EXERCICIOS APROFUNDAMENTO MATEMATICA TRIGONOMETRIA

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1 1. (Unifesp 015) O metano (CH 4) possui molécula de geometria tetraédrica (figura 1). Do ponto de vista matemático, isso significa que, em uma molécula de metano, os 4 átomos de hidrogênio localizam-se idealmente nos vértices de um tetraedro regular, e o átomo de carbono localiza-se no centro da esfera que circunscreve esse tetraedro (figura ). Nesse modelo de molécula, a distância entre um átomo de hidrogênio e o átomo de carbono é de 0,109 nanômetro (nm). 9 a) Sabendo que 1nm 10 m, calcule, em milímetros, a medida da distância entre hidrogênio e carbono na molécula de metano. Registre sua resposta em notação científica. b) Uma importante propriedade do tetraedro regular é a de que, sendo P um ponto interior qualquer, a soma das distâncias de P às quatro faces do tetraedro será igual à altura do tetraedro. Nas condições do problema, isso equivale a dizer que a altura do tetraedro é igual a 4 do raio da esfera. Na figura, α indica a medida do ângulo de ligação HCH na molécula de metano. Considerando a tabela trigonométrica a seguir e as informações fornecidas, calcule o valor aproximado de α. α (em grau) senα cosα tgα 70 0,997 0,40, ,5 0,946 0,8, ,9455 0,56,904 71,5 0,948 0,17, ,9511 0,090,0777 7,5 0,957 0,007, ,956 0,94,709 7,5 0,9588 0,840, ,961 0,756, ,5 0,966 0,67, ,9659 0,588,71 75,5 0,9681 0,504, ,970 0,419 4,0108. (Unesp 015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A até D'. Página 1 de 6

2 Considere os dados: - ABCD e A'B'C'D' são retângulos. - B', A' e E estão alinhados. - C, D e E estão alinhados. - A 'D e B'C são arcos de circunferência de centro E. Sabendo que AB 10 m, BC 98 m, ED 0 m, ED' 4 m e α 7, calcule o comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos finais.. (Unicamp 015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ. a) Para θ 60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular. b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r. 4. (Ita 014) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z x y z 0 x senθ y 4z 0, x 1 cosθ y 16z θ 0,. a) Determine θ tal que o sistema tenha infinitas soluções. b) Para θ encontrado em (a), determine o conjunto-solução do sistema. 5. (Unicamp 014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de xcm. Página de 6

3 a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a (Fuvest 014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo. A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ. 7. (Unesp 014) Determine o período da função f( ) θ dada pela lei de formação θ 8. (Ita 014) Determine o conjunto de todos os valores de x 0, 1 f sen θ 1. 5 satisfazem, simultaneamente, a sen x sen x 1 0 cos x 1 e tg x 1 cot g xcot g x. 9. (Unifesp 01) A sequência (1,a,b), denominada S 1, e a sequência (c,d,e), denominada S, são progressões aritméticas formadas por números reais. a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S 1, a nova sequência de três números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG. b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S, a nova sequência que se forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r de S, para o caso em que r. 10. (Ita 01) Determine o maior domínio D da função Página de 6

4 f : D, f x log (4senx cosx 1). x( x) (Unifesp 01) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que: P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; Q pertence à aresta EH; T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG da face EFGH; RF é um arco de circunferência de centro E. a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros. b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm. 1. (Unicamp 01) Um satélite orbita a km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede km. a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( θ) / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. 1. (Unesp 01) Sabendo-se que cos x cos x sen x, para quais valores de x a função 1 f x cos x cos x assume seu valor mínimo no intervalo 0 x? Página 4 de 6

5 14. (Unicamp 01) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo θ em torno de uma das arestas da base, 4 como está representado na figura abaixo. a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo θ. b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan( θ) 1/4, com 0 θ /, calcule o valor numérico da expressão cos( θ) sen( θ). 15. (Fuvest 01) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P 1 e P representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP 1 tem comprimento 6 e o braço PP 1 tem comprimento. Num dado momento, a altura de P é, P está a uma altura menor do que P 1 e a distância de O a P é 10. Sendo Q o pé da perpendicular de P ao plano do chão, determine a) o seno e o cosseno do ângulo P OQ ˆ entre a reta OP e o plano do chão; b) a medida do ângulo OPˆ 1P entre os braços do guindaste; c) o seno do ângulo P1 OQ ˆ entre o braço OP 1 e o plano do chão. 16. (Ita 01) Encontre os pares αβ, 0, 0, que satisfazem simultaneamente as equações tgα cotgβ cosα senβ cos ( α β) 1 e α β α β sen cos. 17. (Fgv 01) a) Construa um triângulo isósceles cujo ângulo menor seja metade de cada um dos ângulos maiores e nomeie seus vértices de A, B e C, sendo ABC o ângulo menor. Em seguida, desenhe uma circunferência que passe pelos três vértices desse triângulo. Por fim, trace as bissetrizes dos dois ângulos maiores do triângulo; batize de ponto D o encontro da bissetriz de BAC com a circunferência e, de ponto E, o encontro da bissetriz de ACB com a circunferência. Notas: (i) indique a localização dos pontos A, B, C, D e E; (ii) como referência, adote para o segmento de reta AB qualquer tamanho entre 5 e 10 centímetros. Página 5 de 6

6 b) Imagine que a figura construída no item anterior seja a versão, em miniatura, de uma figura na qual o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede km. Nesse caso, qual é o comprimento do arco BD? c) Na figura ampliada descrita no item anterior, qual é o perímetro do pentágono AEBDC? Se necessário, adote: sen (6 ) 0,59; sen (54 ) 0,81; sen (7 ) 0,95; cos (6 ) 0,81; cos (54 ) 0,59; cos (7 ) 0, (Unesp 01) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 0 e máxima de 45. Nestas condições e considerando 1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso? 19. (Unesp 01) Sejam dois espelhos planos ( E1 e E ), posicionados verticalmente, com suas faces espelhadas voltadas uma para outra, e separados por uma distância d, em centímetros. Suspensos por finas linhas, dois pequenos anéis (A e B) são posicionados entre esses espelhos, de modo que as distâncias de A e B ao espelho E 1 sejam, respectivamente, a e b, em centímetros, e a distância vertical entre os centros dos anéis seja h, em centímetros, conforme mostra a figura. Determine o ângulo de incidência, em relação à horizontal, em função de a, b, d e h, para que um feixe de luz atravesse o anel A, se reflita nos espelhos E 1, E e E 1 e atravesse o anel B, como indica o percurso na figura. Admita que os ângulos de incidência e de reflexão do feixe de luz sobre um espelho sejam iguais. 0. (Fgv 01) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 5 15 ; ; Página 6 de 6

7 b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm, e 16 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 1. (Unicamp 01) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito. Visada Ângulo ^ A CB 6 ^ BCD ^ ABC 6 a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D.. (Fuvest 01) No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α. Sabe-se, também, que cos( α) cosα 1 0 Nessas condições, calcule a) o valor de sen α ; b) o comprimento do lado AC.. (Unifesp 01) A função Página 7 de 6

8 D(t) 1 (1,6) cos (t 10) 180 fornece uma aproximação da duração do dia (diferença em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 010. A variável inteira t, que representa o dia, varia de 1 a 65, sendo t 1 correspondente ao dia 1.º de janeiro e t 65 correspondente ao dia 1 de dezembro. O argumento da função cosseno é medido em radianos. Com base nessa função, determine a) a duração do dia , expressando o resultado em horas e minutos. b) em quantos dias no ano de 010 a duração do dia naquela cidade foi menor ou igual a doze horas. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Notações : Conjunto dos números naturais; : Conjunto dos números reais; : Conjunto dos números reais não negativos; i: unidade imaginária; i 1; P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A; n(a) : número de elementos do conjunto finito A; AB : segmento de reta unindo os pontos A e B; arg z : argumento do número complexo z; a,b x : a x b A \ B x : x A e x B c A : complementar do conjunto A; n k n akx a0 a1x a x... anx,n. k0 Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. 4. (Ita 01) Determine os valores reais de x de modo que sen(x) cos(x) seja máximo. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos seus três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(0,0), B(6,0) e C(,4). Todas as unidades são dadas em quilômetros. O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no ponto P(x,y), de modo que as distâncias entre o depósito e as três lojas sejam iguais: PA PB PC. Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade de certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, de acordo com o preço de cada uma. O mesmo ocorre com o preço unitário de determinado tipo de agenda escolar e a quantidade vendida. Página 8 de 6

9 Preço de uma lapiseira Quantidade Preço de uma agenda Quantidade R$ 10, R$ 4,00 00 R$ 15,00 80 R$ 1,50 70 R$ 0,00 60 R$ 0, A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados. Um tipo, com 4 lápis de cor em cada estojo, é uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada, de 16 cm de lado e volume igual a 576 cm. O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem a forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é 4 do custo de fabricação do primeiro estojo. Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo, independente de sua forma, é R$0,10 o centímetro quadrado. A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três funcionários: Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos salários mensais dos três, em dezembro de 011, era de R$5.000, (Fgv 01) Sejam a, b e c as medidas dos ângulos internos de vértices A, B e C, respectivamente, do triângulo ABC. a) Calcule o valor de tg(a). b) Qual é o valor da soma cos(a b) cosc? Gabarito: Resposta da questão 1: Considere o tetraedro regular VMNP da figura. Sabemos que CV CM R, com R sendo o raio da esfera circunscrita ao tetraedro. Além disso, se O é o centro da base MNP e 4 VO R, então R CO. Desde que MCV α, do triângulo MOC, vem Página 9 de 6

10 R CO cosmco cos(180 α) CM R cos(180 α) 0, 180 α 70,5 α 109,5. Resposta da questão : Se ABCD e A'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo comprimento, então FB B'C A 'D (40 0) 5 1 m. Resposta da questão : a) Considere a figura. Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC R, OB OC r e BAO 0. Logo, segue que AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO, vem OB r senbao sen0 AO R r r 1 R Em consequência, a razão pedida é igual a r r R R 60 b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos θ r θ 1 sen sen. R r Por conseguinte, vem Página 10 de 6

11 θ cosθ 1sen Resposta da questão 4: a) Como o sistema é homogêneo, basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo para que o sistema seja possível e indeterminado. Logo, vem sen 4 0 cos sen 0. 1cos 16 Daí, lembrando que cos 1 sen, obtemos sen sen 0 (sen )(sen 1) 0. Assim, convém apenas sen 1. Sendo [0, ], concluímos que rad. b) Para rad temos ' 1 L 1 L L ' 1 L ( ) L L O sistema equivalente é x y z 0. 6z 0 '' ' ' L ( ) L L. Portanto, temos z 0, x y e o conjunto solução do sistema é S {(,, 0); }. Resposta da questão 5: a) Considere a figura. Página 11 de 6

12 Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem AC AB BC 1 1, AD AC CD 1, AE AD DE 1 4 e AF AE EF x 4 1 x 5 cm. b) É imediato que BAC 45. Do triângulo ACD, temos CD 1 tgcad CAD arctg 45. AC Do triângulo ADE, vem DE 1 tgd AE D AE arctg 0. AD Do triângulo AEF, segue EF 1 tge AF E AF arctg 0. AE 4 Portanto, tem-se α BAC CAD DAE EAF Resposta da questão 6: Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T pertencente a L. Página 1 de 6

13 Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, RS ST e, portanto, RT ST. Do triângulo PRT, vem PT tg60 PT ST RT e PT ST sen60 PR PR PR 6 ST. Do triângulo PST, obtemos PT ST tgα tgα ST ST tgα. Sabendo que cossec α 1 cotg α e que α é agudo, encontramos 1 7 cossec α 1 senα 8 1 sen α. 14 Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem Página 1 de 6

14 PR QR RS ST senα senθ 1 senθ 14 1 sen θ. 7 Resposta da questão 7: P m Resposta da questão 8: Parte 1: sen x sen x 1 sen x senx x cos x 1 cos x Observação: (cos x 1) não poderá ser maior ou igual a zero, pois anularia o denominador e não existe cosseno maior que 1. Parte : tg x (1 cot g x)cot g x 1 tgx 1 tgx tgx tgx tgx tg x tg x (tgx ) tgx tg x 1 tgx 0 Quadro de sinais. Assim: x ou x ou x ou x ou x ou x Fazendo, agora, a intersecção das soluções, temos: Página 14 de 6

15 Resposta: 5 x R / x ou x ou x Resposta da questão 9: a) Como (1, a,b) é uma progressão aritmética, segue que b 1 a b a 1. Além disso, sabendo que (1, a 1, b 5) é uma progressão geométrica crescente, vem (a 1) 1 (b 5) a a 1 1 (a 7) a a 85 0 a 17. Portanto, a razão pedida é dada por a b) Como (c, d, e) é uma progressão aritmética, segue que e d c e r d c. Daí, sabendo que senc send sene 0 e send 0, vem sen(d c) senc send 0 d c c d c c sen cos send 0 sendcos(d c) send 0 send ( cosr 1) 0 pois r. 1 cosr r, Resposta da questão 10: Pelas condições de existência dos logaritmos, vem Página 15 de 6

16 1 senx 4sen xcos x 1 0 xx 0 1 x x x x 1 0 ( 0) 4 Portanto, D, k x k x 4 x. 1 4 Resposta da questão 11: a) Como PQRE é tetraedro regular, segue que EQR é um triângulo equilátero. Logo, QER rad e, portanto, REF rad, pois EFGH é retângulo. 6 Por conseguinte, dado que ER 6cm, segue que o comprimento do arco RF é 6 cm. 6 b) Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta é dada por igual à altura do paralelepípedo ABCDEFGH, obtemos 6, e que a altura do tetraedro PQRE é 6 6 AE 6 cm. Se RF é um arco de circunferência de centro E, então EF ER 6cm. Além disso, do triângulo retângulo EFG, vem FG FG tgfeg tg60 EF 6 FG 6 cm. Portanto, o volume do paralelepípedo é dado por EF FG AE cm. Resposta da questão 1: a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. R 1 cosα α 60 R R Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por: R km. Página 16 de 6

17 b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d R (R).R.R.cos θ d 5R 4.R.(/4) d.r d R d km Resposta da questão 1: 1 f x cos x cosx 1 f(x) cos x cos x sen x 1 f(x) cos x (cos x 1 cos x) 1 f(x) cos x cos x Temos uma função do segundo grau na variável cosx. O valor do cosx para que f(x) seja mínimo será dado por: Página 17 de 6

18 1 1 cosx cosx 1 Portanto, para 4 0 x,a função f(x) assume valor mínimo para x ou x =. Resposta da questão 14: a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado: a a tgθ a b) Se tan( θ) 1/4, com 0 θ /, temos: 1 4 sen θ e cosθ Logo, cos θ senθ cos θ sen θ.sen θ.cosθ Resposta da questão 15: Página 18 de 6

19 1 10 sen P ÔQ a) cos PÔQ b) OPP ˆ 90, pois OP PP OP ΔOPP ΔOP Q, logo P OP ˆ P OQ ˆ α c) 1 1 ˆ Então, sen P OQ sen α senα cosα Resposta da questão 16: Temos α β e 0 α β. Logo, cos( αβ) 0 e, portanto, (tgα cotg β)cosα senβ cos ( α β) 1 senα cosβ cosα senβ cos ( α β) 1 cosα senβ cos ( α β) (senα senβ cosα cos β) 1 0 e cos ( α β) cos( α β) 1 0 cos( α β) 1 cos( α β) cos0 sen( α β) cos( α β) 1 sen( α β) cos( α β) sen sen( α β) cos cos( α β) cosα β cos 6 α β ou α β. 6 α β Daí, tem-se α β e αβ implicando em ( αβ, ), ; α β e αβ implicando em ( αβ, ), Esses são os únicos pares que satisfazem simultaneamente as duas equações. Resposta da questão 17: a) Sabendo que ABC BAC ACB, vem ABC BAC ACB ABC 180 ABC 6. Página 19 de 6

20 Logo, BAC ACB 7. b) Considere a figura, em que O é o centro do círculo. Como DOB é ângulo central, temos que DOB DAB rad 180 rad. 5 Portanto, a medida do arco BD é dada por 4 km. 5 5 c) É fácil ver que o pentágono AEBDC é regular. Assim, considere a figura, em que M é o ponto médio de AC. Sabendo que OC km, vem Página 0 de 6

21 AC sen6 AC 0,59,6km. OC Por conseguinte, o perímetro do pentágono é, aproximadamente, igual a 5,6 11,8km. Resposta da questão 18: Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m. Resposta da questão 19: x a.tgα x k y tgα k d.tgα a d b y b.tgα h x k y h a.tgα.d.tgα b.tgα h tg α.(a d b) h tgα a.d b h α arctg a.d b Página 1 de 6

22 Resposta da questão 0: a) Calculando a medida x do lado que falta temos: x = cos60 x = 5 x = 1 x,6 (de acordo com as aproximações dadas) x 7, Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = , = 1,. b) Não, pois 16 > (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos outros dois). Resposta da questão 1: a) No triângulo ABC assinalado, temos: Página de 6

23 15 x x x x cos x x 5 x x 75 x 5 m b) No triângulo BDC, temos: y cos60 y y 175 y 5 7m Resposta da questão : a) Observe o cálculo a seguir:.cos( α).cosα1 0.(cos α sen α).cosα 1 0.(.cos α1).cosα 1 0 4cos α.cosα1 0 Δ cosα cosα 4 8 cosα 1(não coném) 1 15 logo, sen α= b) traçando uma reta r representada na figura, temos: Página de 6

24 cosα 15 5x 10 x 15 5x x 10x x 0x x 15 Resposta da questão : a) O dia corresponde a t 50. Logo, o resultado pedido é dado por D(50) 1 1,6 cos (50 10) ,6 cos (1 0,8) h 1 h 48min. b) Queremos calcular os valores de t para os quais D(t) 1. Desse modo, 1 (1,6) cos (t 10) 1 cos (t 10) (t 10) t t 60. Página 4 de 6

25 Portanto, a duração do dia naquela cidade foi menor do que ou igual a doze horas em dias. Resposta da questão 4: 1 sen(x) cos(x) sen(x) cos(x).sen x Para que a expressão seja máxima deveremos ter senx máximo, logo x k. onde k 5 x = k. onde k 6 5 x k. onde k 1 Resposta da questão 5: a) tga 4 Página 5 de 6

26 4 tga 4 tga 1 tg a c cos a b cosc cos0 cos c sen c 1 sen b) c c sen cos Página 6 de 6