= 30maneiras para sentar-se. Como são 20 filas, o número total de maneiras distintas que atende ao enunciado será:

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1 TEÁTIC 1ª QUESTÃO Um avião possui 10 poltronas de passageiros distribuídas em 0 filas. Cada fila tem poltronas do lado esquerdo (denotadas por, B, C) e do lado direito (denotadas por D, E, F), separadas pelo corredor do avião (veja a figura abaixo). Considere que duas poltronas são vizinhas quando elas estão numa mesma fila e não há poltronas entre elas, exceto as de letras C e D, que não são consideradas vizinhas. a) De quantas maneiras distintas dois passageiros podem sentar-se nesse avião, numa mesma fila? b) De quantas maneiras distintas um casal pode sentar-se em poltronas vizinhas? c) De quantas maneiras distintas dois casais podem sentar-se nesse avião, de modo que cada casal fique em poltronas vizinhas? Obs.: inversão de posição de um casal em poltronas vizinhas caracteriza maneiras distintas. a) Sabendo-se que, nesse avião, uma fila possui dois setores de poltronas, ou seja, existem 6 posições disponíveis. O primeiro passageiro, pelo princípio fundamental da contagem, tem 6 opções de poltronas para escolher. Estando sentado o primeiro passageiro, o segundo terá 5 opções para definir o seu assento. ssim, para uma das 0 filas, os dois passageiros têm ( 6) ( 5) = 0maneiras para sentar-se. Como são 0 filas, o número total de maneiras distintas que atende ao enunciado será: ( 0) ( 0) = 600. b) nalisando um dos 40 setores, o casal possui (em cada setor) P P = (! ) (! ) = 4maneiras para sentar-se; como são 40 setores, o número total que atende ao enunciado será 40 ( 4) = 160. c) Estando o casal posicionado, junto, em um dos 40 setores (utilizando-se de uma das 160 maneiras calculadas no item anterior) restarão, consequentemente, 9 ( 4) = 156 maneiras distintas disponíveis para o segundo casal sentar-se. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número que atende ao enunciado será ( 160) ( 156) = Respostas: a) 600 maneiras distintas. b) 160 maneiras distintas. c) maneiras distintas. 1

2 ª QUESTÃO Dado um triângulo BC retângulo a, onde B( - 1, - ), C( 15, 10 ) e o baricentro ( 1, determine: a) s coordenadas do vértice. b) medida da área do triângulo BC. c) interseção da reta que passa pelo baricentro ( 1, y ) do triângulo BC, e pelo ponto P( x P, 5 ), pertencente à bissetriz dos quadrantes pares do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com os eixos coordenados. y ), a) s coordenadas do vértice. Sendo o triângulo BC retângulo a É inscritível numa circunferência de diâmetro BC, e raios B, C,. 1 B = C = =. BC ( ) + ( 10 + ) d = d = 0 u.c. BC BC B = C = = 10 u.c. é ponto médio de BC ( 7, 4 ) Sendo o baricentro do triângulo BC =. ( x x ) =.( x x ) ( 7) =. 7 1 x x = 1

3 Sendo = 10 d ( x x ) + ( y y ) = 10 ( 1 7) + ( y 4) = 100 ( y 4) = y 4 = ± 6 y = 10 ou = pois = B ( -1, 10 ) y ( não convém ) b) medida da área do triângulo BC S ( ΔBC ) = ( ΔBC ) = S 96 u.a. 1 c) interseção da reta que passa pelo baricentro (, y ) do triângulo BC, e pelo ponto P( x P, - 5 ), pertencente à bissetriz dos quadrantes pares do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com os eixos coordenados. y y + yb + yc 1 = y = 6 (, 6 ) P( x P, - 5 ) b 4 x P = 5 P ( 5, - 5 ) x y P = x y P x + y 155 = 0 Logo : P " x" = {( x,0) } x + (0) 155 = x = 155 P " x" =, 0 e P " y" = {( 0, y) } (0) + y 155 = y = 155 P " y" = 0,

4 ª QUESTÃO Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4 cm de r. Determine a área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s. 4ª QUESTÃO Em 1º de junho de 009, João usou R$ ,00 para comprar cotas de um fundo de investimento, pagando R$ 1,50 por cota. Três anos depois, João vendeu a totalidade de suas cotas, à taxa de R$,10 cada uma. Um apartamento que valia R$ ,00 em 1º de junho de 009 valorizou-se 90% nesse mesmo período de três anos. (Nota: a informação de que a valorização do apartamento foi de 90% nesse período de três anos deve ser usada para responder a todos os itens a seguir). a) Se, ao invés de adquirir as cotas do fundo de investimento, João tivesse investido seu dinheiro no apartamento, quanto a mais teria ganhado, em R$, no período? b) Para que, nesse período de três anos, o ganho de João tivesse sido R$ 0.000,00 maior com o fundo de investimento, na comparação com o apartamento, por quanto cada cota deveria ter sido vendida em 1º de junho de 01? c) Supondo que o regime de capitalização do fundo de investimento seja o de juros simples, quanto deveria ter sido a taxa de juros simples, ao ano, para que a rentabilidade do fundo de investimento se igualasse à do apartamento, ao final do período de três anos? presente uma função que relacione o valor total das cotas de João (Y) com o tempo t, em anos a) O rendimento obtido na venda das cotas foi de (,1 1,5) = R$ ,00. 1,5 Por outro lado, se João tivesse investido seu dinheiro no apartamento, seu ganho teria sido igual a 0, = R$ ,00, ou seja, uma diferença de = R$ ,00. 4

5 b) Para que João tivesse ganhado R$ 0.000,00 a mais com o fundo de investimento, deveria ter vendido todas as cotas por ,00 = R$ ,00, ou seja, cada cota por R$, = c) Se a rentabilidade do apartamento foi de 90% no período, então a taxa anual de juros simples que deveria ter sido aplicada é igual a 90% 0%. = função que relaciona o valor total das cotas de João (Y) com o tempo t, em anos, é dada por: Y = (1+ 0, t) = t. 5ª QUESTÃO Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo. reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. lém disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60. bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ. Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T pertencente a L. Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, RS = ST e, portanto, RT = ST. 5

6 Do triângulo PRT, vem e Do triângulo PST, obtemos PT tg60 = PT = ST RT PT ST sen60 = PR = PR PR = 6 ST. PT ST tgα = tgα = ST ST tgα =. Sabendo que cossec α 1 cotg α = + e que α é agudo, encontramos 1 7 cossec α = 1+ senα = 8 1 sen α =. 14 Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem PR QR RS ST = = senα senθ 1 senθ 14 1 sen θ =. 7 6