Bissetrizes e suas propriedades.

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1 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP issetrizes e suas propriedades. Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. Então, adistância de P a XO é igual à distância de P a YO se, e somente se, o ponto P pertence à bissetriz. M X O P N Y Suponhamos inicialmente que o ponto P pertence à bissetriz. Então XOP = YOP. Sejam M e N os pés das perpendiculares baixadas desde P sobre OX e OY, respectivamente. Podemos concluir, que MOP NOP, pelo caso L..., pois OP é lado comum, MOP = NOP e OMP = ONP = 90. Portanto, PM = PN. Reciprocamente, suponhamos agora que PM = PN. Pelo caso especial de congruência de triângulos, cateto-hipotenusa, os triângulos M OP e N OP são congruentes. Portanto, MOP = NOP, e assim, P pertence à bissetriz. Provemos agora que as três bissetrizes de um triângulo se intersectam num ponto chamado incentro, que é equidistante dos lados do triângulo. 1

2 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP N 1 P 1 P I N M 1 Sejam N e P as bissetrizes relativas aos vértices e, respectivamente, e I o seu ponto de interseção. omo o ponto I pertence às bissetrizes N e P, então IM 1 = IP 1 e IM 1 = IN 1, em que M 1, N 1, P 1 são os pés das perpendiculares baixadas desde I sobre os lados, e, respectivamente. omo IP 1 = IN 1, então, pela proposição anterior, I pertence à bissetriz do ângulo. Portanto, as três bissetrizes passam por um mesmo ponto chamado incentro que será o centro da circunferência inscrita no triângulo pois I equidista dos lados do triângulo. lém disso, M 1, N 1 e P 1 são os pontos de tangência do círculo com os lados, e, respectivamente. N 1 P 1 P I N M 1 M Teorema. Seja um triângulo tal que = a, = b e = c. Sejam M 1, N 1 e P 1 os pontos de tangência com os lados, e, respectivamente. Então, N 1 = P 1 = p a, M 1 = P 1 = p b e M 1 = N 1 = p c, em que p = a+b+c.

3 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP x x N 1 P 1 y I z y M 1 z Temos que y+z = a, x+z = b e x+y = c. Resolvendo o sistema encontramos x = p a, y = p b e z = p c. Teorema 3. (issetriz interna) bissetriz interna L do ângulo de um triângulo divide internamente o lado oposto na razão, ou seja, L L = em que L é o ponto de intersecção da bissetriz interna com o lado. R L 3

4 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP Seja R a intersecção da paralela à bissetriz L traçada pelo ponto. É fácil ver que L = L = R = R, com isso, R =. Pelo teorema de Tales temos que R = L L. omo R =, então = L L. Teorema 4. Seja um triângulo tal que = a, = b, = c e seja M a bissetriz relativa ao ângulo, com M em. Então, M = a c b+c. c b m M a m Usando o teorema da bissetriz interna temos que M = M c m = b a m m = a c b+c. Teorema 5. Seja um triângulo tal que = a, = b, = c, M a bissetriz I relativa ao ângulo, com M em, e seja I o incentro. Então, IM = b+c a. plicando o teorema da bissetriz interna no triângulo M temos que I IM = M I IM = b+c a. 4

5 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP c I b a c b+c M Teorema 6. Seja um triângulo e I seu incentro. Seja E o ponto de interseção de I com a circunferência circunscrita ao triângulo. Então EI = E = E. I + D E É fácil ver que E = E = E = E e, portanto, E = E. lém disso, pelapropriedadedoânguloexterno, IE = +. Portanto, IE = IE ee = IE. 5

6 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP Observe agora uma parte da figura acima. a M E Temos que cos = M E E = a = E = IE. cos Teorema 7. Seja um triângulo tal que = a, = b, = c e seja M a bissetriz relativa ao ângulo, com M em. lém disso, M = M =. Então M = b c cos. b+c c b M É fácil ver que [] = [M]+[M]. Então, b c sin = c M sin + M = b c cos. b+c b M sin Teorema 8. (Área de um triângulo em função do raio da circunferência inscrita.) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e seja r a medida do raio da circunferência inscrita. Então, a área do triângulo pode 6

7 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP ser calculada por em que p = a+b+c. [ ] = p r, F r I r r E D [ ] = [ I]+[ I]+[ I] [ ] = a r + b r + c r ( ) a+b+c [ ] = r [ ] = p r. Teorema 9. s bissetrizes externas de quaisquer dois ângulos de um triângulo são concorrentes com a bissetriz interna do terceiro ângulo. 7

8 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP E P F D No triângulo traçamos as bissetrizes externas dos ângulos e os quais se intersectam em P. Do teorema 1, como P pertence à bissetriz externa do ângulo, então PE = PF. lém disso, P pertence à bissetriz externa do ângulo, então PF = PD. omo PD = PE, pelo teorema 1, concluímos que P pertence à bissetriz do ângulo. Dessa forma, se P equidista dos três lados do triângulo e é um ponto no exterior do triânglo então P é o centro de uma das três circunferências ex - inscritas do trângulo. circunferência com centro I a e raio r a é uma das três circunferências ex - inscritas que representaremos apenas por (I a,r a ). nalogamente são definidas as circunferências (I b,r b ) e (I c,r c ). Os pontos I a, I b e I c são os ex - incentros. ada circunferência ex - inscrita toca um dos lados do triâgulo internamente e os outros dois externamente, ou seja, toca no prolongamento. Na figura a seguir, observe que pela propriedade de segmentos tangentes a uma circunferência, vulgarmente conhecido com Teorema do bico, temos que L = G, além disso L+G = ( +L)+(G+) = +E +E + = a+b+c = p. Portanto, as tangentes traçadas por à circunferência (I b,r b ) tem medida p. Dessa forma é fácil ver que J = K = G = L = H = M = p. lém disso, L = L = p a. Então, M = F = L = E = p a, K = D = H = F = p b, G = E = J = D = p c. 8

9 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP G H I b I c F I E M D L K J I a Teorema 10. (issetriz externa) bissetriz externa L do ângulo de um triângulo divide externamente o lado oposto na razão, ou seja, L L = em que L é o ponto de intersecção da bissetriz externa com o lado. 9

10 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP E R L Seja R a intersecção da paralela à bissetriz L traçada pelo ponto. É fácil ver que EL = L = R = R, com isso, R =. Pelo teorema de Tales temos que R = L L. omo R =, então = L L. Teorema 11. (Área de um triângulo em função do raio de uma circunferência ex - inscrita.) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e sejam r a, r b e r c os raios das circunferências ex - inscritas relativas aos lados a, b e c, respectivamente. Então, a área do triângulo pode ser calculada por em que p = a+b+c. [ ] = r a (p a) = r b (p b) = r c (p c), 10

11 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP a x F r a b a x r a I a r a c D x x E Pela propriedade dos segmentos tangentes, temos que D = E = x e D = F = a x. Então, [ ] = [ I a E]+[ I a F] [ I a ] [ ] = (c+x) r a + (b+a x) r a a r a [ ] = r a (a+b+c a) = r a (p a) = r a(p a). nalogamente, Exercícios propostos [ ] = r b (p b) = r c (p c), 1. (IMO Shortlist) Seja um triângulo tal que + = 3. Sejam I o seu incentro e D e E os pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados e, respectivamente. lém disso, sejam K e L os simétricos de D e E com relação ao incentro I. Prove que o quadrilátero KL é inscritível.. (Teste de seleção do rasil para IMO) Seja I o incentro do triângulo e D o ponto de interseção de I com o círculo circunscrito de. Sejam E e F os pés das perpendiculares baixadas a partir de I sobre D e D, respectivamente. SE IE +IF = D, determine o ângulo. 11

12 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP 3. (OM) O triângulo é retângulo em. Sejam I o centro da circunferência inscrita em e O o ponto médio do lado. Se OI = 45, quanto mede, em graus, o ângulo? 4. (IMO) O prolongamento da bissetriz L do triângulo acutângulo encontra o círculo circunscrito em N. Por L traçam - se perpendiculares LK e LM aos lados e, respectivamente. Prove que a área do triângulo é igual à área do quadrilátero KN M. 5. Num triângulo tem - se =, e D é um ponto sobre a base tal que o raio do círculo inscrito no triângulo D é igual ao raio do círculo tangente ao segmento D e aos prolongamentos das retas D e. Prove que o raio deste círculo é igual a 1 4 da medida h de uma das alturas iguais do triângulo. 6. Seja um quadrilátero D inscrito num círculo de tal forma que os prolongamentos dos lados D e se encontram em Q e os prolongamentos de e D, em P. Prove que as bissetrizes dos ângulos DQ = P D são perpendiculares. 7. Do incentro de um triângulo retângulo, avista - se a metade da hipotenusa, isto é, o segmento que une um vértice ao ponto médio da hipotenusa, segundo um ângulo reto. Se m é a fração irredutível que expressa a razão entre as medidas dos catetos n deste triângulo, então m+n é igual a: (a) 7 (b) 17 (c) 3 (d) 31 (e) O círculo, de centro O, inscrito no triângulo é cortado pela mediana D nos pontos X e Y. Sabendo que = +D, determine a medida do ângulo XOY. 9. (OM) Seja um triângulo cuja medida dos lados são números inteiros e consecutivos. lém disso, o maior ângulo é o dobro do menor ângulo. Determine a medida dos lados deste triângulo. 10. Seja D um quadrilátero convexo não trapézio, de diagonais e D iguais. Tomamos sobre os lados e D, respectivamente, pontos P e Q tais que: P P = DQ Q = D. Mostre que os pontos P e Q são colineares com o ponto de interseção das mediatrizes dos lados D e. 1

13 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP 11. (oréia) Seja um triângulo tal que as suas bissetrizes intersectam os lados, e nos pontos L, M e N e o círculo circunscrito ao triângulo nos pontos P, Q e R, respectivamente. Prove que L LP + M MQ + N NR (Teste de seleção do rasil para IMO) Em um triângulo a bissetriz do ângulo intersecta o lado no ponto 1 e o círculo circunscrito no ponto. Os pontos 1, e 1, são obtidos analogamente. Prove que Sejam um triângulo, M o pé da bissetriz interna do ângulo e N o pé da bissetriz interna do ângulo. Suponha que MN seja bissetriz do ângulo M. alcule a medida do ângulo. 14. No quadrilátero D determine a medida do ângulo ED. D E (OM) Um triângulo, de lados = c, = b e = a, tem perímetro p. Uma circunferência tangencia o lado e os prolongamentos dos lados e nos pontos P, Q e R, respectivamente. O comprimento R é igual a: (a) p a (b) p b (c) p c (d) p (e) p 16. Prove que os três segmentos determinados por um vértice e pelo ponto de tangência da circunferência ex - inscrita com o lado oposto a esse vértice são concorrentes em um ponto chamado ponto de Nagel. 13

14 Semana Olímpica Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP 17. (OM) medidadoângulo deumtriângulo é10. SejamM umpontosobreolado ek um ponto sobreoprolongamento dolado, tais quem é abissetriz interna do ângulo e K é a bissetriz externa correspondente ao ângulo. O segmento MK intersecta no ponto P. Prove que PM = (Leningrado) Sejam F, G e H as bissetrizes de um triângulo que tem ângulo medindo 10 o. Prove que o ângulo GFH mede 90 o. 19. Seja D um paralelogramo e seja l uma reta variável passando pelo vértice que intersecta as retas e D nos pontos X e Y, respectivamente. Sejam K e L os centros das circunferências ex - inscritas aos triângulos X e DY, tangenciando os lados X e DY, respectivamente. Prove que a medida do ângulo KL não depende da escolha de l. 0. (elarus) Seja O o centro do círculo ex - inscrito do triângulo oposto ao vértice. Seja M o ponto médio de e seja P a interseção das retas MO e. Prove que se =, então = P. 1. (IMO) Dado um triângulo, o ponto J é o centro da circunferência ex-inscrita oposta ao vértice. Esta circunferência ex-inscrita é tangente ao lado em M, e às retas e em K e L, respectivamente. s retas LM e J intersectam-se em F, e as retas KM e J intersectam-se em G. Seja S o ponto de interseção das retas F e, e seja T o ponto de interseção das retas G e. Prove que M é o ponto médio de ST. ( circunferência ex-inscrita de oposta ao vértice é a circunferência tangente ao segmento, ao prolongamento do segmento no sentido de para e ao prolongamento do segmento no sentido de para.) 14