Exercícios Trigonometria

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1 Exercícios Trigonometria Temas Abordados: Funções Trigonométricas e Equações; Arcos na Circunferência; Redução ao Primeiro Quadrante; Razões Trigonométricas.. (Upe 0) Um relógio quebrou e está marcando a hora representada a seguir: Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 0 cm, a altura do monumento, em metros, é aproximadamente a) 6,86. b) 6,0. c) 5,. d),.. (Uel 0) Analise a figura a seguir. Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma direção, mas a velocidade do ponteiro menor equivale a 8 da velocidade do ponteiro maior. Depois de quantas voltas, o ponteiro pequeno vai encontrar o ponteiro grande? a),0 b),0 c),5 d) 6,5 e),5. (Unicamp 0) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de cm e um lado com comprimento de xcm. a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 50.. (Uemg 0) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante,0 m da obra e obteve um ângulo de 60, conforme mostra a figura: A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade arquitetônica e urbanística. Entre elas estão as de construção de rampas de acesso, cuja inclinação com o plano horizontal deve variar de 5% a 8,%. Uma inclinação de 5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas não respeitam essas normas, gerando percursos longos em inclinações exageradas. Conforme a figura, observou-se uma rampa de acesso, com altura de metro e comprimento da rampa igual a metros. Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em metros. a) 5 b) 0 c) + 0 d) 0 e), (Insper 0) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamente, com 0 < α < β <. Página

2 medidas, em graus, são números inteiros pertencentes ao intervalo [, 6]. P = cos cos cos... cos68 cos6 Sabendo que cosα = 0,8, pode-se concluir que o valor de cosβ é a) 0, 8. b) 0, 8. c) 0, 6. d) 0, 6. e) 0,. 6. (Unesp 0) A figura mostra um relógio de parede, com 0 cm de diâmetro externo, marcando hora e 5 minutos. Nessas condições, é correto afirmar que a) < P <. b) < P < 0. c) P = 0. d) 0 < P <. e) P. < <. (Uece 0) Usando a expressão clássica do n desenvolvimento da potência (a + b), onde a e b são números reais e n é um número natural, pode-se resolver facilmente a equação sen x sen x + 6sen x senx + = 0. Então, para os valores de x encontrados, teremos que cosx é igual a a). b). c). d) 0. Usando a aproximação =, a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente a). b). c). d). e) (Uece 0) Se p e q são duas soluções da equação sen x sen x + = 0 tais que senp senq, então o valor da expressão a) 0. b) 0,5. c) 0,50. d). sen p cos q é igual a. (Ufrn 0) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada. 7. (Uece 0) Se f :R R é a função definida por senx f(x) = +, então o produto do maior valor pelo menor valor que f assume é igual a a),5. b),0. c),5. d) (Insper 0) Considere o produto abaixo, cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas Página

3 b) 0 6 c) 6 d) 8 e) 5. (Ufg 0) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os ângulos ABC ˆ e ACB ˆ medem 5 e 0, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 0 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio. Dado:,7. Sabendo que cada batente tem 0 cm de altura e 0 cm de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD ˆ mede: a) 0 b) 5 c) 0 d). (Fgv 0) Um triângulo isósceles tem os lados congruentes com medida igual a 5. Seja α medida do ângulo da base, para a qual a área do referido triângulo é máxima. Podemos afirmar que a) 0 α < 0 b) 0 α < 0 c) 0 α < 0 d) 0 α < 50 e) 50 α < 60. (Mackenzie 0) 5. (G - ifsp 0) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal, AH é perpendicular a BD, AH = 5 cm e θ = 0. A área do retângulo ABCD, em centímetros quadrados, é a) 00. b) 05. c) 0. d) 50. e) (G - epcar (Cpcar) 0) NASCIDOS PARA VOAR: 60 ANOS DE FUMAÇA JÁ Fonte: Jornal EPCARIANO Ano, no 0 p. Em maio de 0, o esquadrão EDA (Esquadrilha da Fumaça) comemorou 60 anos de apresentações. Para homenagear esse esquadrão foi realizado na EPCAR um concurso em que os alunos teriam que criar um desenho. Uma das regras desse concurso foi: elaborar um desenho usando conhecimentos de matemática. O aluno vencedor apresentou o desenho em circunferências conforme esquema abaixo. Se na figura, AD = e CF = 6, então a medida de AB é a) Página

4 Com base nas informações do desenho, julgue verdadeira ou falsa cada afirmativa. 0. A menor soma das medidas dos comprimentos dos arcos PS, GH, FK, e LM é igual a 6. c) D = 670 d) D = e) D = 670. (G - cftmg 0) Se o relógio da figura marca 8 h e 5 min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é 0. A razão entre PS e ST, nessa ordem, é. 08. PS e GH são congruentes. 6. AQ = EJ.. ST =. A soma das alternativas verdadeiras é igual a a) 0 b) c) 6 d) 7. (Ufg 0) As cidades de Goiânia e Curitiba têm, aproximadamente, a mesma longitude. Goiânia fica a uma latitude de 6 0', enquanto a latitude de Curitiba é de 5 5'. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente esférica, com a linha do equador medindo, aproximadamente, 0000 km, a distância entre as duas cidades, em quilômetros, ao longo de um meridiano, a) é menor que 700. b) fica entre 700 e 800. c) fica entre 800 e 00. d) fica entre 00 e 000. e) é maior que (Uel 0) Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel. Em um dado instante, o GPS do veículo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 0 Sul e longitude 8 0 Oeste. O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio médio da Terra, que é de 670 km, e as coordenadas geográficas de Belém, que são latitude 0 Sul e longitude 8 0 Oeste. A partir desses dados, supondo que a superfície da Terra é esférica, o motorista calcula a distância D, do veículo a Belém, sobre o meridiano 8 0 Oeste. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da distância D, em km. a) D = 670 b) D = ( 670) 8 a) 0. b) 0. c) 0 0. d) (Uern 0) A razão entre o maior e o menor número inteiro que pertencem ao conjunto imagem da função trigonométrica y = + cos x é a). b). c). d).. (Ufpr 0) O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura. Página

5 Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela expressão: t h( t) = sen +. 0,05 a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge. b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando durante um minuto?. (Ufsm 0) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha que a função c) d) e) 5. (Pucrs 0) A figura a seguir representa um esboço do x gráfico de uma função y = A + Bsen, que é muito útil quando se estudam fenômenos periódicos, como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o produto das constantes A e B é ( ) N x 80 5cos ( x ) = 6 represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde, com x = correspondendo ao mês de janeiro, x =, ao mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a a) 6. b) 70. c) 77. d) 77. e) 6.. (Uem 0) Com relação aos conceitos e às propriedades de funções e equações trigonométricas, assinale o que for correto. 0) A equação tg(x)=sen(x) não tem soluções. 0) Se f é definida por f ( x) = sen( x) cos( x ), então a equação f(x)=0 tem como conjunto solução x x = k, k. 0) A função f(x)=cos(x) é crescente no intervalo 0,. 08) O gráfico da função f, definida por ( ) ( ) f x = sen x sen( x) cos( x ), coincide com o gráfico da função g, definida por g(x)=sen (x). 6) Para qualquer a, existe x, tal que tg(x)>a. a) 6 b) 0 c) d) 8 e) (Ufpe 0) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por f ( x) = a sen( ω x + b ), com a, ω e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao 5 intervalo fechado,. 6 6 A função f tem período e seu conjunto imagem é o intervalo fechado 5,5. [ ]. (Uepb 0) Sendo f(x) = cos x + cos x, 7 valor de f é: a) b) o Determine as constantes a e ω e o menor valor positivo de b. Indique a + ω + b. Página 5

6 7. (G - cftmg 0) O conjunto formado pelas raízes da x x função f(x) = cos cos que estão contidas no intervalo [ 0, ] é a),. b),. c),. d),,. 8. (Upe 0) Na figura a seguir, estão representados o ciclo trigonométrico e um triângulo isósceles OAB. Qual das expressões abaixo corresponde à área do triângulo OAB em função do ângulo α? a) tg α sen α b) tgα cosα c) sen α cosα d) tgα sen α e) tg α cos α. (G - cftmg 0) A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o ângulo α mede 5 radianos. 6 a) 6. b). c) d).. 0. (Insper 0) O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras científicas no modo radianos e calculassem o valor de sen. Tomando um valor aproximado, Artur digitou em sua calculadora o número,6 e, em seguida, calculou o seu seno, encontrando o valor A. Já Bia calculou o seno de,5, obtendo o valor B. Considerando que vale aproximadamente,5708, assinale a alternativa que traz a correta ordenação dos valores A, B e sen. a) sen < A < B. b) A < sen < B. c) A < B < sen. d) B < sen < A. e) B < A < sen. Solução Trigonometria Resposta da questão : Seja ω a velocidade do ponteiro maior. A posição do ponteiro menor após t minutos é dada por α = ω t, enquanto que a posição do ponteiro maior é 8 igual a β = + ωt. Logo, para que o ponteiro menor encontre o ponteiro maior, deve-se ter α = β ω t = + ω t 8 ωt = 8. Portanto, o resultado pedido é 8. = A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é Resposta da questão : Página 6

7 a) Considere a figura. Admitindo que,0m seja a distância do teodolito ao eixo vertical do monumento, temos: Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem AC = AB + BC = + =, AD = AC + CD = + =, AE = AD + DE = + = e Sendo x a altura do monumento, temos: x,0 = tg60,0 x,0 =,0 Logo, x é aproximadamente,0+,0, ou seja, x =,m. Resposta da questão : AF = AE + EF x = + x = 5cm. b) É imediato que BAC = 5. Do triângulo ACD, temos CD tgcad = CAD = arctg < 5. AC Do triângulo ADE, vem DE tgd AE = D AE = arctg = 0. AD Do triângulo AEF, segue EF tge AF = E AF = arctg < 0. AE Portanto, tem-se α = BAC + CAD + DAE + EAF < = 50. Resposta da questão : Rampa com inclinação de 5% : 5 = x = 0m. x 00 Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: d 0 d 0 m = + = Logo, a diferença pedida é de ( 0 )m. Resposta da questão 5: [C] Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Como POQ = β α = 0, segue-se que β = α + 0. Além disso, sabendo que cos( α + 0 ) = sen α, sen α + cos α = e cosα = 0,8, com 0 < α < β < 80, temos cosβ = cos( α + 0 ) = senα = 0,6. Página 7

8 Resposta da questão 6: cos cos cos K cos68 cos6 =, α com α ]0,[, o que implica em < P < 0. Cada minuto do relógio corresponde a 6 o, portanto, α = = 66. Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 0, temos: 60min 0 5min β Logo, β = 7, portanto o arco pedido mede =. Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de, temos: 0 = cm (considerando, = ) 60 Resposta da questão 7: [A] Se sen x =, então f(x) = + = (maior valor). Se sen x =, então = + = (menor valor). f(x) Logo, o produto pedido será = =,5. Resposta da questão 8: Dentre os fatores de P, temos cos0 = cos 0 = e cos80 =. Além disso, cada um dos (6 + ) = 76 fatores restantes é um número real pertencente ao intervalo ], 0[. Portanto, como o produto de um número par de fatores negativos é um número positivo, segue-se que Resposta da questão : sen x sen x + 6sen x senx + = 0 (senx ) = 0 senx = 0 senx = Utilizando a relação Fundamental, temos: sen x + cos x = + cos x = cos x = 0 Portanto, cosx = 0. Resposta da questão 0: sen x sen x + = 0 Δ = ( ) Δ = ( ) ± senx = senx = senx = / sen p cos q = sen p ( sen q) = sen p + sen q = + (/ ) = / = 0,5. Resposta da questão : Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos AB = 8 0 = 0cm, BC = 6 0 = 80cm e CD = (8 + 6) 0 = 80cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos AC = AB + BC AC = AC = 00 cm. Página 8

9 Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem CD 80 tgcad = = =. AC 00 5 Resposta da questão : Como cada ângulo da base mede α, segue que o ângulo do vértice é igual a (80 α). Portanto, a área do triângulo pode ser obtida por meio da expressão AH AH tg ACB = tg0 = HB + BC AH + 0 Resposta da questão 5: [A] AH = AH AH = AH = 0( + ) AH 7 m. 5 5 sen(80 α) = sen α. Sabendo que a função senα atinge seu valor máximo para α = 0, ou seja, α = 5. Logo, 0 α < 50. Resposta da questão : [C] Considerando que o quadrilátero ABCF é um trapézio isósceles, temos: No triângulo ACD: tg60 = CD 6 e EF 6. CD = CD = = Logo, AB = DE = = 6. Resposta da questão : Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular suur baixada de A sobre a reta BC. o 5. no ΔAHD sen0 = AD = 0. AD o 5. no ΔAHB cos0 = AB = 0 AB Portanto a área do retângulo ABCD será dada por: A = 0..0 = 00 Resposta da questão 6: Como ABC $ = 5, segue que ABH $ = 80 ABC $ = 5 e, portanto, o triângulo ABH é retângulo isósceles. Logo, AH = HB. Do triângulo AHC, obtemos 0) Falsa = 0) Verdadeira. No triângulo PTS, temos: sen60 = ST ST PS PS = = =. PS PS ST ST 08) Verdadeira. Os triângulos EGH e APS são congruentes pelo caso L.A.L.; portanto, as cordas PS e GH são congruentes. 6) Falsa. No triângulo ANQ, temos AQ tg0 = AQ = AN AQ = EJ. AN Página

10 ) Verdadeira. No triângulo PTS, temos: PS =,5 e sen60 ST ST = = ST =. PS,5 Somando as afirmações corretas, temos: =. Supondo que a função esteja definida de em, segue-se que a sua imagem é Im = [ + ( ), + ] = [ 6, ]. Resposta da questão 7: Portanto, o resultado é igual a =. 6 Resposta da questão : a) A altura máxima ocorre quando o valor do seno é t máximo, ou seja, sen =. 0,05 h máxima = 5 cm b) Determinando o período P da função, temos: α = 5 5' 6 0' = 8 5' = 8, km 8,75 x Resolvendo a proporção, temos: x = 7,km. Resposta da questão 8: [A] O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é 0' 0' = 0 rad 80 = rad. Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6.70km, vem D = 670km. Resposta da questão : [C] O deslocamento do ponteiro das horas, em 5 minutos, é igual a 5 = 0'. Logo, como o ângulo entre as posições 5 e 8 mede 0 = 0, segue que x = 0 + 0' = 0 0'. Resposta da questão 0: P = = 0,05s. 0,05 ciclo se realiza em 0,05; em 60s teremos 60/0,05 = 00 ciclos completos Resposta da questão : Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos, concluímos que: f() + f() + f(5) + f(7) = 80 5 cos0 + cos + cos + cos = 70. Resposta da questão : = 6. [0] Incorreto. x = 0 é solução. [0] Correto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o domínio, o contradomínio e a lei de associação, iremos supor que o domínio de f seja o conjunto dos números reais. Logo, sen(x) cos(x) = 0 sen(x) = 0 sen(x) = sen0 x = k x = + k x = k,k. Página 0

11 Portanto, o conjunto solução da equação f(x) = 0 é x x = k,k. [0] Incorreto. Temos 0 < e f(0) = > = f. [08] Correto. De acordo com o comentário do item (0), iremos supor que o domínio e o contradomínio de f e g sejam iguais. Desse modo, temos f(x) = sen(x) sen(x)cos(x) = sen(x) sen(x)cos(x)cosx = sen(x) sen(x)cos (x) = sen(x) sen(x)( sen (x)) = sen (x) = g(x). Por conseguinte, como os valores de f e g são iguais para todo x pertencente ao domínio de ambas, segue-se que f e g são iguais e, portanto, seus gráficos coincidem. [6] Correto. Sabendo que a função f :D, com k D = x x,k, definida por f(x) = tgx, é uma função ilimitada superiormente, segue-se que para todo a existe um real x, tal que tg(x) > a. Resposta da questão : [C] Sabendo que cos( x) = cos x, temos 7 7 f sen cos = + = sen + cos = sen =. Resposta da questão 5: [A] Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são fornecidos o domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que o domínio seja o conjunto dos números reais, e que o contradomínio seja o intervalo [,5]. Desse modo, como a imagem da função seno é o intervalo [,], deve-se ter A + B[,] = [,5] [A B,A + B] = [,5]. Os únicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade são A = e B =. Por conseguinte, A B = = 6. Resposta da questão 6: Sabendo que o período fundamental da função seno é, e que o período de f é, temos = ω =. ω Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [,], e a imagem de f é o intervalo [ 5,5], temos [ 5,5] = a [,] a = 5 (supondo senb > 0). Finalmente, como f = 0, 6 temos: 0 = 5 sen + b sen + b = sen0, 6 donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é b =. Portanto, b a + ω = + + = Resposta da questão 7: x x x x cos cos 0 cos 0 ou cos = = x x cos 0 k,k x k,k = = + = + para k = 0, temos x = para k =, temos x = (maior que ) x x cos = 0 = + k,k x = + k,k para k = 0, temos x = para k =, temos x = 5 para k =, temos x = (maior que ) Página

12 Logo, o conjunto solução da equação será Resposta da questão 8: [C],,. sen,5 < sen,6 <. Logo, B < A < sen. base altura senα cosα Atriângulo = Atriângulo = Atriângulo = senα cosα. Resposta da questão : AB = 5 cos = 6 AC = 5 sen = 6 Portanto: AB = =. AC Resposta da questão 0: [E] De acordo com a figura a seguir, concluímos que: Circunferência trigonométrica Página