Nível B3 TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RECTÂNGULO

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1 Nível B3 TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RECTÂNGULO Razões trigonométricas A palavra trigonometria significa medir triângulos. Na figura, α e β são ângulos agudos do triângulo rectângulo. [CB] é a hipotenusa. [AB] é o cateto oposto ao ângulo α e o cateto adjacente ao ângulo β. [AC] é o cateto adjacente ao ângulo α e o cateto oposto ao ângulo β. As razões trigonométricas de um ângulo agudo são seno, co-seno e tangente e definem-se do seguinte modo: sen α = cos α = tg α = medidado cateto oposto medida da hipotenusa medidado cateto adjacente medida da hipotenusa medida do cateto oposto medida do cateto adjacente Como a medida da hipotenusa é sempre maior que as medidas dos catetos, os valores do seno e do co-seno são menores que. Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas

2 Exemplos:. Determinar as razões trigonométricas do ângulo α no triângulo da figura ao lado: Como sen α = 5 4 cos α = 5 3 tg α = Determinar cos α no triângulo. Para determinar cos α, é necessário conhecer a medida da hipotenusa do triângulo. Para isso utiliza-se o Teorema de Pitágoras. Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 2

3 24 2 Então, cos α = = Atendendo às condições da figura, determinar a altura a que voa o helicóptero. A altura a que voa o helicóptero é dada por: O helicóptero voa a 865 m de altura. Resolução de triângulos Num triângulo, consideram-se seis elementos: três ângulos e três lados. Resolver um triângulo é determinar os seus elementos, sendo dados alguns deles. Exemplos:. Resolver o triângulo. Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 3

4 2. Resolver o triângulo. sen B = 0 8 sen B = 0,8 B 53º cos C = 0 8 cos C = 0,8 B 37º AB sen 37º = AB = 0 sen 37º AB 0 0,6 AB 6 0 Fórmulas trigonométricas sen 2 α + cos 2 α = Fórmula fundamental da trigonometria. + tg 2 α = 2 cos α tg α = senα cosα Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 4

5 Exemplos:. Averiguar se existe algum ângulo agudo α tal que sen α = 0,3 e cos α = 0,7. Substituindo os valores 0,3 e 0,7 na fórmula Fundamental da Trigonometria, obtém-se: 0, ,7 2 = 0,09 + 0,49 = 0,58 = Como esta igualdade é falsa, não existe tal ângulo. 2. Determina cos α sabendo que tg α = 3 4. A fórmula que relaciona cos α com tg α é: + tg 2 α = Substituindo por tg α por 3 4, obtemos: + ( 3 4 ) 2 = 9 25 = 2 cos α cos 2 α 6 + = 9 cos 2 α (9) = 9 9 cos 2 α cos α = cos α = cos α = cos α Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 5

6 2 3. Determina sen α, sabendo que cos α =. 3 A fórmula que relaciona sen α e cos α é: sen 2 α + cos 2 α =. Substituindo o valor conhecido, obtém-se: sen 2 α = (69) sen 2 2 α + ( ) 2 = sen 2 44 α + = sen 2 44 α = sen α = - sen 2 α = sen α = 25 5 sen α = 69 3 Exercícios:. Qual é o valor de sen α no triângulo da figura? a) sen α = 2 9 c) sen α = b) sen α = 9 2 d) sen α = 5 2. Atendendo às condições da figura e considerando duas casas decimais, determina a área do [ABC]. Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 6

7 3. Observa a figura. Determina a distância entre os dois homens. 4. Atendendo às condições da figura e considerando uma casa decimal, determina a altura da árvore. 5. Qual das afirmações é verdadeira? Existe um ângulo α tal que: A) sen α = 0,2 e cos α = 0,5 B) sen α = 0,6 e cos α = 0,8 C) sen α = 2 e cos α = 2 D) tg α = 5, sen α = e cos α = 5 6. Recorrendo às formulas trigonométricas, determina cos α e tg α, sabendo que sen α = 5 3. Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 7

8 CORRECÇÃO DOS EXERCICIOS. D 2. 44, 28 cm ,62 m 4. 4,7 m 5. B 6. 4 cos α = ; tg α = Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 8

9 AVALIAÇÃO FORMATIVA. Determina as razões trigonométricas do ângulo α. RC / 3 2. Nos triângulos rectângulos, determina a medida x, utilizando valores aproximados às décimas: R 3 / 4 Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 9

10 AVALIAÇÃO FORMATIVA 3. Sabendo que cosα = 0,7, determina: a) senα b) tgα R 3 / 4 4. Sabendo que tgα = 0,6, determina: a) cosα b) senα R 3 / 4 5. O João Pedro arranjou um plano inclinado para se treinar no skate. Sabendo que a base mede 00 m e que a inclinação é de 48º, determinar o comprimento do plano inclinado. R 3 / 5 Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas 0

11 CORRECÇÃO Grupo de Formadores da Escola Profissional de Capelas