Expresse V em termos de x e y. ln V = ln 5 ln 10 x y f p, sendo V expresso em milhares de reais. b) Quais são o maior e o menor valor, em reais, do metro quadrado no município? Se necessário, use as aproximações: ln = 0,7; ln = 1,1. Observe que o número e é igual a, e que y = ln x se e somente se e y = x, com x > 0. a) Primeiro modo: ln V = ln ( x y 5) ln ( 5) f p x y ln V = ln + ln 5 ln ln 5 f p x y ln V, 1,1 0,7 f p x y ln V, 1,5 f p Segundo modo: In V In 5 + In 10 = x y 10 V x + y In = 5 x + y V = e 9 x + y 9 Portanto V = e Portanto V, e x y 1, 5 c + m b) Na região com 0 x 5 e 0 y 5, V é máximo no ponto (0,0). E V é mínimo no ponto (5,5) da região dada. Logo, V máx = V mín, x + y a) 9 V = e 9 0 e =,5 (milhares de reais) 1 1, 5 e 1 = e,, 718 ( milhares de reais), e x + y 1, 5 b) R$.500,00 o maior e R$.718,00 o menor, aproximadamente.

3 FGV Administração QUESTÃO Atenda ao que se pede: a) Determine o produto das raízes da equação cúbica x + 6 = 0 que não são números reais. b) Para resolver uma equação cúbica expressa na forma x + ax = b, o matemático francês François Viète a ( ) substituiu a variável x por x = y e obteve a equação: y 6 + by a = 0. Obteve os valores y de y e depois, os de x. Use esse método para determinar uma raiz da seguinte equação (considere x e y números reais e positivos): x + x 5 = a) x = 6 Em R, x = 6 = Por Girard, o produto das três raízes é 6. 6 O produto das raízes não reais é: = 16. b) Como x + ax = b pode ser resolvido através da substituição x = y a y, que gera a equação y 6 + by a = 0, tem-se para x + x 5 = que: (a = 5 e b = ) & (a = 5 e b = ) Substituindo a e b, tem-se: y 6 + y ( 5 ) = 0 & y 6 + y 5 = 0 & (y = 5 ou y = 1) y = 5 & y = 5 & y = 5 y = 1 & y = 1 a x = y & 5 x = y 1 1 < 0 (não convém). x 5 1 Uma raiz da equação é ( 5 1). a) 16 b) 5 1

4 FGV Administração QUESTÃO A figura mostra o gráfico da função f(x) = x x 0x + 8. a) Se julgar conveniente, utilize-o para resolver a inequação: b) Resolva a inequação: x x 0x x x 0x 8 ( x x 1) 0. f(x) f(x) = x x 0x x a) Pelo gráfico, é raiz dupla de f(x). Sendo r a outra raiz, por Girard: + + r = ( 1 ) 7 & r = O trinômio x + x + 1 tem = = < 0. Então, x + x + 1 > 0, 6 x! R e, também, (x + x + 1) > 0, 6 x! R. Daí: pelo c m gráfico x x 0x > 0, f( x) > 0, cx > e x! m ( x + x + 1) b) y 8 y = f(x) 7 a 0 b x f(x) = 8, x x 0x + 8 = 8, x(x x 0) = 0, x 0 ou x Então, no gráfico acima, a = e b = Logo, f(x) > 8, f < x < 0 ou x > p. a) x > 7 e x!. f 1! 161 p b) < x < 0 ou x >

5 FGV Administração QUESTÃO 5 Uma fábrica constrói dados com a forma de um tetraedro regular. A área de uma face do dado é igual a 9 cm. a) Qual é a soma das medidas das arestas de um dado? b) As faces do dado são numeradas de 1 a. Lançamos dois desses dados. Qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, da soma dos números das faces visíveis ser um múltiplo de 5? a), medida da aresta A 9 cm &, face 9 cm &, 6 cm 6, 6 $ 6 cm 6 cm b) Primeiro modo: Esta tabela mostra a soma das faces visíveis nos dois tetraedros: faces invisíveis nos tetraedros º 1º A probabilidade da soma ser um múltiplo de 5 é a probabilidade da soma ser 15, então: 1 5 p = 5% 16 Segundo modo: A soma das 8 faces é 0, que é múltiplo de 5. A soma das faces visíveis será um múltiplo de 5 se, e só se, a soma das faces invisíveis também for. Então, as faces invisíveis devem ser 1 e, ou e, ou e, ou 1 5 e 1. A probabilidade é: p = 5% $ a) 6 cm b) 5%

6 FGV Administração QUESTÃO 6 Uma padaria entrega mensalmente certo tipo de pão, cobrando R$ 1,50 pelo pacote simples, que contém 1 unidade, e R$,50 pelo pacote duplo, que contém unidades. Na primeira semana, ela entrega a um restaurante pacotes simples e 0 pacotes duplos. Na segunda semana, 00 pacotes simples e 80 pacotes duplos. Na terceira semana, 00 pacotes simples e 60 pacotes duplos. Na quarta semana, 00 pacotes simples e 80 pacotes duplos. a) Escreva um produto de matrizes que expresse o total de pães entregues pela padaria mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria. A matriz produto deve ter esta forma: Número de pães Valor total em reais As colunas representam a primeira, segunda, terceira e quarta semanas, respectivamente. b) Usando a matriz produto do item A, calcule o total de pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria. a) De acordo com os dados, temos: Pacotes simples Pacotes duplos Nº de pães por pacote 1 Preço do pacote 1,50,50 1 A = f p 1, 50, 50 1ª Sem. ª Sem. ª Sem. ª Sem. Pacotes simples Pacotes duplos B = f p Assim, o produto que expressa o total de pães e o valor total recebido é: 1 AB = f p $ 1, 50, 50 f p = f p 650 b) O total de pães entregues é a soma da 1ª linha da matriz produto: = 1 0. O valor total recebido, em reais, é a soma da ª linha: = a) Matriz AB acima. b) 10 pães; R$ 1.850,00.

7 FGV Administração QUESTÃO 7 a) Braille é um sistema de leitura para cegos inventado pelo francês Louis Braille no ano de 187, em Paris. Os caracteres são indicados por pontos de alto-relevo que podem representar letras, pontuações, números, sinais matemáticos, notas musicais. Cada célula Braille possui 6 pontos, arrumados num padrão três linhas por duas colunas. Observe como são representadas, por exemplo, as letras A e B. Considere que quando não há pontos de alto-relevo, não há representação de nenhum caractere: Quantos caracteres podem ser representados no sistema Braille? b) Nove cobaias numeradas de 1 a 9 são distribuídas igualmente em três grupos: um grupo de controle e dois grupos experimentais. De quantos modos diferentes as cobaias podem ser distribuídas nos grupos, se os três grupos têm tratamentos diferenciados? a) Para cada ponto da célula temos opções: com alto-relevo ou sem alto-relevo, exceto o caso de todos ficarem sem alto-relevo. Então, o número de caracteres é: $ $ $ $ $ 1 = 6 1 = 6 b) Para um dos grupos devemos selecionar das 9 cobaias, e isto pode ser feito de C 9, = Para o próximo grupo, devemos selecionar cobaias das 6 restantes, isto é, C 6, = 9 $ 8 $ 7 = 8 maneiras.! 6 $ 5 $ = 0 maneiras.! E para o último grupo teremos C, = 1 maneira. Assim, o número de modos de se distribuir as 9 cobaias nos grupos é: 8 $ 0 $ 1 = a) 6 b) 1680

8 FGV Administração QUESTÃO 8 Atenda ao que se pede. a) Considerando que uma geração corresponde a 5 anos, determine o número de ancestrais (pais, avós, bisavós etc.) que determinada pessoa pode ter em um período de 00 anos. b) A figura mostra os quatro primeiros termos da sequência dos números piramidais de base quadrada. Determine o quinto, o sexto e o sétimo termos da sequência. a) Para uma pessoa que tenha nascido hoje, seus ancestrais nascidos nos últimos 00 anos são: pais, avós, 8 bisavós, e assim por diante, formando uma progressão geométrica de razão. Em anos, são = 1 gerações, e a P.G. terá 1 termos, cuja soma é dada por: 5 1 $ 1 = = Portanto, a pessoa pode ter ancestrais nesse período. b) Da figura, temos: a 1 = 1 = 1 a = 1 + = 5 a = = 1 a = a + = = 0 a 5 = a + 5 = = 55 a 6 = a = = 91 a 7 = a = = 10 a) 8190 b) a 5 = 55; a 6 = 91 e a 7 = 10.

9 FGV Administração QUESTÃO 9 Um retângulo em que a razão entre as medidas do maior e do menor lado é de ouro é chamado retângulo Do retângulo de ouro da figura, retiramos um quadrado de lado a. Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo de ouro. As dimensões do retângulo resultante são [(1 + a é: = =. ( 1+ 5 ) a a )a a] e a. Assim, a razão entre as medidas dos lados Resposta: Demonstração acima.

10 FGV Administração QUESTÃO 10 Considere um triângulo ABC de área 1 cm, cujos lados medem AC = 8 cm e BC = 6 cm. a) Calcule a medida do ângulo C t. Faça um esboço de todos os triângulos possíveis. b) Calcule a soma dos quadrados das possíveis medidas do lado AB. 1 a) área (ABC) = (AC) (BC) sen C t 1 1 = 8 6 sen C t sen C t 1 = (C t = 0 ou C t = 150 ) b) C t = 0 (AB) = cos 0 C t = 150 (A B ) = cos 150 Somando essas duas igualdades, temos: (AB) + (A B ) = (6 + 8 ) = 00 cm a) 0 ; 150. b) 00 cm.