Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. Seno, Cosseno e Tangente

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1 Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Seno, Cosseno e Tangente 1. (Ufrn 01) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada. Sabendo que cada batente tem 0 cm de altura e 0 cm de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD ˆ mede: a) 9 b) 14 c) 9 d) (G1 - utfpr 01) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1, m do chão está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 0 é, em metros, de: 1 (Considere: sen 0, cos 0 e tg 0 ) a) 0,8. b),4. c) 1,. d) 0,6. e) 0,6. Página 1 de 1

2 . (Ufg 01) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os ângulos ABC ˆ e ACB ˆ medem 15 e 0, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 0 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio. Dado: 1,7. 4. (Unicamp 01) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15. A,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala. Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a),8 tan (15 ) km. b),8 sen (15 ) km. c),8 cos (15 ) km. d),8 sec (15 ) km. 5. (Ufsj 01) Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo de 0 com a horizontal, quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e um ângulo de 45 se for encostada ao prédio do outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do chão. Sabendo que a distância entre os prédios é igual a 5 5 metros de largura, assinale a alternativa que contém a altura da escada, em metros. a) 5 b) 5 c) 10 d) (Ufpr 01) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 0 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar? a) 75. b) 60. c) 45. d) 0. e) Página de 1

3 7. (Uepg 01) Num instante t, 1 um avião é visto por um observador situado no solo sob um ângulo de 60 e, no instante t, sob um ângulo de 0. Sabendo-se que o avião voa numa reta horizontal a uma altitude de 5 km, assinale o que for correto. 01) No instante t, 1 a distância entre o observador e o avião é 10 km. 0) No instante t, a distância entre o observador e o avião é 10 km. 04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t 1 e t é maior que 5 km. 08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t 1 e t é menor que 4 km. 8. (Udesc 01) No site (acesso em: /06/01), encontra-se o posicionamento adequado da sinalização semafórica, tanto para semáforos de coluna simples como para semáforos projetados sobre a via, conforme mostra a Figura 1. Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as luzes do semáforo, o grupo focal deve ser visto sob um ângulo de 0, conforme mostra a Figura. Considerando tg(0º) 0,6, determine os valores que faltam para completar a Tabela 1. Página de 1

4 Tipo de Semáforo D H Coluna simples?,4 Projetado sobre a via 1,1? Tabela 1 Analise as proposições em relação às informações obtidas na Tabela 1, e assinale (V) para verdadeira e (F) para falsa. ( ) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m. ( ) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 4, m. ( ) A altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente,1 m maior que a altura H do semáforo de coluna simples. Assinale a alternativa correta, de cima para baixo. a) F V V b) V F V c) F V F d) V V F e) F F V 9. (G1 - cftmg 01) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se representado pela figura abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado em A verifica que o nadador levou a corda até o ponto C. Dados: α sen α 1/ / / cos α / / 1/ tg α / 1 Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por a) 1 AC. b) 1 AC. c) AC. d) AC. Página 4 de 1

5 10. (G1 - ifsp 01) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal, AH é perpendicular a BD, AH 5 cm e θ 0. A área do retângulo ABCD, em centímetros quadrados, é a) 100. b) 105. c) 110. d) 150. e) (G1 - utfpr 01) Uma escada rolante de 6m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 0. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares. Use os valores: sen 0 0,5, cos 0 0,87 e tg 0 0,58. a),48. b) 4,4. c) 5,. d) 5. e). 1. (Ufsj 01) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 0 com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60 com a horizontal. Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros: a) 80 1,5 b) 80 1,5 c) 160 1,5 d) 160 1,5 Página 5 de 1

6 1. (Unesp 01) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 0 e máxima de 45. Nestas condições e considerando 1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso? 14. (Ufjf 01) A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo ângulos de 60 e 0, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da margem em que se encontra o ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual é a largura do rio? a) 50 m b) 75 m c) 100 m d) 150 m e) 00 m 15. (Uepb 01) Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento cm e os ângulos congruentes medem 0. O perímetro deste triângulo em cm é a) b) c) 8 d) e) Página 6 de 1

7 16. (G1 - ifpe 01) Um estudante do Curso de Edificações do IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, determinando o ângulo CBˆA que mede 7º. Com isso ele determinou a largura do rio e achou, em metros: Dados: sen (7º) = 0,60, cos (7º) = 0,80 e tg (7º) = 0,75 a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) (G1 - ifal 01) Considere um triângulo retângulo, cujas medidas dos catetos são 10 cm e 10 cm. Assinale a alternativa errada. Dados: sen 0 = 0,5, cos 45 = 0,707 e sen 60 = 0,866. a) O seno do menor ângulo agudo é 0,707. b) O cosseno do menor ângulo agudo é 0,866. c) O seno do menor ângulo agudo é 0,5. d) O maior ângulo agudo desse triângulo mede 60. e) O menor ângulo agudo desse triângulo mede (G1 - epcar (Cpcar) 01) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 0, conforme mostra figura abaixo. O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45 com o chão e a uma distância BR de medida 6 metros. Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre a) e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7 Página 7 de 1

8 19. (Pucsp 01) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 0 e 45, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo. Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 40 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia? a) 60 ( + 1) b) 10 ( 1) c) 10 ( + 1) d) 180 ( 1) e) 180 ( + 1) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 0. (Pucrs 01) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60, conforme a figura abaixo. Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é a) 100 b) 100 c) 100 d) 50 e) 00 Página 8 de 1

9 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria. Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa. Considere que a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube; o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo; o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati; o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari; o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari; a medida do segmento AC é 0 m; a medida do segmento BC é 400 m e o triângulo ABC é retângulo em C. 1. (G1 - cps 01) Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo sen 0,44 0,48 0,66 0,74 0,88 cos 0,90 0,87 0,75 0,67 0,47 tg 0,49 0,55 0,87 1,11 1,88 No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo a) 0,44. b) 0,48. c) 0,66. d) 0,74. e) 0,88. ˆ ABC é, aproximadamente, Página 9 de 1

10 . (Uel 011) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P 1, um barco ancorado no horizonte norte na posição B. Nesta posição P 1, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 90, como mostrado na figura a seguir. Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a partir da posição P. Neste novo ponto de observação P, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 45. Qual a distância PB aproximadamente? a) 1000 metros b) 1014 metros c) 1414 metros d) 1714 metros e) 414 metros. (G1 - cftmg 011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º, conforme a figura. Dados: sen 60º ; 1 cos 60º ; tg 60º. A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 1km, é a) 600 dam b) m c) dm d) cm Página 10 de 1

11 4. (G1 - ifsc 011) Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta etapa imediatamente anterior à situação de emergência em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade. Texto adaptado de: Acesso em: 10 nov Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um ângulo de 10º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros percorrida pela embarcação foi de... Dados: Seno Cosseno Tangente 1 0º 45º 60º 1 1 a) 60 metros. b) 40 metros. c) 10 metros. d) 0 metros. e) 40 metros. 5. (Ufjf 011) Considere um triângulo ABC retângulo em C e o ângulo BAC. ˆ Sendo 1 AC 1 e sen( ), quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo? a) b) c) 10 d) 4 e) Página 11 de 1

12 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos AB 80 40cm, BC cm e CD (8 6) 0 80cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos AC AB BC AC AC 00cm. Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem CD tgcad. AC Resposta da questão : [B] No triângulo assinalado, temos: 1, 1 1, sen0 x, 4 x x Resposta da questão : Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC. Como ABC 15, segue que ABH 180 ABC 45 e, portanto, o triângulo ABH é retângulo isósceles. Logo, AH HB. Do triângulo AHC, obtemos Página 1 de 1

13 AH AH tg ACB tg0 HB BC AH 0 Resposta da questão 4: [A] AH AH 0 0 AH AH 10( 1) AH 7 m. h = altura do avião ao ultrapassar o morro. h tan 15 h,8 tg 15,8 Resposta da questão 5: [D] Considerando x a altura da escada, temos: x cos0 x cos x 5( ) x 10m Página 1 de 1

14 Resposta da questão 6: [D] 5 senα α 0 10 Resposta da questão 7: = [01] Falsa, pois sen60 y km. y y [0] Verdadeira, pois sen0 x 10 km. x x [04] Verdadeira, pois o triângulo At 1 t é isósceles, logo z = y > 5. [08] Falsa, pois z = y > 5. Resposta da questão 8: [B] Para o semáforo de coluna simples, temos H 1 1,5, 4 0,5 tg0 D 1,5 D 1,5 0,6 D 5,97 1,5 D 4,5 m. Por outro lado, considerando o semáforo projetado sobre a via, vem Página 14 de 1

15 H 1 1,5 H 0,5 tg0 0,6 D 1,5 1,1 1,5 H 0,5 5,6 H 5,5 m. Por conseguinte, como 5,5,4,1m, segue-se que a altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente,1m maior do que a altura H do semáforo de coluna simples. Resposta da questão 9: [C] No triângulo ABC, assinalado na figura, temos: AB AC sen60 AB AC sen60 AB AC Resposta da questão 10: [A] 5. no ΔAHD sen0 AD 10. AD 5. no ΔAHB cos0 AB 10 AB Portanto a área do retângulo ABCD será dada por: A Página 15 de 1

16 Resposta da questão 11: [E] h = altura entre os dois andares. h sen0 6 h 0,5 6 h m Resposta da questão 1: [A] H é a altura do morro em metros. O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m. No triângulo assinalado, temos: H 1,5 H 1,5 sen60 H 80 1,5 m Página 16 de 1

17 Resposta da questão 1: Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m. Resposta da questão 14: [A] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC. Queremos calcular AH. Temos que CAB BAH 0. Logo, do triângulo AHB, vem HB tgbah HB AH. AH Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos HB BC tgcah AH AH 100 AH AH AH 50 m. Página 17 de 1

18 Resposta da questão 15: [A] Considere o triângulo isósceles ABC de base BC. Assim, AB AC cm e ABC ACB 0. Sendo M o ponto médio de BC, do triângulo AMC, vem BC MC cos ACB cos0 AC BC cm. Portanto, o resultado é AB AC BC ( )cm. Resposta da questão 16: [D] tg (7 ) = 0,75 AC 0, AC 75m Resposta da questão 17: [A] a a senα α senβ β 60 0 Logo, a alternativa errada é a [A], O seno do menor ângulo agudo é 0, Página 18 de 1

19 Resposta da questão 18: [B] O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que h h (6 ), logo h = 6. No triângulo APR, podemos escrever: h tg0 h AB 6 AB AB AB AB 4, e 4 < 4, < 5. Resposta da questão 19: [B] Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG. Queremos calcular PQ. Como PGQ 45, segue que PQ QG. Desse modo, AQ 40 QG 40 PQ. Portanto, do triângulo APQ, vem PQ PQ tgqap AQ 40 PQ ( )PQ PQ 40 PQ 10( 1) m. Página 19 de 1

20 Resposta da questão 0: [C] O resultado pedido é dado por y tg60 y 100 m. 100 Resposta da questão 1: [B] Pelo Teorema de Pitágoras, segue que AB AC BC AB AB AB AB 456,5 m. Portanto, AC 0 sen ABC sen ABC AB 456,5 sen ABC 0,48. Resposta da questão : [C] 1000 cos 45º x 1000 x x x x 1,414 m Página 0 de 1

21 Resposta da questão : [D] h = altura. o h sen60 1 h 1 h 6. km = cm Resposta da questão 4: [B] o 60 sen60 AB 60 AB 10 AB AB 40 m Resposta da questão 5: [D] Sabendo que AC 1 e sen 1, vem BC 1 BC AB sen BC. AB AB Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos: AB AB AC BC AB 1 8 AB 9 1 AB. 4 Página 1 de 1