Construções Elementares com Régua e Compasso

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1 TERCEIRLISTDEEXERCÍCIOS Fundamentos da Matemática II MTEMÁTIC DCET UESC Humberto José ortolossi Construções Elementares com Régua e Compasso (Entregar todos os exercícios até o dia 20/04/2004) 1 Construindo um triângulo equilátero, dado um dos seus lados primeira proposição do primeiro livro dos Elementos de Euclides ensina como construir um triângulo equilátero, dado um dos seus lados: Com centro em e raio construaocírculo C 1. Com centro em e raio, construa o círculo C 2.SejaX um dos pontos de interseção entre os dois círculos. O triângulo X é equilátero. X C 1 C 2 Figura 1: construção de um triângulo equilátero. 1

2 [01] Por que a construção sugerida por Euclides produz, de fato, um triângulo C que é equilátero? [02] Desenhe um triângulo C qualquer. Sobre cada dos três lados deste triângulo, construa triângulos equiláteros P, CQ e CR de tal forma que P e CR estejam apontando para fora e CQ esteja apontando para dentro do triângulo C inicial. O que você dizer a respeito do quadrilátero RQP? 2 Paralelas e perpendiculares Para traçar por um ponto P uma reta perpendicular a uma reta r, trace um círculo de centro em P cortando a reta r em e (figura (2)). Em seguida, trace círculos de mesmo raio com centros em e, obtendo Q, um dos pontos de interseção. reta PQ é perpendicular a reta r. P r Q Figura 2: Construção de uma reta perpendicular a uma reta r pelo ponto P. Para traçar por um ponto P, uma reta paralela a uma reta r, proceda como se segue. Trace três círculos, sempre com o mesmo raio: o primeiro com centro em P, determinado um ponto na reta r, o segundo com centro em, determinando um ponto na mesma reta e o terceiro com centro em, determinando um ponto Q sobre o primeiro círculo (figura (3)). reta PQ é paralela a reta r. 2

3 C 1 C 3 P Q C 2 r Figura 3: Construção de uma reta paralela a uma reta r pelo ponto P. [03] Justifique por que as construções descritas acima produzem, de fato, retas perpendiculares e paralelas a uma dada reta r passando por um dado ponto P. [04] Descreva como construir, usando régua e compasso, uma reta perpendicular a uma reta r passando por um ponto P que pertence a reta r. Justifique a sua resposta! [05] Como construir um quadrado a partir de um dos seus lados usando régua e compasso? Justifique a sua resposta! 3 Desafio [06] Desenhe um quadrilátero CD qualquer. Sobre cada dos quatro lados deste quadrilátero, construa quadrados que estejam apontando para fora do quadrilátero CD. Em seguida, marque a interseção das diagonais, isto é, marque o centro de gravidade de cada quadrado. Considere os dois segmentos obtidos ligando-se os centros de gravidades de quadrados construídos sobre lados opostos do quadrilátero CD. Que propriedades interessantes você consegue estabelecer para estes dois segmentos? Justifique a sua resposta! 3

4 4 mediatriz mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a que passa pelo ponto médio de. Para construir a mediatriz usando régua e compasso, trace dois círculos de mesmo raio, com centros em e e abertura maior do que m()/2, que se cruzam nos pontos P e Q (figura (4)). reta PQ é a mediatriz de. P Q Figura 4: Construção da mediatriz PQ de um segmento. [07] Justifique por que a construção descrita acima produz, de fato, a mediatriz de um segmento. [08] Mostre que a mediatriz de um segmento tem a seguinte propriedade geométrica: ela é o conjunto (lugar geométrico) dos pontos no plano que eqüidistam dos extremos e do segmento. 4

5 5 bissetriz bissetriz de um ângulo O é a semi-reta OC tal que m( OC) = m( CO), isto é, a semi-reta que divide o ângulo O em dois outros iguais. Para construir a bissetriz usando régua e compasso, trace um círculo de centro em O que determina os pontos X e Y nos lados do ângulo OC (figura (5)). Em seguida, trace dois círculos de mesmo raio com centros em X e Y de tal forma que eles se cruzem em ponto C. semi-reta OC é abissetrizdoângulo OC. Y C O X Figura 5: Construção da bissetriz OC de um ângulo O. [09] Justifique por que a construção descrita acima produz, de fato, a bissetriz de um ângulo O. [10] Mostre que a bissetriz de um ângulo O tem a seguinte propriedade geométrica: ela é o conjunto (lugar geométrico) dos pontos no plano que eqüidistam dos lados O e O do ângulo. 6 Outros exercícios [11] Mostre como construir, usando régua e compasso, um quadrado a partir de sua diagonal. 5

6 [12] Mostre como construir, usando régua e compasso, um quadrado a partir dos pontos médios de dois lados adjacentes. [13] Mostre como construir, usando régua e compasso, um círculo circunscrito a um triângulo (figura (6)). Justifique a sua construção! C 1 C Figura 6: C 1 éocírculo circunscrito ao triângulo C. [14] Mostre como construir, usando régua e compasso, um círculo inscrito a um triângulo (figura (6)). Justifique a sua construção! C 1 C Figura 7: C 1 éocírculo inscrito ao triângulo C. 6

7 Texto composto em L TEX2e, HJ, 13/04/