MATEMÁTICA 3. Resposta: 29

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1 MATEMÁTICA Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento A, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que está, e medem-se os ângulos CA = 57 o e AC = 59 o. Sabendo que C mede 30m, indique, em metros, a distância A. (Dado: use as aproximações sen(59 o ) 0,87 e sen(64 o ) 0,90) A 59 C 57 Resposta: 9 O ângulo CA mede = 64 graus. Usando a Lei dos Senos no triângulo AC obtemos A/sen(59º) = C/sen(64º), e portanto A 30.0,87/0,9 = 9 metros. 18. A probabilidade de um estudante de certo colégio ser aprovado na primeira etapa do vestibular é de 5/6. Tendo sido aprovado na primeira etapa, a probabilidade de ele ser aprovado na segunda etapa é de 3/5. Escolhendo, aleatoriamente, um estudante deste colégio, qual a probabilidade percentual de ele ser aprovado nas duas etapas do vestibular? (Suponha que os eventos ser aprovado na primeira etapa e ser aprovado na segunda etapa são independentes.) Resposta: 50 Trata-se da probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos independes e vale 100.5/6.3/5 % = 50 %. 19. O preço da corrida de táxi na cidade R é calculado adicionando um valor fixo de R$,50 a R$ 1,30 por cada quilômetro rodado, enquanto na cidade S o preço é obtido adicionando um valor fixo de R$ 3,40 a R$ 1,5 por quilômetro rodado. A partir de quantos quilômetros rodados, o táxi da cidade R deixa de ser mais barato que o da cidade S? Resposta: 18 Para rodar x km na cidade R paga-se,5+1,3x e na cidade S paga-se 3,4+1,5x e temos que,5+1,3x 3,4+1,5x quando 0,05x 0,9 ou x Se a taxa acumulada de inflação em anos foi de 56% e no primeiro ano a taxa foi de 0%, determine seu valor percentual no segundo ano. Resposta: 30

2 Seja x% a taxa percentual no segundo ano: Temos 1,0.(1+x/100) = 1,56 e daí 0,01x = 0,36, portanto x = As duas pirâmides ilustradas abaixo têm base quadrada e faces laterais formadas por triângulos equiláteros de lado As bases das pirâmides estão no mesmo plano, têm pares de lados opostos paralelos e distâncias indicadas na figura. Qual a menor distância a ser percorrida para se ir do vértice A de uma das pirâmides ao vértice da outra, caminhando ou sobre a superfície das pirâmides ou pelo plano? A 15 6 Sugestão: Planifique as faces a serem percorridas para se obter a menor distância como a seguir. Resposta: 39 A medida da altura dos triângulos das faces é dada por / = 15. A distância procurada é a medida da hipotenusa de um triângulo de catetos medindo 15 e 36 e vale = 39.. Na figura ilustrada abaixo, os segmentos A, C, CD, DE e EA são congruentes. Determine, em graus, a medida do ângulo CAD.

3 A E D C Resposta: 36 Seja α o ângulo CAD. Como o triângulo AC é isósceles, temos CA = α e segue que CD = α ; como o triângulo CD é isósceles temos CD = α; da mesma forma DCE = α; portanto os ângulos do triângulo ACD medem α, α e α e consequentemente α+α+α = 180 º e daí α = 36 º. 3. O preço de venda de um automóvel é de R$ 0.000,00. Este valor pode ser dividido em 40 prestações iguais calculadas da seguinte maneira: adiciona-se ao valor do automóvel juros mensais e cumulativos de 1% durante 40 meses e divide-se o montante por 40. Determine o valor da prestação, em reais, e indique a soma de seus dígitos. (Use as aproximações 1, ,5.) Resposta: 1 O montante será 0000.(1+0,01) 40 prestação será 30000/40 = 750 reais ,5 = e o valor da 4. Segundo o regulamento de uma companhia de transporte, a bagagem de mão de um passageiro, na forma de um paralelepípedo reto, deve ter altura de no máximo 45cm e a soma da largura e do comprimento não pode ultrapassar 80cm. Para qual valor da largura, medida em cm, o volume da bagagem de mão será máximo? Resposta: 40 Denote a largura e o comprimento da bagagem por l e c, respectivamente; para o volume ser máximo devemos escolher a altura máxima permitida e o volume será dado por V = 45.l.c. Temos que l e c satisfazem l+c 80 e para o valor máximo V deveremos ter l+c = 80 e V = 45.l.c = 45.l(80-l). A função l(80-l) assume valor máximo para l = 80/ = 40 e c = 40.

4 5. Os 80 candidatos aprovados em Matemática em um vestibular foram divididos em duas turmas: na turma A ficaram os 40 possuidores das maiores notas de classificação e na turma ficaram os demais. As médias das notas dos alunos das turmas A e foram então m A e m, respectivamente. Foi decidido a transferência do aluno com maior nota da turma para a turma A e as novas médias foram M A e M, respectivamente, para as turmas A e. Supondo que as notas dos 80 alunos foram diferentes, analise a veracidade das afirmações seguintes: 0-0) m A = M A 1-1) M A < m A -) m < M 3-3) M = m 4-4) m A > m Resposta: FVFFV Sejam n1>n >...>n 80 as notas obtidas. Então m A = (n n 40 )/40 e m = (n n 80 )/40. Observe que m A > n 41 > m. Então M A = (n n 40 + n 41 )/41 = (40m A +n 41 )/41 < (40m A + m A )/41 = m A. Analogamente, M = (n n 80 )/39 = (40m - n 41 )/39 < 39m /39 = m. Logo 0-0, - e 3-3 são falsas e 1-1 é verdadeira. 4-4 é verdadeira pois n i < n i+41 para i = 1,, 3,..., Na figura abaixo, o triângulo AC é equilátero de lado 1, os arcos DE, EF, FD estão contidos em circunferências de raio 6, e a circunferência de menor raio é tangente aos três arcos. Qual o inteiro mais próximo da área da região hachurada? (Dados: use as aproximações π 3,14 e 3 1,73). C D F A E Resposta: 3 O centro da circunferência menor é o baricentro do triângulo AC, logo, se seu raio é r, temos: 6+r = /3(1 3 )/ = 4 3 e daí r = A área da região hachurada vale 1 3 /4 - π6 / - π (4 3-6) = π π, Quantas soluções a equação sen 4 x sen 6 x sen x =, 4

5 cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo sen sen x x e razão, admite, no intervalo [0,0π]? Resposta: 0 A soma dos termos da progressão geométrica é sen sen x x/(1- ) = sen x/(-sen x). Logo, a equação é equivalente a sen x = ou sen x = ± 1. As soluções são da forma π/ + kπ e estão no intervalo [0,0π] quando 0 π/ + kπ 0π ou 1/ k 39/ logo k = 0, 1,,..., Um plano que passa pelo vértice de um cone reto intercepta o círculo da base deste em uma corda de comprimento 6. Este plano forma com o plano da base do cone um ângulo de 40 º e a altura do cone é 3,36. Indique o inteiro mais próximo do volume do cone. (Dado: use as aproximações tg(40 º ) 0,84 e π 3,14). 9. Resposta: 88 A distância entre o centro do base do cone e o ponto médio da corda é dada por 3,36/tg(40 º ) 3,36/0,84 = 4. O raio da base do cone é =5 e seu volume será 3,14.5.3,36/3 = 87,9. A figura abaixo ilustra parte do gráfico de um polinômio quadrático p(x) = ax + bx + c com coeficientes a, b e c reais x 3-5 Analise a veracidade das afirmações seguintes: 0-0) p(x) admite duas raízes reais. 1-1) b > 0 -) p(x) define uma função decrescente para todo real x. 3-3) p(x) < 30 para todo real x. 4-4) c > 0. Resposta: VFFFV

6 Do gráfico de p(x) temos que c = p(0) > 0 e que a > 0 pois a parábola tem concavidade voltada para cima. A abscissa do vértice da parábola é positiva, logo b/(a) > 0 e b < 0. Daí, p(x) admite duas raízes reais, p(x) é crescente se x>-b/(a) e assume valores maiores que qualquer número real dado. 30. Qual a inclinação da reta que passa pelo ponto (,4) e que intercepta a parábola y = x em um único ponto? Resposta: 4 A reta tem equação y 4 = m(x ) e intercepta a parábola na abscissa solução de 4 + m(x ) = x ou x mx + m 4 = 0. A interseção será unicamente o ponto (,4) se x = for raiz dupla da equação ou se m/ = ou m = O sólido ilustrado na figura abaixo foi obtido perfurando-se um cubo de aresta 4 com uma broca circular de raio 1, cujo o eixo passou pelos pontos médios de duas faces adjacentes do cubo. Indique o inteiro mais próximo do volume do cubo perfurado. (Dados: use as aproximações π 3,14 e 1,41). 3. Resposta: 55 Sejam P e Q os pontos médios das faces do cubo que estão no eixo do cilindro. Temos que PQ =. Note que as faces que contém P e Q fazem ângulos de 45º com o eixo. Portanto, retira-se do cubo um cilindro circular reto de raio 1 cortado por dois planos. Logo, o volume do sólido é π1 64 8,85 = 55,15. Sejam x 1, x e x 3 as raízes da equação x 3-6x +3x 1=0. Determine o polinômio x 3 +ax +bx+c que tem raízes x 1 x, x 1 x 3 e x x 3 e indique o valor do produto abc. Resposta: 18 Seja y 1 = x 1 x, y = x 1 x 3 e y 3 = x x 3. Das relações de Girard, temos y 1 +y +y 3 =x 1 x +x 1 x 3 +x x 3 =3, y 1 y +y 1 y 3 +y y 3 = x 1 x 1 x x 3 + x x 1 x x 3 + x 3 x 1 x x 3 = (x 1 +x +x 3 ) x 1 x x 3 = 6.1 e y 1 y y 3 = (x 1 x x 3 ) =1 =1. Portanto y 1, y, y 3 são raízes da equação x 3-3x +6x-1 = 0.