Triângulos especiais

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1 A UA UL LA Triânguos especiais Introdução Nesta aua, estudaremos o caso de dois triânguos muito especiais - o equiátero e o retânguo - seus ados, seus ânguos e suas razões trigonométricas. Antes, vamos reembrar aguns pontos importantes. A soma dos ânguos de um triânguo quaquer é sempre 180º O triânguo equiátero possui todos os ados e iguais. Por isso, cada um de seus ânguos mede 60º. O triânguo isóscees possui dois ados iguais e dois ânguos iguais.

2 Um triânguo retânguo possui um ânguo reto e dois ânguos agudos e compementares. Os ados de um triânguo retânguo chamam-se catetos e. Os catetos são sempre perpendicuares e formam um ânguo reto. A U L A Na aua anterior, nós estudamos as razões trigonométricas dos triânguos retânguos, que são: sen a = catetooposto cos a = catetoadjacente tg a = catetooposto catetoadjacente Nesta aua, esses conceitos serão apicados em casos especiais de triânguos que aparecem com freqüência em nosso dia-a-dia. A diagona do quadrado Uma figura geométrica muito simpes e bastante utiizada é o quadrado. Traçando um segmento de reta unindo dois vértices não-consecutivos do quadrado - uma diagona - dividimos o quadrado em dois triânguos retânguos isóscees. Nossa aua Em quaquer um desses triânguos, dois ados são iguais aos ados do quadrado, a é igua à diagona do quadrado, e os dois ânguos agudos são iguais a 45º. Sabendo que os dois catetos medem podemos cacuar o comprimento d da usando o Teorema de Pitágoras: d = + d = d = Þ d =

3 A U L A Assim, para quaquer quadrado de ado, cacuamos facimente o comprimento da diagona mutipicando por. EXEMPLO 1 Num quadrado de 4 cm de ado qua a medida da diagona d? Soução d = = 4 cm Este raciocínio pode ser apicado sempre que encontrarmos um triânguo retânguo isóscees. EXEMPLO No triânguo da iustração, quanto mede a? Soução: x = 1 = Razões trigonométricas do ânguo de 45º Veremos agora como determinar, a partir do triânguo, as razões trigonométricas de um ânguo de 45º. Num triânguo retânguo, se um dos ânguos mede 45º, o outro ânguo agudo também mede 45º, pois são ânguos compementares. Podemos então concuir que temos um triânguo retânguo isóscees. Observe que para quaquer um dos ânguos de 45º que escohermos, o cateto oposto é igua ao cateto adjacente. Usando as fórmuas que revimos na introdução, vamos obter os vaores abaixo. Acompanhe:

4 sen 45º = catetooposto = cos 45º = catetoadjacente = 1 = = = 1 = A U L A tg 45º = catetooposto cateto adjaccente = = 1 Na tabea trigonométrica os vaores de sen, cos e tg de 45º são: sen 45º = 0,70711 cos 45º = 0,70711 tg 45º = 1,00000 Considerando = 1,, nas fórmuas, você confirmará estes vaores. 1 Observe que racionaizamos os denominadores das frações, ou seja, mutipicamos o denominador e o numerador da fração por e encontramos. Fazemos isso por ser muito mais simpes dividir 1, por do que dividir 1 por 1,; mas nos dois casos o resutado seria 0, A atura de um triânguo equiátero Em quaquer triânguo podemos sempre traçar três aturas. Num triânguo equiátero, já que os três ados são iguais, bem como os três ânguos (cada um mede 60º), as três aturas terão a mesma medida. No triânguo equiátero da iustração do meio, traçamos uma deas (reativa à base): O bserve que, num triânguo equiátero quaquer, a atura é também mediana (divide o ado oposto em duas partes iguais) e bissetriz (divide o ânguo do vértice em dois ânguos iguais), conforme se vê nas figuras. Observe também que a atura divide o triânguo equiátero em dois triânguos retânguos com as mesmas medidas de ânguos e ados.

5 A U L A Usando o Teorema de Pitágoras podemos cacuar a medida da atura h em função do ado : Φ h + ΗΓ Ι Κ ϑ = h = - 4 h = 4-4 = 4 h = Assim, conhecendo a medida do ado de um triânguo equiátero, você pode cacuar sua atura pea fórmua que acabamos de encontrar. No entanto você pode sempre refazer nosso raciocínio, apicando o Teorema de Pitágoras, ta como acabamos de fazer; é sempre uma ótima soução. Observação importante Se o triânguo não for equiátero, mas sim retânguo, com ânguos agudos medindo 0º e 60º, um dos catetos será sempre a metade da, e o outro é a atura de um triânguo equiátero, cujo ado será igua à (faça uma figura para verificar isso!). EXEMPLO Cacue a atura de um triânguo equiátero de ado 6 cm. Soução: h = = 6 = EXEMPLO 4 Num triânguo retânguo, um dos ânguos agudos mede 60º e a mede 10 cm. Cacue a medida do cateto adjacente ao ânguo dado. Soução: O triânguo descrito no probema pode ser representado como na figura. Peas reações que acabamos de observar, o cateto adjacente ao ânguo de 60º é igua à metade da, e a resposta será x = 5 cm.

6 Razões trigonométricas dos ânguos de 0º e 60º Podemos agora utiizar as razões trigonométricas para expressar as reações entre ânguos e ados de um triânguo retânguo com ânguos agudos de 0º e 60º. A U L A Já vimos que, num triânguo desse tipo (veja a figura), se a mede, os catetos medem e. Considerando primeiramente o ânguo de 0º, teremos: sen 0º = catetooposto = = 1 = 1 cos0º = catetoadjacente = = = tg 0º = catetooposto cateto adjacente = = 1 = 1 = Procedendo da mesma forma para o ânguo de 60º, encontramos: sen60º = catetooposto = 1 = 1 = cos60º = catetoadjacente = = 1 = 1 catetooposto tg60º = cateto adjaccente = = =

7 A U L A No exercício 5, da Aua 40, você verificou que, se dois ânguos são compementares, o seno de um é igua ao co-seno do outro. Nesta aua, confirmamos esse fato, mais uma vez, para os ânguos de 0º e 60º. sen 0º = cos 60º = 1 sen 60º = cos 0º = Usando a tabea trigonométrica, você encontra: ÂNGULO SENO CO-SENO TANGENTE 0º 0, ,8660 0, º 0,8660 0, ,705 Considerando então» 1,705, você pode confirmar os vaores. Resumindo: ÂNGULO SENO CO-SENO TANGENTE 0º 1 45º 1 60º 1 Um exempo na indústria Um boco de aço deve receber uma fenda como se vê no projeto (vista fronta). Observe que as medidas podem ser suficientes para descrever a peça, mas não são as medidas necessárias para quem fará o corte. Essa pessoa precisará mesmo é da argura do corte e sua profundidade. Só assim poderá marcar na peça os pontos de corte.

8 Primeiro, vejamos o que se pode concuir sobre a argura x do corte. O triânguo cortado é isóscees (dois ados medindo 0), contém um ânguo de 60º (fig. 1). Como os outros dois ânguos devem ser iguais (porque o triânguo é isóscees) então cada um vai medir: A U L A 180º - 60º = 60º Assim, descobrimos que, na verdade, trata-se de um triânguo equiátero, e a argura só pode ser 0: argura = 0 Agora corte esse triânguo equiátero em dois triânguos retânguos para descobrir a medida da profundidade y do corte. Você pode observar na figura acima que essa medida é igua à atura do triânguo equiátero. Como já sabemos que essa atura é, basta substituir o vaor de, que é 0, e obter: Profundidade = 0 = 17, Outro exempo prático Uma pessoa com probemas no joeho foi ao ortopedista. O médico recomendou fisioterapia diária, que consistia em sentar-se numa cadeira ata e eevar a perna até o ânguo de 60º com um peso no pé. Como a pessoa não podia ir diariamente ao fisioterapeuta decidiu fazer o exercício em casa. Sua dúvida é: como marcar a eevação de 60º? Vamos desenhar um triânguo retânguo com ânguos agudos de 0º e 60º, de modo que a do triânguos seja do tamanho da perna da pessoa. Sabemos que a atura x é a metade do comprimento da perna porque: cos60º = catetoadjacente x = perna = 1 Como cos60º = 1, temos x perna = 1. Logo, x é metade da perna. Veja como fica fáci marcar a atura que a perna deve ser eevada, basta medir a perna (abaixo do joeho), dividir por dois e marcar essa atura na parede, por exempo.

9 A U L A Uma apicação em gráficos Observe os gráficos da figura. Nesse gráfico estão representadas as três retas que iustram o desempenho de três empresas num certo setor pesquisado. Podemos comparar esses desempenhos apenas visuamente ou com maior precisão, dependendo dos objetivos da anáise. É fáci concuir que o mehor desempenho foi o da empresa A, e o pior, o da empresa C: basta uma comparação visua dos gráficos. No entanto, poderemos fazer um estudo mais preciso das diferenças de crescimento, se descobrirmos os ânguos que cada uma dessas retas faz com o eixo horizonta. Usando os conhecimentos desta aua e observando que o gráfico da empresa B passa sempre pea diagona dos quadradinhos, podemos dizer que temos um ânguo de 45º. Com o auxíio de uma régua também podemos descobrir os ânguos formados peas outras duas retas. Confirme no gráfico origina as medidas obtidas nas figuras. Como vê, um dos catetos é a metade da e podemos marcar, então, os ânguos. No primeiro caso (da empresa A), o ânguo formado com o eixo horizonta é de 60º, já que cos 60º = 1. No segundo caso (da empresa C), o ânguo formado com o eixo horizonta é de 0º, pois sen 0º = 1.

10 Exercício 1 Exercícios A U L A Nos projetos iustrados, quanto medem o ânguo a e a atura h? Exercício Num hexágono reguar (ados e ânguos iguais), o segmento a da figura chama-se apótema e o segmento r é o raio da circunferência circunscrita. Sabendo-se que um hexágono reguar é formado por 6 triânguos equiáteros, obtenha a e r em função do ado do hexágono. Exercício No exercício 6 da aua 40 verificamos que tg x = sen x. Obtenha tg 0º, tg 45º e tg 60º, usando essa reação. cosx Exercício 4 Determine a medida do ado de um quadrado cuja diagona é: a) 4 b) cm Exercício 5 Uma parede foi azuejada, como mostra a figura. Cacue a atura aproximada da parede, sabendo que cada azuejo é um quadrado de 15 cm de ado e que, na vertica, cabem 1 azuejos inteiros, enfieirados.